Koopman – von Neumann klasická mechanika - Koopman–von Neumann classical mechanics - Wikipedia

Výše uvedené axiomy (i) až (iv), s vnitřní produkt napsáno v braketová notace, jsou

(i) ${ displaystyle langle psi (t) | psi (t) rangle = 1}$,

(ii) Očekávaná hodnota pozorovatelné ${ displaystyle { hat {A}}}$ v čase ${ displaystyle t}$ je ${ displaystyle langle A (t) rangle = langle Psi (t) | { hat {A}} | Psi (t) rangle.}$

(iii) Pravděpodobnost, že měření pozorovatelné ${ displaystyle { hat {A}}}$ v čase ${ displaystyle t}$ výnosy ${ displaystyle A}$ je ${ displaystyle left | langle A | Psi (t) rangle right | ^ {2}}$, kde ${ displaystyle { hat {A}} | A rangle = A | A rangle}$. (Tento axiom je obdobou Narozené pravidlo v kvantové mechanice.^[8])

(iv) (viz Tenzorový produkt Hilbertových prostorů ).

Začínáme od následujících rovnic pro očekávané hodnoty souřadnic X a hybnost str

${ displaystyle m { frac {d} {dt}} langle x rangle = langle p rangle, qquad { frac {d} {dt}} langle p rangle = langle -U '( x) rangle,}$

aka, Newtonovy zákony pohybu průměrně přes soubor. S pomocí operátorské axiomy, mohou být přepsány jako

${ displaystyle { begin {zarovnáno} m { frac {d} {dt}} langle Psi (t) | { hat {x}} | Psi (t) rangle & = langle Psi ( t) | { hat {p}} | Psi (t) rangle, { frac {d} {dt}} langle Psi (t) | { hat {p}} | Psi ( t) rangle & = langle Psi (t) | -U '({ hat {x}}) | Psi (t) rangle. end {zarovnáno}}}$

Všimněte si blízké podobnosti s Ehrenfestovy věty v kvantové mechanice. Aplikace produktové pravidlo vede k

${ displaystyle { begin {zarovnáno} langle d Psi / dt | { hat {x}} | Psi rangle + langle Psi | { hat {x}} | d Psi / dt rangle & = langle Psi | { hat {p}} / m | Psi rangle, langle d Psi / dt | { hat {p}} | Psi rangle + langle Psi | { hat {p}} | d Psi / dt rangle & = langle Psi | -U '({ hat {x}}) | Psi rangle, end {zarovnáno}}}$

do kterého dosadíme důsledek Stoneova věta ${ displaystyle i | d Psi (t) / dt rangle = { hat {L}} | Psi (t) rangle}$ a získat

${ displaystyle { begin {aligned} im langle Psi (t) | [{ hat {L}}, { hat {x}}] | Psi (t) rangle & = langle Psi ( t) | { hat {p}} | Psi (t) rangle, i langle Psi (t) | [{ hat {L}}, { hat {p}}] | Psi (t) rangle & = - langle Psi (t) | U '({ hat {x}}) | Psi (t) rangle. end {zarovnáno}}}$

Protože tyto identity musí být platné pro jakýkoli počáteční stav, lze průměrování zrušit a systém komutátorových rovnic pro neznámé ${ displaystyle { hat {L}}}$ je odvozeno

${ displaystyle im [{ hat {L}}, { hat {x}}] = { hat {p}}, qquad i [{ hat {L}}, { hat {p}}] = -U '({ hat {x}}).}$

(komutátorové ekv. pro L)

Předpokládejme, že souřadnice a hybnost dojíždějí ${ displaystyle [{ hat {x}}, { hat {p}}] = 0}$. Tento předpoklad fyzicky znamená, že souřadnici a hybnost klasické částice lze měřit současně, což znamená absenci princip nejistoty.

Řešení ${ displaystyle { hat {L}}}$ nemůže být jednoduše ve formě ${ displaystyle { hat {L}} = L ({ hat {x}}, { hat {p}})}$ protože by to znamenalo kontrakce ${ displaystyle im [L ({ hat {x}}, { hat {p}}), { hat {x}}] = 0 = { hat {p}}}$ a ${ displaystyle i [L ({ hat {x}}, { hat {p}}), { hat {p}}] = 0 = -U '({ hat {x}})}$. Proto musíme využívat další operátory ${ displaystyle { hat { lambda}} _ {x}}$ a ${ displaystyle { hat { lambda}} _ {p}}$ uposlechnout

