Bergmanův prostor - Bergman space - Wikipedia

v komplexní analýza, funkční analýza a teorie operátorů, a Bergmanův prostor je funkční prostor z holomorfní funkce v doména D z složité letadlo které jsou na hranici dostatečně vychované, že jsou absolutně integrovatelný. Konkrétně pro 0 < p < ∞, Bergmanův prostor A^p(D) je prostorem všech holomorfních funkcí ${ displaystyle f}$ v D pro které p-norma je konečný:

${ displaystyle | f | _ {A ^ {p} (D)}: = left ( int _ {D} | f (x + iy) | ^ {p} , dx , dy right ) ^ {1 / p} < infty.}$

Množství ${ displaystyle | f | _ {A ^ {p} (D)}}$ se nazývá norma funkce F; je to pravda norma -li ${ displaystyle p geq 1}$. Tím pádem A^p(D) je podprostor holomorfních funkcí, které jsou v prostoru L^p(D). Bergmanovy prostory jsou Banachovy prostory, což je důsledek odhadu, platného dne kompaktní podmnožiny K. z D:

${ displaystyle sup _ {z v K} | f (z) | leq C_ {K} | f | _ {L ^ {p} (D)}.}$

(1)

Konvergence sekvence holomorfních funkcí v L^p(D) naznačuje také kompaktní konvergence, a tak je limitní funkce také holomorfní.

Li p = 2, pak A^p(D) je reprodukce jádra Hilbertova prostoru, jehož jádro je dáno Bergmanovo jádro.

Zvláštní případy a zevšeobecňování

Pokud doména D je ohraničený, pak je norma často dána

${ displaystyle | f | _ {A ^ {p} (D)}: = left ( int _ {D} | f (z) | ^ {p} , dA right) ^ {1 / p} ; ; ; ; ; (f v A ^ {p} (D)),}$

kde ${ displaystyle A}$ je normalizovaný Lebesgueovo opatření komplexní roviny, tj. dA = dz/Plocha(D). Alternativně dA = dz/π se používá bez ohledu na oblast DBergmanův prostor je obvykle definován na otevřeném prostranství jednotka disku ${ displaystyle mathbb {D}}$ komplexní roviny, v takovém případě ${ displaystyle A ^ {p} ( mathbb {D}): = A ^ {p}}$. V Hilbertově vesmírném případě, zadáno ${ displaystyle f (z) = součet _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} z ^ {n} v A ^ {2}}$, my máme

${ displaystyle | f | _ {A ^ {2}} ^ {2}: = { frac {1} { pi}} int _ { mathbb {D}} | f (z) | ^ {2} , dz = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {| a_ {n} | ^ {2}} {n + 1}},}$

to je A² je izometricky izomorfní s váženým ℓ^p(1 / (n + 1)) prostor.^[1] Zejména polynomy jsou hustý v A². Podobně, pokud D = ℂ₊, tedy pravá (nebo horní) komplexní polorovina

${ displaystyle | F | _ {A ^ {2} ( mathbb {C} _ {+})} ^ {2}: = { frac {1} { pi}} int _ { mathbb {C} _ {+}} | F (z) | ^ {2} , dz = int _ {0} ^ { infty} | f (t) | ^ {2} { frac {dt} { t}},}$

kde ${ displaystyle F (z) = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- tz} , dt}$, to znamená, A²(ℂ₊) je izometricky izomorfní s váženým L^p_{1 / t} (0,∞) prostor (přes Laplaceova transformace ).^[2][3]

Vážený Bergmanův prostor A^p(D) je definován analogickým způsobem,^[1] tj.

${ displaystyle | f | _ {A_ {w} ^ {p} (D)}: = left ( int _ {D} | f (x + iy) | ^ {2} , w (x + iy) , dx , dy right) ^ {1 / p},}$

pokud w : D → [0, ∞) je zvolen tak, že ${ displaystyle A_ {w} ^ {p} (D)}$ je Banachův prostor (nebo a Hilbertův prostor, pokud p = 2). V případě, že ${ displaystyle D = mathbb {D}}$váženým Bergmanovým prostorem ${ displaystyle A _ { alpha} ^ {p}}$^[4] máme na mysli prostor všech analytických funkcí F takhle

