Ohraničená inverzní věta - Bounded inverse theorem - Wikipedia

v matematika, omezená inverzní věta (nebo věta o inverzním mapování) je výsledkem teorie ohraničené lineární operátory na Banachovy prostory. Uvádí se v něm, že a bijektivní ohraničený lineární operátor T z jednoho Banachova prostoru do druhého se ohraničilo inverzní T⁻¹. to je ekvivalent oběma otevřená věta o mapování a věta o uzavřeném grafu.

Zobecnění

Protiklad

Tato věta nemusí platit pro normované prostory, které nejsou úplné. Zvažte například prostor X z sekvence X : N → R s pouze konečně mnoha nenulovými podmínkami vybavenými nadřazená norma. Mapa T : X → X definován

${ displaystyle Tx = left (x_ {1}, { frac {x_ {2}} {2}}, { frac {x_ {3}} {3}}, dots right)}$

je ohraničený, lineární a invertibilní, ale T⁻¹ je neomezený. To neodporuje omezené inverzní větě od té doby X není kompletní, a nejedná se tedy o Banachův prostor. Chcete-li zjistit, že to není úplné, zvažte posloupnost sekvencí X⁽ⁿ⁾ ∈ X dána

${ displaystyle x ^ {(n)} = left (1, { frac {1} {2}}, dots, { frac {1} {n}}, 0,0, dots right) }$

konverguje jako n → ∞ do sekvence X^(∞) dána

${ displaystyle x ^ {( infty)} = left (1, { frac {1} {2}}, dots, { frac {1} {n}}, dots right),}$

který má všechny své termíny nenulové, a tak v něm neleží X.

Dokončení X je prostor ${ displaystyle c_ {0}}$ všech sekvencí, které konvergují k nule, což je (uzavřený) podprostor ℓ_p prostor ℓ_∞(N), což je prostor všech ohraničených sekvencí. V tomto případě však mapa T není na, a tedy není bijekce. Chcete-li to vidět, je třeba jednoduše poznamenat, že sekvence

${ displaystyle x = left (1, { frac {1} {2}}, { frac {1} {3}}, dots right),}$

je prvek ${ displaystyle c_ {0}}$, ale není v rozsahu ${ displaystyle T: c_ {0} až c_ {0}}$.

Viz také

• Téměř otevřená lineární mapa
• Uzavřený graf - Graf funkce, která je také uzavřenou podmnožinou produktového prostoru
• Věta o uzavřeném grafu
• Věta o otevřeném mapování (funkční analýza) - Věta poskytující podmínky pro to, aby spojitá lineární mapa byla otevřenou mapou
• Surjection of Fréchet spaces - Věta charakterizující, když je spojitá lineární mapa mezi Fréchetovými prostory surjektivní.
• Webbedový prostor - Topologické vektorové prostory, pro které platí věty o otevřeném mapování a uzavřeném grafu

Reference

Bibliografie

• Köthe, Gottfried (1969). Topologické vektorové prostory I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 159. Přeložil Garling, D.J.H. New York: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-64988-2. PAN  0248498. OCLC  840293704.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologické vektorové prostory. Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Úvod do parciálních diferenciálních rovnic. Texty v aplikované matematice 13 (druhé vydání). New York: Springer-Verlag. str.356. ISBN  0-387-00444-0. (Část 8.2)
• Wilansky, Albert (2013). Moderní metody v topologických vektorových prostorech. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN  978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.