Hilbertova věta o projekci - Hilbert projection theorem - Wikipedia

V matematice je Hilbertova věta o projekci je slavným výsledkem konvexní analýza to říká, že pro každý vektor ${ displaystyle x}$ v Hilbertův prostor ${ displaystyle H}$ a každé neprázdné uzavřené konvexní ${ displaystyle C podmnožina H}$, existuje jedinečný vektor ${ displaystyle v C}$ pro který ${ displaystyle lVert x-z rVert}$ je minimalizován přes vektory ${ displaystyle z v C}$.

To platí zejména pro jakýkoli uzavřený podprostor ${ displaystyle M}$ z ${ displaystyle H}$. V takovém případě nezbytná a dostatečná podmínka pro ${ displaystyle y}$ je to vektor ${ displaystyle x-y}$ být kolmý na ${ displaystyle M}$.

Důkaz

• Ukažme existenci y:

Nechť δ je vzdálenost mezi X a C, (y_n) sekvence v C taková, že vzdálenost byla na druhou X a y_n je pod nebo roven δ² + 1/n. Nechat n a m být dvě celá čísla, pak platí následující rovnosti:

${ displaystyle | y_ {n} -y_ {m} | ^ {2} = | y_ {n} -x | ^ {2} + | y_ {m} -x | ^ {2} -2 langle y_ {n} -x ,, , y_ {m} -x rangle}$

a

${ displaystyle 4 left | { frac {y_ {n} + y_ {m}} {2}} - x right | ^ {2} = | y_ {n} -x | ^ {2 } + | y_ {m} -x | ^ {2} +2 langle y_ {n} -x ,, , y_ {m} -x rangle}$

Máme tedy:

${ displaystyle | y_ {n} -y_ {m} | ^ {2} = 2 | y_ {n} -x | ^ {2} +2 | y_ {m} -x | ^ { 2} -4 left | { frac {y_ {n} + y_ {m}} {2}} - x right | ^ {2}}$

(Vzpomeňte si na vzorec pro střední hodnotu v trojúhelníku - Medián_ (geometrie) # Formulas_involving_the_medians'_lengths ) Zadáním horní hranice prvních dvou podmínek rovnosti a všimnutím si, že uprostřed y_n a y_m patřit k C a má tedy vzdálenost větší nebo rovnou δ z X, jeden dostane:

${ displaystyle | y_ {n} -y_ {m} | ^ {2} ; leq ; 2 left ( delta ^ {2} + { frac {1} {n}} right) +2 left ( delta ^ {2} + { frac {1} {m}} right) -4 delta ^ {2} = 2 left ({ frac {1} {n}} + { frac {1} {m}} vpravo)}$

Poslední nerovnost dokazuje, že (y_n) je Cauchyova posloupnost. Od té doby C je kompletní, posloupnost je tedy konvergentní k bodu y v C, jehož vzdálenost od X je minimální.

• Ukažme jedinečnost y :

Nechat y₁ a y₂ být dva minimalizátory. Pak:

${ displaystyle | y_ {2} -y_ {1} | ^ {2} = 2 | y_ {1} -x | ^ {2} +2 | y_ {2} -x | ^ { 2} -4 left | { frac {y_ {1} + y_ {2}} {2}} - x right | ^ {2}}$

Od té doby ${ displaystyle { frac {y_ {1} + y_ {2}} {2}}}$ patří C, my máme ${ displaystyle left | { frac {y_ {1} + y_ {2}} {2}} - x right | ^ {2} geq delta ^ {2}}$ a proto

${ displaystyle | y_ {2} -y_ {1} | ^ {2} leq 2 delta ^ {2} +2 delta ^ {2} -4 delta ^ {2} = 0 ,}$

Proto ${ displaystyle y_ {1} = y_ {2}}$, což dokazuje jedinečnost.

• Ukažme ekvivalentní podmínku na y když C = M je uzavřený podprostor.

Podmínka je dostatečná: Let ${ displaystyle z v M}$ takhle ${ displaystyle langle z-x, a rangle = 0}$ pro všechny ${ displaystyle a v M}$.${ displaystyle | xa | ^ {2} = | zx | ^ {2} + | az | ^ {2} +2 langle zx, az rangle = | zx | ^ {2 } + | az | ^ {2}}$ což to dokazuje ${ displaystyle z}$ je minimalizátor.

Podmínka je nutná: Let ${ displaystyle y v M}$ být minimalizátorem. Nechat ${ displaystyle a v M}$ a ${ displaystyle t in mathbb {R}}$.

${ displaystyle | (y + ta) -x | ^ {2} - | yx | ^ {2} = 2t langle yx, a rangle + t ^ {2} | a | ^ { 2} = 2t langle yx, a rangle + O (t ^ {2})}$

je vždy nezáporné. Proto, ${ displaystyle langle y-x, a rangle = 0.}$

QED

Reference

• Walter Rudin, Skutečná a komplexní analýza. Třetí edice, 1987.

Viz také

• Princip ortogonality