Teorie Tomita – Takesaki - Tomita–Takesaki theory - Wikipedia
V teorii von Neumannovy algebry, část matematického pole funkční analýza, Teorie Tomita – Takesaki je metoda konstrukce modulární automorfismy von Neumannovy algebry z polární rozklad určité involuce. Je to nezbytné pro teorii faktory typu III a vedlo k dobré teorii struktury těchto dříve neřešitelných objektů.
Teorii představil Minoru Tomita (1967 ), ale jeho práce byla těžko sledovatelná a většinou nepublikovaná, a až do té doby si toho bylo málo všímáno Masamichi Takesaki (1970 ) napsal zprávu o Tomitově teorii.
Modulární automorfismy státu
Předpokládejme to M je von Neumannova algebra působící na Hilbertův prostor Ha Ω je a cyklický a oddělovací vektor z H normy 1. (Cyklický znamená, že MΩ je hustá v H, a oddělující znamená, že mapa z M na MΩ je injekční.) Píšeme pro stát z M, aby H je postaven z za použití Stavba Gelfand – Naimark – Segal.
Můžeme definovat neomezený antilineární operátor S0 na H s doménou MΩ nastavením pro všechny m v Ma podobně můžeme definovat neomezený antilineární operátor F0 na H s doménou M'Ω nastavením pro m v M′, Kde M' je komutant z M.
Tito operátoři jsou uzavíratelní a jejich uzavření označujeme jako S a F = S*. Oni mají polární rozklady
kde je antilineární izometrie nazývaná modulární konjugace a je pozitivní operátor vlastního adjundu, který se nazývá modulární operátor.
Hlavní výsledek teorie Tomita – Takesaki uvádí, že:
pro všechny t a to
komutant z M.
Existuje 1-parametrická rodina modulární automorfismy z M spojené se státem , definován
Connesův cyklus
Modulární automorfismus skupiny von Neumannovy algebry M závisí na volbě stavu φ. Connes objevil, že změna stavu nemění obraz modulárního automorfismu v vnější skupina automorfismu z M. Přesněji řečeno, vzhledem ke dvěma věrným stavům φ a ψ M, můžeme najít jednotné prvky ut z M pro všechny skutečné t takhle
takže se modulární automorfismy liší od vnitřních automorfismů a navíc ut splňuje podmínku 1-cyklu
Zejména existuje kanonický homomorfismus od aditivní skupiny realů k vnější automorphismové skupině M, to je nezávislé na volbě věrného státu.
Státy KMS
Termín Stav KMS pochází ze stavu Kubo – Martin – Schwinger v kvantová statistická mechanika.
A Stav KMS φ na von Neumannově algebře M s danou 1parametrickou skupinou automorfismů αt je stav fixovaný automatismy tak, že pro každou dvojici prvků A, B z M existuje omezená spojitá funkce F v pásu 0 ≤ Im (t) ≤ 1, holomorfní v interiéru, takový, že
Takesaki a Winnink ukázali, že (věrný semimititní normální) stav φ je stav KMS pro skupinu 1 parametrů modulárních automorfismů . To navíc charakterizuje modulární automorfismy φ.
(V teorii stavů KMS se často používá další parametr, označený β. Ve výše uvedeném popisu to bylo normalizováno na 1 změnou měřítka rodiny 1 parametrů automatorfismů.)
Struktura faktorů typu III
Viděli jsme výše, že existuje kanonický homomorfismus δ ze skupiny realů do skupiny vnějšího automorfismu von Neumannovy algebry, daný modulárními automorfismy. Jádro δ je důležitý invariant algebry. Pro jednoduchost předpokládejme, že von Neumannova algebra je faktor. Možnosti jádra δ jsou:
- Celá skutečná linie. V tomto případě je δ triviální a faktorem je typ I nebo II.
- Správná hustá podskupina skutečné linie. Pak se faktor nazývá faktor typu III0.
- Diskrétní podskupina generovaná některými X > 0. Pak se faktor nazývá faktor IIIλ s 0 <λ = exp (−2π/X) <1, nebo někdy Powersův faktor.