${ displaystyle [{ hat {x}}, { hat { lambda}} _ {x}] = [{ hat {p}}, { hat { lambda}} _ {p}] = i , quad [{ hat {x}}, { hat {p}}] = [{ hat {x}}, { hat { lambda}} _ {p}] = [{ hat {p }}, { hat { lambda}} _ {x}] = [{ hat { lambda}} _ {x}, { hat { lambda}} _ {p}] = 0.}$

(KvN algebra)

Potřeba zaměstnat tyto pomocné operátory vyvstává, protože dojíždějí všichni klasičtí pozorovatelé. Nyní hledáme ${ displaystyle { hat {L}}}$ ve formě ${ displaystyle { hat {L}} = L ({ hat {x}}, { hat { lambda}} _ {x}, { hat {p}}, { hat { lambda}} _ {p})}$. Využití KvN algebra, komutátorové ekv. pro L lze převést na následující diferenciální rovnice

^[7][9]

${ displaystyle ml '_ { lambda _ {x}} (x, lambda _ {x}, p, lambda _ {p}) = p, qquad L' _ { lambda _ {p}} ( x, lambda _ {x}, p, lambda _ {p}) = - U '(x).}$

Odtud tedy usuzujeme, že klasická vlnová funkce KvN ${ displaystyle | Psi (t) rangle}$ se vyvíjí podle Jako Schrödinger pohybová rovnice

${ displaystyle i { frac {d} {dt}} | Psi (t) rangle = { hat {L}} | Psi (t) rangle, qquad { hat {L}} = { frac { hat {p}} {m}} { hat { lambda}} _ {x} -U '({ hat {x}}) { hat { lambda}} _ {p}. }$

(KvN dynamický ekv)

Ukažme to výslovně KvN dynamický ekv je ekvivalentní s klasická Liouvilleova mechanika.

Od té doby ${ displaystyle { hat {x}}}$ a ${ displaystyle { hat {p}}}$ dojíždět, sdílejí společné vlastní vektory

${ displaystyle { hat {x}} | x, p rangle = x | x, p rangle, quad { hat {p}} | x, p rangle = p | x, p rangle, quad A ({ hat {x}}, { hat {p}}) | x, p rangle = A (x, p) | x, p rangle,}$

(xp eigenvec)

s rozlišení identity${ displaystyle 1 = int dxdp , | x, p rangle langle x, p |.}$Potom získáme z rovnice (KvN algebra)

${ displaystyle langle x, p | { hat { lambda}} _ {x} | Psi rangle = -i { frac { částečné} { částečné x}} langle x, p | Psi rangle, qquad langle x, p | { hat { lambda}} _ {p} | Psi rangle = -i { frac { částečné} { částečné p}} langle x, p | Psi rangle.}$

Promítání rovnice (KvN dynamický ekv) na ${ displaystyle langle x, p |}$, dostaneme pohybovou rovnici pro vlnovou funkci KvN v xp reprezentaci

${ displaystyle left [{ frac { částečné} { částečné t}} + { frac {p} {m}} { frac { částečné} { částečné x}} - U '(x) { frac { částečné} { částečné p}} pravé] langle x, p | Psi (t) rangle = 0.}$

(KvN dynamický ekv. V xp)

Množství ${ displaystyle langle x, , p | Psi (t) rangle}$ je amplituda pravděpodobnosti pro klasickou částici v bodě ${ displaystyle x}$ s hybností ${ displaystyle p}$ v čase ${ displaystyle t}$. Podle axiomy výše, hustota pravděpodobnosti je dána vztahem${ displaystyle rho (x, p; t) = left | langle x, p | Psi (t) rangle right | ^ {2}}$. Využití identity

${ displaystyle { frac { částečné} { částečné t}} rho (x, p; t) = langle Psi (t) | x, p rangle { frac { částečné} { částečné t }} langle x, p | Psi (t) rangle + langle x, p | Psi (t) rangle left ({ frac { částečné} { částečné t}} langle x, p | Psi (t) rangle right) ^ {*}}$

stejně jako (KvN dynamický ekv. V xp), obnovíme klasickou Liouvilleovu rovnici

${ displaystyle left [{ frac { částečné} { částečné t}} + { frac {p} {m}} { frac { částečné} { částečné x}} - U '(x) { frac { částečné} { částečné p}} pravé] rho (x, p; t) = 0.}$

(Liouville ekv)

Navíc podle operátorské axiomy a (xp eigenvec),

${ displaystyle { begin {zarovnáno} langle A rangle & = langle Psi (t) | A ({ hat {x}}, { hat {p}}) | Psi (t) rangle = int dxdp , langle Psi (t) | x, p rangle A (x, p) langle x, p | Psi (t) rangle & = int dxdp , A (x , p) langle Psi (t) | x, p rangle langle x, p | Psi (t) rangle = int dxdp , A (x, p) rho (x, p; t) . end {zarovnáno}}}$

