V matematice je Hilbertova věta o projekci je slavným výsledkem konvexní analýza to říká, že pro každý vektor
v Hilbertův prostor
a každé neprázdné uzavřené konvexní
, existuje jedinečný vektor
pro který
je minimalizován přes vektory
.
To platí zejména pro jakýkoli uzavřený podprostor
z
. V takovém případě nezbytná a dostatečná podmínka pro
je to vektor
být kolmý na
.
Důkaz
Nechť δ je vzdálenost mezi X a C, (yn) sekvence v C taková, že vzdálenost byla na druhou X a yn je pod nebo roven δ2 + 1/n. Nechat n a m být dvě celá čísla, pak platí následující rovnosti:

a

Máme tedy:

(Vzpomeňte si na vzorec pro střední hodnotu v trojúhelníku - Medián_ (geometrie) # Formulas_involving_the_medians'_lengths ) Zadáním horní hranice prvních dvou podmínek rovnosti a všimnutím si, že uprostřed yn a ym patřit k C a má tedy vzdálenost větší nebo rovnou δ z X, jeden dostane:

Poslední nerovnost dokazuje, že (yn) je Cauchyova posloupnost. Od té doby C je kompletní, posloupnost je tedy konvergentní k bodu y v C, jehož vzdálenost od X je minimální.
Nechat y1 a y2 být dva minimalizátory. Pak:

Od té doby
patří C, my máme
a proto

Proto
, což dokazuje jedinečnost.
- Ukažme ekvivalentní podmínku na y když C = M je uzavřený podprostor.
Podmínka je dostatečná: Let
takhle
pro všechny
.
což to dokazuje
je minimalizátor.
Podmínka je nutná: Let
být minimalizátorem. Nechat
a
.

je vždy nezáporné. Proto, 
QED
Reference
- Walter Rudin, Skutečná a komplexní analýza. Třetí edice, 1987.
Viz také
|
---|
Prostory | |
---|
Věty | |
---|
Operátoři | |
---|
Algebry | |
---|
Otevřené problémy | |
---|
Aplikace | |
---|
Pokročilá témata | |
---|