Galerkinova metoda - Galerkin method

tento článek může být pro většinu čtenářů příliš technická na to, aby je pochopili. Prosím pomozte to vylepšit na aby to bylo srozumitelné pro neodborníky, aniž by byly odstraněny technické podrobnosti. (Březen 2014) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, v oblasti numerická analýza, Galerkinovy ​​metody jsou třídou metod pro převod problému spojitého operátora (například a diferenciální rovnice ) k diskrétnímu problému. V zásadě jde o ekvivalent použití metody variace parametrů do funkčního prostoru převedením rovnice na a slabá formulace. Typicky pak jeden aplikuje některá omezení na funkční prostor, aby charakterizoval prostor konečnou sadou základních funkcí.

Přístup se obvykle připisuje Boris Galerkin.^[1][2] Metodu vysvětlil západnímu čtenáři Hencky^[3] a Duncan^[4][5] mezi ostatními. Jeho konvergenci studoval Mikhlin^[6] a Leipholz^{[7][8][9][10]} Jeho shodu s Fourierovou metodou ilustroval Elishakoff et al.^[11][12][13] Rovnocennost s Ritzovou metodou pro konzervativní problémy prokázal Singer.^[14] Gander a Wanner^[15] ukázal, jak Ritzovy a Galerkinovy ​​metody vedly k moderní metodě konečných prvků. Repin diskutoval o sto letech vývoje metody.^[16] Často, když se odkazuje na Galerkinovu metodu, dá se také název spolu s typickými použitými aproximačními metodami, jako je metoda Bubnov – Galerkin (po Ivan Bubnov ), Metoda Petrov – Galerkin (po Georgii I. Petrov^[17]) nebo Ritz – Galerkinova metoda^[18] (po Walther Ritz ).

Příklady Galerkinových metod jsou:

• the Galerkinova metoda vážených reziduí, nejběžnější způsob výpočtu globálního matice tuhosti v Metoda konečných prvků,^[19][20]
• the metoda hraničních prvků pro řešení integrálních rovnic,
• Krylovské podprostorové metody.^[21]

Úvod do abstraktního problému

Problém ve slabé formulaci

Představme si Galerkinovu metodu s abstraktním problémem představovaným jako slabá formulace na Hilbertův prostor ${ displaystyle V}$, jmenovitě

nalézt ${ displaystyle u ve V}$ takové, že pro všechny ${ displaystyle v v V, a (u, v) = f (v)}$.

Tady, ${ displaystyle a ( cdot, cdot)}$ je bilineární forma (přesné požadavky na ${ displaystyle a ( cdot, cdot)}$ bude upřesněno později) a ${ displaystyle f}$ je omezená lineární funkce na ${ displaystyle V}$.

Galerkinova redukce rozměrů

Vyberte podprostor ${ displaystyle V_ {n} podmnožina V}$ dimenze n a vyřešit projektovaný problém:

Nalézt ${ displaystyle u_ {n} ve V_ {n}}$ takové, že pro všechny ${ displaystyle v_ {n} ve V_ {n}, a (u_ {n}, v_ {n}) = f (v_ {n})}$.

Říkáme tomu Galerkinova rovnice. Všimněte si, že rovnice zůstala nezměněna a změnily se pouze mezery. Zmenšení problému na konečný trojrozměrný vektorový podprostor nám umožňuje numericky vypočítat ${ displaystyle u_ {n}}$ jako konečná lineární kombinace bazických vektorů v ${ displaystyle V_ {n}}$.

Galerkinova ortogonalita

Klíčovou vlastností Galerkinova přístupu je, že chyba je kolmá k vybraným podprostorům. Od té doby ${ displaystyle V_ {n} podmnožina V}$, můžeme použít ${ displaystyle v_ {n}}$ jako testovací vektor v původní rovnici. Odečtením dvou dostaneme Galerkinův vztah ortogonality chyby, ${ displaystyle epsilon _ {n} = u-u_ {n}}$ což je chyba mezi řešením původního problému, ${ displaystyle u}$, a řešení Galerkinovy ​​rovnice, ${ displaystyle u_ {n}}$

${ displaystyle a ( epsilon _ {n}, v_ {n}) = a (u, v_ {n}) - a (u_ {n}, v_ {n}) = f (v_ {n}) - f (v_ {n}) = 0.}$

Maticová forma

Jelikož cílem Galerkinovy ​​metody je výroba a lineární soustava rovnic, vytvoříme jeho maticovou formu, kterou lze použít k algoritmickému výpočtu řešení.

