Jednotný operátor - Unitary operator

v funkční analýza, pobočka matematika, a nečleněný operátor je surjektivní ohraničený operátor na Hilbertův prostor zachování vnitřní produkt. Unitární operátoři jsou obvykle považováni za operativní na Hilbertův prostor, ale stejný pojem slouží k definování pojmu izomorfismus mezi Hilbertovy prostory.

A jednotný prvek je zobecněním jednotného operátoru. V unital algebra prvek $U$ algebry se nazývá unitární prvek, pokud $U * U = U U * = Já$ ,kde $Já$ je prvek identity.^[1]

Definice

Definice 1. A nečleněný operátor je ohraničený lineární operátor $U : H \to H$ v Hilbertově prostoru $H$ to uspokojuje $U * U = U U * = Já$ , kde $U *$ je adjoint z $U$ , a $Já : H \to H$ je identita operátor.

Slabší stav $U * U = Já$ definuje izometrie. Další podmínka, $U U * = Já$ , definuje a koisometrie. Unitární operátor je tedy ohraničený lineární operátor, který je izometrickým i koisometrickým,^[2] nebo ekvivalentně a surjektivní izometrie.^[3]

Ekvivalentní definice je následující:

Definice 2. A nečleněný operátor je omezený lineární operátor $U : H \to H$ v Hilbertově prostoru $H$ pro které platí:

$U$ je surjektivní, a
$U$ zachovává vnitřní produkt prostoru Hilberta, $H$ . Jinými slovy pro všechny vektory $X$ a $y$ v $H$ my máme:

{ displaystyle langle Ux, Uy rangle _ {H} = langle x, y rangle _ {H}.}

Pojem izomorfismu v EU kategorie je zachyceno Hilbertových prostorů, pokud se v této definici může doména a rozsah lišit. Izometrie zachovávají Cauchyovy sekvence, proto úplnost majetek Hilbertových prostorů je zachován^[4]

Následující, zdánlivě slabší definice je také ekvivalentní:

Definice 3. A nečleněný operátor je omezený lineární operátor $U : H \to H$ v Hilbertově prostoru $H$ pro které platí:

rozsah $U$ je hustý v $H$ , a
$U$ zachovává vnitřní produkt Hilbertova prostoru, $H$ . Jinými slovy, pro všechny vektory $X$ a $y$ v $H$ my máme:

{ displaystyle langle Ux, Uy rangle _ {H} = langle x, y rangle _ {H}.}

Chcete-li vidět, že definice 1 a 3 jsou rovnocenné, všimněte si toho $U$ zachování vnitřního produktu znamená $U$ je izometrie (tedy ohraničený lineární operátor ). Skutečnost, že $U$ má hustý rozsah zajišťuje omezenou inverzi $U -1$ . Je jasné že $U -1 = U *$ .

Jednotní operátoři jsou tedy spravedliví automorfismy Hilbertovy prostory, tj. zachovávají strukturu (v tomto případě lineární prostorovou strukturu, vnitřní produkt, a tedy topologie ) prostoru, na který působí. The skupina všech unitárních operátorů z daného Hilbertovho prostoru $H$ sama o sobě je někdy označována jako Hilbertova skupina z $H$ , označeno $Hilb (H)$ nebo $U (H)$ .

Příklady

The funkce identity je triviálně nečleněný operátor.
Rotace v $R 2$ jsou nejjednodušším netriviálním příkladem unitárních operátorů. Rotace nemění délku vektoru ani úhel mezi dvěma vektory. Tento příklad lze rozšířit na $R 3$ .
Na vektorový prostor $C$ z komplexní čísla, násobení počtem absolutní hodnota $1$ , tj. číslo formuláře $E iθ$ pro $θ \in R$ , je nečleněný operátor. $θ$ se označuje jako fáze a toto násobení se označuje jako násobení fází. Všimněte si, že hodnota $θ$ modulo $2 π$ nemá vliv na výsledek násobení, a tak nezávislé unitární operátory na $C$ jsou parametrizovány kružnicí. Odpovídající skupina, kterou jako množinu tvoří kruh, se nazývá $U (1)$ .
Obecněji, unitární matice jsou přesně jednotkové operátory na konečně-dimenzionální Hilbertovy prostory, takže pojem unitárního operátoru je zobecněním pojmu unitární matice. Ortogonální matice jsou speciální případ jednotkových matic, ve kterých jsou všechny položky skutečné. Jsou to unitární operátoři $R n$ .
The bilaterální posun na sekvenční prostor $ℓ 2$ indexováno podle celá čísla je unitární. Obecně platí, že jakýkoli operátor v Hilbertově prostoru, který jedná permutací an ortonormální základ je unitární. V konečném dimenzionálním případě jsou takovými operátory permutační matice.
The jednostranný posun (pravý posun) je izometrie; jeho konjugát (posun vlevo) je koisometrie.
The Fourierův operátor je unitární operátor, tj. operátor, který provádí Fourierova transformace (se správnou normalizací). To vyplývá z Parsevalova věta.
Jednotkové operátory se používají v unitární reprezentace.
Kvantové logické brány jsou unitární operátoři. Ne všechny brány jsou Hermitian.