- Triviální skupina 0. Pak se faktor nazývá faktorem typu III1. (Toto je v jistém smyslu obecný případ.)
Hilbertovy algebry
Hlavní výsledky teorie Tomita – Takesaki byly prokázány pomocí levé a pravé Hilbertovy algebry.
A odešel Hilbertova algebra je algebra s involucí X → X♯ a vnitřní produkt (,) takový, že
- Násobení vlevo fixní A ∈ A je omezený operátor.
- ♯ je adjoint; jinými slovy (xy, z) = (y, X♯z).
- Involuce ♯ je předem uzavřen
- Subalgebra překlenula všechny produkty xy je hustá v A.
A vpravo Hilbertova algebra je definován podobně (s involucí ♭) s levou a pravou stranou obrácenou za výše uvedených podmínek.
A Hilbertova algebra je levá Hilbertova algebra taková, že navíc ♯ je izometrie, jinými slovy (X, y) = (y♯, X♯).
Příklady:
- Li M je von Neumannova algebra působící na Hilbertův prostor H s cyklickým oddělovacím vektorem proti, pak dal A = Mv a definovat (xv)(yv) = xyv a (xv)♯ = X*proti. Klíčovým objevem Tomity bylo, že to dělá A do levé Hilbertovy algebry, tedy zejména do uzavření operátora ♯ má polární rozklad, jak je uvedeno výše. Vektor proti je identita A, tak A je jednotná levá Hilbertova algebra.
- Li G je lokálně kompaktní skupina, potom vektorový prostor všech spojitých komplexních funkcí G s kompaktní podporou je správná Hilbertova algebra, pokud je násobení dáno konvolucí, a X♭(G) = X(G−1)*.
Reference
- Borchers, H. J. (2000), „O revoluci v teorii kvantového pole s modulární teorií Tomity“, Journal of Mathematical Physics, 41 (6): 3604–3673, Bibcode:2000JMP .... 41,3604B, doi:10.1063/1.533323, PAN 1768633
- Bratteli, O .; Robinson, D.W. (1987), Operátorské algebry a kvantová statistická mechanika 1, druhé vydání, Springer-Verlag, ISBN 3-540-17093-6
- Connes, Alain (1994), Nekomutativní geometrie, Boston, MA: Akademický tisk, ISBN 978-0-12-185860-5[trvalý mrtvý odkaz ]
- Dixmier, Jacques (1981), von Neumannovy algebryMatematická knihovna v Severním Holandsku, 27, Amsterdam: Severní Holandsko, ISBN 978-0-444-86308-9, PAN 0641217
- Inoue, A. (2001) [1994], „Tomita – Takesakiova teorie“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
- Nakano, Hidegorô (1950), "Hilbert algebras", Matematický deník Tohoku, Druhá série, 2: 4–23, doi:10,2748 / tmj / 1178245666, PAN 0041362
- Shtern, A.I. (2001) [1994], „Hilbertova algebra“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
- Summers, S. J. (2006), „Tomita – Takesaki Modular Theory“, Françoise, Jean-Pierre; Naber, Gregory L .; Tsun, Tsou Sheung (eds.), Encyklopedie matematické fyziky, Academic Press / Elsevier Science, Oxford, arXiv:math-ph / 0511034, Bibcode:2005math.ph..11034S, ISBN 978-0-12-512660-1, PAN 2238867
- Takesaki, M. (1970), Tomitova teorie modulárních Hilbertových algeber a její aplikace, Poznámky k přednášce Matematika., 128Springer, doi:10.1007 / BFb0065832, ISBN 978-3-540-04917-3
- Takesaki, Masamichi (2003), Teorie operátorových algeber. IIEncyklopedie matematických věd, 125, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-42914-2, PAN 1943006
- Tomita, Minoru (1967), „O kanonických formách von Neumannova algebry“, Pátá sympozia funkční analýzy. (Tôhoku Univ., Sendai, 1967) (v japonštině), Tôhoku Univ., Sendai: Math. Inst., Str. 101–102, PAN 0284822
- Tomita, M. (1967), Kvazi-standardní von Neumannovy algebry, mimografická poznámka, nepublikováno