Hermitian adjoint - Hermitian adjoint

v matematika, konkrétně v funkční analýza, každý ohraničený lineární operátor na komplexu Hilbertův prostor má odpovídající Hermitian adjoint (nebo operátor adjoint). Spojení operátorů se zobecňují konjugovat transponuje z čtvercové matice do (případně) nekonečně dimenzionálních situací. Pokud si někdo myslí, že operátory na komplexním Hilbertově prostoru jsou zobecněné komplexní čísla, potom adjunktor operátoru hraje roli komplexní konjugát komplexního čísla.

V podobném smyslu lze definovat adjunktní operátor pro lineární (a případně neomezené) operátory mezi Banachovy prostory.

Adjoint operátora A lze také nazvat Hermitianský konjugát, Hermitian nebo Hermitian transponovat^[1] (po Charles Hermite ) z A a je označen A^∗ nebo A^† (druhý zvláště při použití ve spojení s braketová notace ). Matoucí, A^∗ mohou být také použity k reprezentaci konjugátu A.

Neformální definice

Zvažte a lineární operátor ${ displaystyle A: H_ {1} až H_ {2}}$ mezi Hilbertovy prostory. Aniž by se staral o jakékoli podrobnosti, je adjointový operátor (ve většině případů jednoznačně definovaný) lineární operátor ${ displaystyle A ^ {*}: H_ {2} až H_ {1}}$ naplňující

${ displaystyle left langle Ah_ {1}, h_ {2} right rangle _ {H_ {2}} = left langle h_ {1}, A ^ {*} h_ {2} right rangle _ {H_ {1}},}$

kde ${ displaystyle langle cdot, cdot rangle _ {H_ {i}}}$ je vnitřní produkt v Hilbertově prostoru ${ displaystyle H_ {i}}$, který je lineární v první souřadnici a antilineární ve druhé souřadnici. Všimněte si zvláštního případu, kdy jsou oba Hilbertovy prostory identické a ${ displaystyle A}$ je operátor v tom Hilbertově prostoru.

Když někdo vymění duální párování za vnitřní produkt, může definovat adjoint, nazývaný také přemístit, operátora ${ displaystyle A: E až F}$, kde ${ displaystyle E, F}$ jsou Banachovy prostory s odpovídajícími normy ${ displaystyle | cdot | _ {E}, | cdot | _ {F}}$. Zde (opět bez ohledu na technické aspekty) je jeho adjointový operátor definován jako ${ displaystyle A ^ {*}: F ^ {*} do E ^ {*}}$ s

${ displaystyle A ^ {*} f = (u mapsto f (Au)),}$

Tj., ${ displaystyle left (A ^ {*} f right) (u) = f (Au)}$ pro ${ displaystyle f v F ^ {*}, u v E}$.

Všimněte si, že výše uvedená definice v nastavení Hilbertova prostoru je ve skutečnosti jen aplikací případu Banachova prostoru, když člověk identifikuje Hilbertův prostor s jeho dvojím. Pak je jen přirozené, že můžeme také získat adjoint operátoru ${ displaystyle A: H až E}$, kde ${ displaystyle H}$ je Hilbertův prostor a ${ displaystyle E}$ je Banachův prostor. Duál je pak definován jako ${ displaystyle A ^ {*}: E ^ {*} do H}$ s ${ displaystyle A ^ {*} f = h_ {f}}$ takhle

${ displaystyle langle h_ {f}, h rangle _ {H} = f (Ah).}$

Definice neomezených operátorů mezi normovanými mezerami

Nechat ${ displaystyle left (E, | cdot | _ {E} right), left (F, | cdot | _ {F} right)}$ být Banachovy prostory. Předpokládat ${ displaystyle A: D (A) až F}$ a ${ displaystyle D (A) podmnožina E}$a předpokládejme to ${ displaystyle A}$ je (možná neomezený) lineární operátor, který je hustě definován (tj. ${ displaystyle D (A)}$ je hustá v ${ displaystyle E}$). Pak jeho adjoint operátor ${ displaystyle A ^ {*}}$ je definována následovně. Doména je

${ displaystyle D left (A ^ {*} right): = left {g in F ^ {*}: ~ existuje c geq 0: ~ { mbox {pro všechny}} u in D (A): ~ | g (Au) | leq c cdot | u | _ {E} vpravo }}$.