${ displaystyle | f | _ {A _ { alpha} ^ {p}}: = left (( alpha +1) int _ { mathbb {D}} | f (z) | ^ {p } , (1- | z | ^ {2}) ^ { alpha} dA (z) vpravo) ^ {1 / p} < infty,}$

a podobně na pravé polorovině (tj. ${ displaystyle A _ { alpha} ^ {p} ( mathbb {C} _ {+})}$) my máme^[5]

${ displaystyle | f | _ {A _ { alpha} ^ {p} ( mathbb {C} _ {+})}: = left ({ frac {1} { pi}} int _ { mathbb {C} _ {+}} | f (x + iy) | ^ {p} x ^ { alpha} , dx , dy right) ^ {1 / p},}$

a tento prostor je izometricky izomorfní, prostřednictvím Laplaceovy transformace, do prostoru ${ displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R} _ {+}, , d mu _ { alpha})}$,^[6][7] kde

${ displaystyle d mu _ { alpha}: = { frac { Gamma ( alpha +1)} {2 ^ { alpha} t ^ { alpha +1}}} , dt}$

(tady Γ označuje Funkce gama ).

Někdy se uvažuje například o dalších zobecněních ${ displaystyle A _ { nu} ^ {2}}$ označuje vážený Bergmanův prostor (často nazývaný zenový prostor)^[3]) s ohledem na pozitivní invariantní regulární překlad Borelův rozměr ${ displaystyle nu}$ na uzavřené pravé komplexní polorovině ${ displaystyle { overline { mathbb {C} _ {+}}}}$, to je

${ displaystyle A _ { nu} ^ {p}: = left {f: mathbb {C} _ {+} longrightarrow mathbb {C} ; { text {analytický}} ;: ; | f | _ {A _ { nu} ^ {p}}: = left ( sup _ { epsilon> 0} int _ { overline { mathbb {C} _ {+}}} | f (z + epsilon) | ^ {p} , d nu (z) right) ^ {1 / p} < infty right }.}$

Reprodukce jader

Reprodukční jádro ${ displaystyle k_ {z} ^ {A ^ {2}}}$ z A² v bodě ${ displaystyle z in mathbb {D}}$ je dána^[1]

${ displaystyle k_ {z} ^ {A ^ {2}} ( zeta) = { frac {1} {(1 - { overline {z}} zeta) ^ {2}}} ; ; ; ; ; ( zeta v mathbb {D}),}$

a podobně pro ${ displaystyle A ^ {2} ( mathbb {C} _ {+})}$ my máme^[5]

${ displaystyle k_ {z} ^ {A ^ {2} ( mathbb {C} _ {+})} ( zeta) = { frac {1} {({ overline {z}} + zeta) ^ {2}}} ; ; ; ; ; ( zeta v mathbb {C} _ {+}),}$.

Obecně, pokud ${ displaystyle varphi}$ mapuje doménu ${ displaystyle Omega}$ konformně do domény ${ displaystyle D}$, pak^[1]

${ displaystyle k_ {z} ^ {A ^ {2} ( Omega)} ( zeta) = k _ { varphi (z)} ^ {{ mathcal {A}} ^ {2} (D)} ( varphi ( zeta)) , { overline { varphi '(z)}} varphi' ( zeta) ; ; ; ; ; (z, zeta v Omega).}$

V váženém případě máme^[4]

${ displaystyle k_ {z} ^ {A _ { alpha} ^ {2}} ( zeta) = { frac { alpha +1} {(1 - { overline {z}} zeta) ^ { alfa +2}}} ; ; ; ; ; (z, zeta v mathbb {D}),}$

a^[5]

${ displaystyle k_ {z} ^ {A _ { alpha} ^ {2} ( mathbb {C} _ {+})} ( zeta) = { frac {2 ^ { alpha} ( alfa +1 )} {({ overline {z}} + zeta) ^ { alpha +2}}} ; ; ; ; ; (z, zeta in mathbb {C} _ {+} ).}$

Reference

Další čtení

• Bergman, Stefan (1970), Funkce jádra a konformní mapováníMatematické průzkumy, 5 (2. vyd.), Americká matematická společnost
• Hedenmalm, H .; Korenblum, B .; Zhu, K. (2000), Teorie Bergmanových prostorů Springer, ISBN  978-0-387-98791-0
• Richter, Stefan (2001) [1994], "Bergmanovy prostory", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS.

Viz také

• Bergmanovo jádro
• Banachův prostor
• Hilbertův prostor
• Reprodukce jádra Hilbertova prostoru
• Hardy prostor
• Dirichletův prostor

Tento matematická analýza –Příbuzný článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.