Slabá konvergence (Hilbertův prostor) - Weak convergence (Hilbert space)

tento článek ne uvést žádný Zdroje. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Slabá konvergence“, Hilbertův prostor  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Prosince 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, slabá konvergence v Hilbertův prostor je konvergence a sekvence bodů v slabá topologie.

Definice

A sekvence bodů ${ displaystyle (x_ {n})}$ v Hilbertově prostoru H říká se slabě konvergovat do bodu X v H -li

${ displaystyle langle x_ {n}, y rangle to langle x, y rangle}$

pro všechny y v H. Tady, ${ displaystyle langle cdot, cdot rangle}$ se rozumí vnitřní produkt v Hilbertově prostoru. Zápis

${ displaystyle x_ {n} rightharpoonup x}$

se někdy používá k označení tohoto druhu konvergence.

Vlastnosti

• Pokud posloupnost konverguje silně (to znamená, že konverguje v normě), pak konverguje také slabě.
• Protože každá uzavřená a ohraničená množina je slabě relativně kompaktní (jeho uzavření ve slabé topologii je kompaktní), každý ohraničená sekvence ${ displaystyle x_ {n}}$ v Hilbertově prostoru H obsahuje slabě konvergentní subsekvenci. Uvědomte si, že uzavřené a ohraničené množiny nejsou obecně v Hilbertových prostorech slabě kompaktní (zvažte množinu skládající se z ortonormální základ v nekonečně dimenzionálním Hilbertově prostoru, který je uzavřený a ohraničený, ale ne slabě kompaktní, protože neobsahuje 0). Ohraničené a slabě uzavřené množiny jsou však slabě kompaktní, takže každá konvexní ohraničená uzavřená množina je slabě kompaktní.
• V důsledku princip jednotné omezenosti, každá slabě konvergentní sekvence je ohraničená.
• Norma je (postupně) slabě nižší-polokontinuální: pokud ${ displaystyle x_ {n}}$ slabě konverguje k X, pak

${ displaystyle Vert x Vert leq liminf _ {n to infty} Vert x_ {n} Vert,}$

a tato nerovnost je přísná, kdykoli není konvergence silná. Například nekonečné ortonormální sekvence konvergují slabě k nule, jak je ukázáno níže.

• Li ${ displaystyle x_ {n}}$ slabě konverguje k ${ displaystyle x}$ a máme další předpoklad, že ${ displaystyle lVert x_ {n} rVert to lVert x rVert}$, pak ${ displaystyle x_ {n}}$ konverguje k ${ displaystyle x}$ silně:

${ displaystyle langle x-x_ {n}, x-x_ {n} rangle = langle x, x rangle + langle x_ {n}, x_ {n} rangle - langle x_ {n}, x rangle - langle x, x_ {n} rangle rightarrow 0.}$

• Pokud je Hilbertův prostor konečně-dimenzionální, tj. A Euklidovský prostor, pak jsou pojmy slabé konvergence a silné konvergence stejné.

Příklad

První 3 funkce v pořadí ${ displaystyle f_ {n} (x) = sin (nx)}$ na ${ displaystyle [0,2 pi]}$. Tak jako ${ displaystyle n rightarrow infty}$ ${ displaystyle f_ {n}}$ slabě konverguje k ${ displaystyle f = 0}$.

Hilbertův prostor ${ displaystyle L ^ {2} [0,2 pi]}$ je prostor čtvercově integrovatelné funkce na intervalu ${ displaystyle [0,2 pi]}$ vybavené vnitřním výrobkem definovaným

${ displaystyle langle f, g rangle = int _ {0} ^ {2 pi} f (x) cdot g (x) , dx,}$

(vidět L^p prostor ). Posloupnost funkcí ${ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, ldots}$ definován

${ displaystyle f_ {n} (x) = sin (nx)}$

slabě konverguje k nulové funkci v ${ displaystyle L ^ {2} [0,2 pi]}$, jako integrál

${ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} sin (nx) cdot g (x) , dx.}$

má tendenci k nule pro jakoukoli funkci integrovatelnou do čtverce ${ displaystyle g}$ na ${ displaystyle [0,2 pi]}$ když ${ displaystyle n}$ jde do nekonečna, což je tím Riemann – Lebesgueovo lemma, tj.