Nyní pro libovolné, ale pevné ${ displaystyle g v D (A ^ {*})}$ jsme si stanovili ${ displaystyle f: D (A) do mathbb {R}}$ s ${ displaystyle f (u) = g (Au)}$. Podle volby ${ displaystyle g}$ a definice ${ displaystyle D (A ^ {*})}$, f je (rovnoměrně) spojité ${ displaystyle D (A)}$ tak jako ${ displaystyle | f (u) | = | g (Au) | leq c cdot | u | _ {E}}$. Pak Hahnova – Banachova věta nebo alternativně prostřednictvím prodloužení o kontinuitu se získá prodloužení o ${ displaystyle f}$, volala ${ displaystyle { hat {f}}}$ definované na všech ${ displaystyle E}$. Pamatujte, že tuto technickou stránku je nutné získat později ${ displaystyle A ^ {*}}$ jako operátor ${ displaystyle D left (A ^ {*} right) to E ^ {*}}$ namísto ${ displaystyle D left (A ^ {*} right) to (D (A)) ^ {*}.}$ Všimněte si také, že to neznamená, že ${ displaystyle A}$ lze rozšířit na všechny ${ displaystyle E}$ ale rozšíření fungovalo pouze pro konkrétní prvky ${ displaystyle g v D vlevo (A ^ {*} vpravo)}$.

Nyní můžeme definovat adjoint z ${ displaystyle A}$ tak jako

${ displaystyle { begin {aligned} A ^ {*}: F ^ {*} supset D (A ^ {*}) & to E ^ {*} g & mapsto A ^ {*} g = { hat {f}} end {zarovnáno}}}$

Základní definující identita je tedy

${ displaystyle g (Au) = vlevo (A ^ {*} g vpravo) (u)}$ pro ${ displaystyle u v D (A).}$

Definice ohraničených operátorů mezi Hilbertovými prostory

Předpokládat H je komplex Hilbertův prostor, s vnitřní produkt ${ displaystyle langle cdot, cdot rangle}$. Zvažte a kontinuální lineární operátor A : H → H (pro lineární operátory je spojitost ekvivalentní s a ohraničený operátor ). Pak adjoint z A je spojitý lineární operátor A^∗ : H → H uspokojující

${ displaystyle langle Ax, y rangle = left langle x, A ^ {*} y right rangle quad { mbox {pro všechny}} x, y v H.}$

Existence a jedinečnost tohoto operátora vyplývá z Rieszova věta o reprezentaci.^[2]

To lze chápat jako zevšeobecnění adjoint matice čtvercové matice, která má podobnou vlastnost zahrnující standardní komplexní vnitřní produkt.

Vlastnosti

Následující vlastnosti poustevníka Hermitian z omezené operátory jsou okamžité:^[2]

1. Involutivita: A^∗∗ = A
2. Li A je invertibilní, tak také je A^∗, s ${ textstyle left (A ^ {*} right) ^ {- 1} = left (A ^ {- 1} right) ^ {*}}$
3. Anti-linearita:
   • (A + B)^∗ = A^∗ + B^∗
   • (λA)^∗ = λA^∗, kde λ označuje komplexní konjugát z komplexní číslo λ
4. "Antidistribuce ": (AB)^∗ = B^∗A^∗

Pokud definujeme norma operátora z A podle

${ displaystyle | A | _ { text {op}}: = sup left { | Axe |: | x | leq 1 right }}$

pak

${ displaystyle left | A ^ {*} right | _ { text {op}} = | A | _ { text {op}}.}$^[2]

Navíc,

${ displaystyle left | A ^ {*} A right | _ { text {op}} = | A | _ { text {op}} ^ {2}.}$^[2]

Jeden říká, že norma, která splňuje tuto podmínku, se chová jako „největší hodnota“, která vychází z případu operátorů s vlastním adjunktem.

Sada ohraničených lineárních operátorů ve složitém Hilbertově prostoru H společně s adjunktní operací a normou operátora tvoří prototyp a C * -algebra.