Nechat ${ displaystyle e_ {1}, e_ {2}, ldots, e_ {n}}$ být základ pro ${ displaystyle V_ {n}}$. Potom je stačí použít k testování Galerkinovy ​​rovnice, tj .: find ${ displaystyle u_ {n} ve V_ {n}}$ takhle

${ displaystyle a (u_ {n}, e_ {i}) = f (e_ {i}) quad i = 1, ldots, n.}$

Rozšiřujeme se ${ displaystyle u_ {n}}$ s ohledem na tento základ, ${ displaystyle u_ {n} = součet _ {j = 1} ^ {n} u_ {j} e_ {j}}$ a vložte jej do výše uvedené rovnice, abyste získali

${ displaystyle a left ( sum _ {j = 1} ^ {n} u_ {j} e_ {j}, e_ {i} right) = sum _ {j = 1} ^ {n} u_ { j} a (e_ {j}, e_ {i}) = f (e_ {i}) quad i = 1, ldots, n.}$

Tato předchozí rovnice je ve skutečnosti lineární soustavou rovnic ${ displaystyle Au = f}$, kde

${ displaystyle A_ {ij} = a (e_ {j}, e_ {i}), quad f_ {i} = f (e_ {i}).}$

Symetrie matice

Kvůli definici záznamů matice je matice Galerkinovy ​​rovnice symetrický právě když bilineární forma ${ displaystyle a ( cdot, cdot)}$ je symetrický.

Analýza Galerkinových metod

Zde se omezíme na symetrické bilineární formy, to je

${ displaystyle a (u, v) = a (v, u).}$

I když to ve skutečnosti není omezení Galerkinových metod, aplikace standardní teorie se stává mnohem jednodušší. Dále, a Metoda Petrov – Galerkin může být vyžadováno v nesymetrickém případě.

Analýza těchto metod probíhá ve dvou krocích. Nejprve si ukážeme, že Galerkinova rovnice je a dobře položený problém ve smyslu Hadamard a proto připouští jedinečné řešení. Ve druhém kroku studujeme kvalitu aproximace Galerkinova řešení ${ displaystyle u_ {n}}$.

Analýza bude spočívat hlavně na dvou vlastnostech bilineární forma, jmenovitě

• Omezenost: pro všechny ${ displaystyle u, v ve V}$ drží

  ${ displaystyle a (u, proti) leq C | u | , | v |}$ pro nějakou konstantu ${ displaystyle C> 0}$

• Elipticita: pro všechny ${ displaystyle u ve V}$ drží

  ${ displaystyle a (u, u) geq c | u | ^ {2}}$ pro nějakou konstantu ${ displaystyle c> 0.}$

Podle věty Lax-Milgram (viz slabá formulace ), tyto dvě podmínky implikují dobře položenost původního problému ve slabé formulaci. Všechny normy v následujících částech budou normami, pro které platí výše uvedené nerovnosti (tyto normy se často nazývají energetická norma).

Dobře posedlost Galerkinovy ​​rovnice

Od té doby ${ displaystyle V_ {n} podmnožina V}$, platí omezenost a elipticita bilineární formy ${ displaystyle V_ {n}}$. Proto je dobrá póza Galerkinova problému ve skutečnosti zděděna od dobré pózy původního problému.

Kvazi nejlepší aproximace (Céovo lemma)

Chyba ${ displaystyle u-u_ {n}}$ mezi původním a Galerkinovým řešením připouští odhad

${ displaystyle | u-u_ {n} | leq { frac {C} {c}} inf _ {v_ {n} ve V_ {n}} | u-v_ {n} | .}$

To znamená, že až do konstanty ${ displaystyle C / c}$, Galerkinovo řešení ${ displaystyle u_ {n}}$je tak blízko k původnímu řešení ${ displaystyle u}$ jako jakýkoli jiný vektor v ${ displaystyle V_ {n}}$. Zejména bude stačit studovat aproximaci mezerami ${ displaystyle V_ {n}}$, zcela zapomenout na vyřešenou rovnici.

Důkaz

Protože důkaz je velmi jednoduchý a základní princip za všemi Galerkinovými metodami, zahrnujeme jej sem: eliptičností a ohraničením bilineární formy (nerovnosti) a Galerkinovy ​​ortogonality (znaménko rovnosti uprostřed), máme pro libovolné ${ displaystyle v_ {n} ve V_ {n}}$:

${ displaystyle c | u-u_ {n} | ^ {2} leq a (u-u_ {n}, u-u_ {n}) = a (u-u_ {n}, u-v_ { n}) leq C | u-u_ {n} | , | u-v_ {n} |.}$

Dělení ${ displaystyle c | u-u_ {n} |}$ a přebírání infimum nad všechno možné ${ displaystyle v_ {n}}$ získá lemma.

Viz také

• Ritzova metoda

Reference

externí odkazy

• „Galerkinova metoda“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Galerkinova metoda z MathWorld