Proto je pravidlo pro výpočet průměrů pozorovatelných ${ displaystyle A (x, p)}$ v klasické statistické mechanice byla získána z operátorské axiomy s dalším předpokladem ${ displaystyle [{ hat {x}}, { hat {p}}] = 0}$. Výsledkem je, že fáze funkce klasické vlny nepřispívá k pozorovatelným průměrům. Na rozdíl od kvantové mechaniky je fáze vlnové funkce KvN fyzicky irelevantní. Z tohoto důvodu neexistence experiment s dvojitou štěrbinou^[6][10][11] stejně jako Aharonov – Bohmův efekt^[12] je zaveden v mechanice KvN.

Projektování KvN dynamický ekv na společný vlastní vektor operátorů ${ displaystyle { hat {x}}}$ a ${ displaystyle { hat { lambda}} _ {p}}$ (tj., ${ displaystyle x lambda _ {p}}$-reprezentace), člověk získá klasickou mechaniku ve zdvojnásobeném konfiguračním prostoru,^[13] jehož zevšeobecňování vede^{[13][14][15][16][17]}do formulace fázového prostoru kvantové mechaniky.

Jako v odvození klasické mechaniky, začneme od následujících rovnic pro průměry souřadnic X a hybnost str

${ displaystyle m { frac {d} {dt}} langle x rangle = langle p rangle, qquad { frac {d} {dt}} langle p rangle = langle -U '( x) rangle.}$

S pomocí operátorské axiomy, mohou být přepsány jako

${ displaystyle { begin {zarovnáno} m { frac {d} {dt}} langle Psi (t) | { hat {x}} | Psi (t) rangle & = langle Psi ( t) | { hat {p}} | Psi (t) rangle, { frac {d} {dt}} langle Psi (t) | { hat {p}} | Psi ( t) rangle & = langle Psi (t) | -U '({ hat {x}}) | Psi (t) rangle. end {zarovnáno}}}$

Tohle jsou Ehrenfestovy věty v kvantové mechanice. Aplikace produktové pravidlo vede k

${ displaystyle { begin {zarovnáno} langle d Psi / dt | { hat {x}} | Psi rangle + langle Psi | { hat {x}} | d Psi / dt rangle & = langle Psi | { hat {p}} / m | Psi rangle, langle d Psi / dt | { hat {p}} | Psi rangle + langle Psi | { hat {p}} | d Psi / dt rangle & = langle Psi | -U '({ hat {x}}) | Psi rangle, end {zarovnáno}}}$

do kterého dosadíme důsledek Stoneova věta

${ displaystyle i hbar | d Psi (t) / dt rangle = { hat {H}} | Psi (t) rangle,}$

kde ${ displaystyle hbar}$ byla zavedena jako normalizační konstanta k vyvážení dimenzionality. Protože tyto identity musí být platné pro jakýkoli počáteční stav, lze průměrování zrušit a systém komutátorových rovnic pro neznámý kvantový generátor pohybu ${ displaystyle { hat {H}}}$ jsou odvozeny

${ displaystyle im [{ hat {H}}, { hat {x}}] = hbar { hat {p}}, qquad i [{ hat {H}}, { hat {p} }] = - hbar U '({ hat {x}}).}$

Na rozdíl od případu klasická mechanika, my předpokládejme, že pozorovatelné souřadnice a hybnost poslouchají kanonický komutační vztah ${ displaystyle [{ hat {x}}, { hat {p}}] = i hbar}$. Nastavení ${ displaystyle { hat {H}} = H ({ hat {x}}, { hat {p}})}$lze komutátorové rovnice převést na diferenciální rovnice^[7][9]

${ displaystyle mH '_ {p} (x, p) = p, qquad H' _ {x} (x, p) = U '(x),}$

jehož řešení je známé kvantový hamiltonián

${ displaystyle { hat {H}} = { frac {{ hat {p}} ^ {2}} {2m}} + U ({ hat {x}}).}$

Odkud Schrödingerova rovnice byl odvozen z Ehrenfestových vět za předpokladu kanonického komutačního vztahu mezi souřadnicí a hybností. Tento původ stejně jako odvození klasické KvN mechaniky ukazuje, že rozdíl mezi kvantovou a klasickou mechanikou se v podstatě zmenšuje na hodnotu komutátoru ${ displaystyle [{ hat {x}}, { hat {p}}]}$.