Linearita

Požadavek na linearitu v definici unitárního operátoru lze zrušit beze změny významu, protože jej lze odvodit z linearity a kladné definitivity skalární součin:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} | lambda U (x) -U ( lambda x) | ^ {2} & = langle lambda U (x) -U ( lambda x), lambda U (x) -U ( lambda x) rangle & = | lambda U (x) | ^ {2} + | U ( lambda x) | ^ {2} - langle U ( lambda x), lambda U (x) rangle - langle lambda U (x), U ( lambda x) rangle & = | lambda | ^ {2} | U (x) | ^ {2} + | U ( lambda x) | ^ {2} - { overline { lambda}} langle U ( lambda x), U (x) rangle - lambda langle U (x), U ( lambda x) rangle & = | lambda | ^ {2} | x | ^ {2} + | lambda x | ^ {2} - { overline { lambda}} langle lambda x, x rangle - lambda langle x, lambda x rangle & = 0 end {zarovnáno}}}

Analogicky získáte

{ displaystyle | U (x + y) - (Ux + Uy) | = 0.}

Vlastnosti

The spektrum nečleněného operátora $U$ leží na jednotkovém kruhu. To znamená pro jakékoli komplexní číslo $λ$ ve spektru jeden má $| λ | = 1$ . To lze považovat za důsledek spektrální věta pro normální operátoři. Věta, $U$ je jednotně ekvivalentní násobení pomocí Borel-měřitelné $F$ na $L 2 (μ)$ , pro nějaký prostor konečné míry $(X, μ)$ . Nyní $U U * = Já$ naznačuje $| F (X)| 2 = 1$ , $μ$ -a.e. To ukazuje, že základní rozsah $F$ , proto spektrum $U$ , leží na jednotkovém kruhu.
Lineární mapa je jednotná, pokud je surjektivní a izometrická. (Použití Polarizační identita zobrazit pouze pokud je součástí.)

Viz také

Poznámky pod čarou

^ Doran & Belfi 1986, str. 55
^ Halmos 1982, Oddíl. 127, strana 69
^ Conway 1990 „Návrh I.5.2
^ Conway 1990, Definice I.5.1

Reference

Conway, J. B. (1990). Kurz funkční analýzy. Postgraduální texty z matematiky. 96. Springer Verlag. ISBN 0-387-97245-5.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

Doran, Robert S .; Belfi (1986). Charakterizace C * -Algebry: Věty Gelfand-Naimark. New York: Marcel Dekker. ISBN 0-8247-7569-4.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

Halmos, Paul (1982). Kniha problémů s Hilbertovým prostorem. Postgraduální texty z matematiky. 19 (2. vyd.). Springer Verlag. ISBN 978-0387906850.

Lang, Serge (1972). Diferenciální potrubí. Reading, Massachusetts - Londýn – Don Mills, Ont .: Addison-Wesley Publishing Co., Inc. ISBN 978-0387961132.

[1] Doran & Belfi 1986, str. 55

[2] Halmos 1982, Oddíl. 127, strana 69

[3] Conway 1990 „Návrh I.5.2

[4] Conway 1990, Definice I.5.1

[1]

[2]

[3]

[4]

Funkční analýza (témat – glosář )
Prostory	Hilbertův prostor Banachův prostor Fréchetový prostor topologický vektorový prostor
Věty	Hahnova – Banachova věta věta o uzavřeném grafu jednotný princip omezenosti Kakutaniho věta o pevném bodě Kerin – Milmanova věta věta o min-max Věta Gelfand – Naimark Banach – Alaogluova věta
Operátoři	ohraničený operátor kompaktní operátor operátor adjoint nečleněný operátor Operátor Hilbert – Schmidt stopová třída neomezený operátor
Algebry	Banachova algebra C * -algebra spektrum C * -algebry operátorová algebra skupinová algebra lokálně kompaktní skupiny von Neumannova algebra
Otevřené problémy	invariantní podprostorový problém Mahlerova domněnka
Aplikace	Besovský prostor Hardy prostor spektrální teorie obyčejných diferenciálních rovnic tepelné jádro věta o indexu variační počet funkční kalkul integrální operátor Jonesův polynom topologická kvantová teorie pole nekomutativní geometrie Riemannova hypotéza
Pokročilá témata	lokálně konvexní prostor aproximační vlastnost vyvážená sada Schwartzův prostor slabá topologie sudový prostor Vzdálenost Banach – Mazur Teorie Tomita – Takesaki

Hilbertovy prostory
Základní pojmy	Sousední Vnitřní produkt a L-polo-vnitřní produkt Hilbertův prostor a Prehilbertův prostor
Hlavní výsledky	Besselova nerovnost Cauchy – Schwarzova nerovnost Rieszovo zastoupení
Další výsledky	Parsevalova identita Polarizační identita
Mapy	Kompaktní operátor na Hilbertově prostoru Hustě definované Poustevnická forma Hilbert – Schmidt Normální Samonastavitelný Sesquilineární forma Sledovací třída Unitary
Příklady	Cⁿ(K.) s K. kompaktní & n<∞ Segal – Bargmann F