${ displaystyle langle f_ {n}, g rangle to langle 0, g rangle = 0.}$

Ačkoli ${ displaystyle f_ {n}}$ má rostoucí počet 0 v ${ displaystyle [0,2 pi]}$ tak jako ${ displaystyle n}$ jde do nekonečna, samozřejmě se nerovná nulové funkci pro žádnou ${ displaystyle n}$. Všimněte si, že ${ displaystyle f_ {n}}$ nekonverguje na 0 v ${ displaystyle L _ { infty}}$ nebo ${ displaystyle L_ {2}}$ normy. Tato odlišnost je jedním z důvodů, proč je tento typ konvergence považován za „slabý“.

Slabá konvergence ortonormálních sekvencí

Zvažte sekvenci ${ displaystyle e_ {n}}$ který byl zkonstruován jako ortonormální, to znamená

${ displaystyle langle e_ {n}, e_ {m} rangle = delta _ {mn}}$

kde ${ displaystyle delta _ {mn}}$ se rovná jedné, pokud m = n a jinak nula. Tvrdíme, že pokud je posloupnost nekonečná, pak konverguje slabě k nule. Jednoduchý důkaz je následující. Pro X ∈ H, my máme

${ displaystyle sum _ {n} | langle e_ {n}, x rangle | ^ {2} leq | x | ^ {2}}$ (Besselova nerovnost )

kde platí rovnost, když {E_n} je Hilbertův vesmírný základ. Proto

${ displaystyle | langle e_ {n}, x rangle | ^ {2} rightarrow 0}$ (protože výše uvedená řada konverguje, její odpovídající sekvence musí jít na nulu)

tj.

${ displaystyle langle e_ {n}, x rangle rightarrow 0.}$

Banach – Saksova věta

The Banach – Saksova věta uvádí, že každá ohraničená sekvence ${ displaystyle x_ {n}}$ obsahuje subsekvenci ${ displaystyle x_ {n_ {k}}}$ a bod X takhle

${ displaystyle { frac {1} {N}} součet _ {k = 1} ^ {N} x_ {n_ {k}}}$

silně konverguje k X tak jako N jde do nekonečna.

Zobecnění

Definici slabé konvergence lze rozšířit na Banachovy prostory. Posloupnost bodů ${ displaystyle (x_ {n})}$ v Banachově prostoru B říká se slabě konvergovat do bodu X v B -li

${ displaystyle f (x_ {n}) až f (x)}$

pro jakoukoli ohraničenou lineární funkční ${ displaystyle f}$ definováno dne ${ displaystyle B}$, tedy pro všechny ${ displaystyle f}$ v dvojí prostor ${ displaystyle B '}$. Li ${ displaystyle B}$ je LP prostor na ${ displaystyle Omega}$, a ${ displaystyle p < infty}$ pak jakýkoli takový ${ displaystyle f}$ má formu

${ displaystyle f (x) = int _ { Omega} x , y , d mu}$

Pro některé ${ displaystyle y in , L ^ {q} (B)}$ kde ${ displaystyle { frac {1} {p}} + { frac {1} {q}} = 1}$ a ${ displaystyle mu}$ je opatření na ${ displaystyle Omega}$.

V případě, že ${ displaystyle B}$ je tedy Hilbertův prostor Rieszova věta o reprezentaci,

${ displaystyle f ( cdot) = langle cdot, y rangle}$

pro některé ${ displaystyle y}$ v ${ displaystyle B}$, takže se získá Hilbertova definice prostoru slabé konvergence.