Spojení hustě definovaných neomezených operátorů mezi Hilbertovými prostory

A hustě definovaný operátor A ze složitého Hilbertova prostoru H sám o sobě je lineární operátor, jehož doména D(A) je hustá lineární podprostor z H a jejichž hodnoty leží v H.^[3] Podle definice doména D(A^∗) jeho adjoint A^∗ je množina všech y ∈ H pro které existuje z ∈ H uspokojující

${ displaystyle langle Ax, y rangle = langle x, z rangle quad { mbox {pro všechny}} x v D (A),}$

a A^∗(y) je definován jako z tak nalezeno.^[4]

Vlastnosti 1. – 5. držet s příslušnými klauzulemi o domén a codomains.^{[je zapotřebí objasnění ]} Například poslední vlastnost to nyní uvádí (AB)^∗ je příponou B^∗A^∗ -li A, B a AB jsou hustě definované operátory.^[5]

Vztah mezi obrazem A a jádro jeho adjoint je dán vztahem:

${ displaystyle { begin {aligned} ker A ^ {*} & = left ( operatorname {im} A right) ^ { bot} left ( ker A ^ {*} right ) ^ { bot} & = { overline { operatorname {im} A}} end {zarovnáno}}}$

Tato tvrzení jsou rovnocenná. Vidět ortogonální doplněk pro důkaz toho a pro definici ${ displaystyle bot}$.

Důkaz první rovnice:^{[6][je zapotřebí objasnění ]}

${ displaystyle { begin {aligned} A ^ {*} x = 0 & iff left langle A ^ {*} x, y right rangle = 0 quad { mbox {pro všechny}} y in H & iff left langle x, Ay right rangle = 0 quad { mbox {pro všechny}} y v H & iff x bot operatorname {im} A end {zarovnáno}}}$

Druhá rovnice vyplývá z první tak, že vezmeme ortogonální doplněk na obou stranách. Všimněte si, že obecně nemusí být obraz zavřený, ale jádro a kontinuální operátor^[7] vždy je.^{[je zapotřebí objasnění ]}

Hermitovské operátory

A ohraničený operátor A : H → H se nazývá Hermitian nebo samoadjung -li

${ displaystyle A = A ^ {*}}$

což odpovídá

${ displaystyle langle Ax, y rangle = langle x, Ay rangle { mbox {pro všechny}} x, y v H.}$^[8]

V určitém smyslu tito operátoři hrají roli reálná čísla (je rovno jejich vlastnímu „komplexnímu konjugátu“) a tvoří skutečný vektorový prostor. Slouží jako model skutečné hodnoty pozorovatelné v kvantová mechanika. Viz článek o operátoři s vlastním nastavením pro úplné ošetření.

Spojení antilineárních operátorů

Pro antilineární operátor definici adjunktu je třeba upravit, aby se vyrovnala složitá konjugace. Přidružený operátor antilineárního operátoru A v komplexním Hilbertově prostoru H je antilineární operátor A^∗ : H → H s majetkem:

${ displaystyle langle Ax, y rangle = { overline { left langle x, A ^ {*} y right rangle}} quad { text {pro všechny}} x, y v H. }$

Další sousední

Rovnice

${ displaystyle langle Ax, y rangle = left langle x, A ^ {*} y right rangle}$

je formálně podobný definujícím vlastnostem párů adjunkční funktory v teorie kategorií, a právě odtud mají adjunktové funktory své jméno.

Viz také

• Matematické pojmy
  • Hermitovský operátor
  • Norm (matematika)
  • Transpozice lineárních map
• Fyzické aplikace
  • Operátor (fyzika)
  • †-algebra

Reference

• Brezis, Haim (2011), Funkční analýza, Sobolevovy prostory a parciální diferenciální rovnice (první vydání), Springer, ISBN  978-0-387-70913-0.
• Reed, Michael; Simon, Barry (2003), Funkční analýza, Elsevier, ISBN  981-4141-65-8.
• Rudin, Walter (1991). Funkční analýza. International Series in Pure and Applied Mathematics. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN  978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.