Tenzorový produkt Hilbertových prostorů - Tensor product of Hilbert spaces

v matematika, a zejména funkční analýza, tenzorový produkt Hilbertovy prostory je způsob, jak rozšířit tenzorový produkt konstrukce tak, že výsledkem přijetí tenzorového součinu dvou Hilbertových prostorů je další Hilbertův prostor. Zhruba řečeno, tenzorový produkt je metrický prostor dokončení běžného tenzorového produktu. Toto je příklad a topologický tenzorový produkt. Produkt tensor umožňuje shromažďování Hilbertových prostorů do a symetrická monoidní kategorie.^[1]

Definice

Protože Hilbertovy prostory mají vnitřní výrobky, chtěli bychom představit vnitřní produkt, a tedy topologii, na tenzorovém produktu, který přirozeně vychází z faktorů. NechatH₁ aH₂ být dva Hilbertovy prostory s vnitřními produkty ${ displaystyle langle cdot, cdot rangle _ {1}}$ a ${ displaystyle langle cdot, cdot rangle _ {2}}$ , resp. Sestavte tenzorový součin zH₁ aH₂ jako vektorové prostory, jak je vysvětleno v článku na tenzorové výrobky. Tento produkt tenzoru vektorového prostoru můžeme přeměnit na vnitřní produktový prostor definováním

{ displaystyle langle phi _ {1} otimes phi _ {2}, psi _ {1} otimes psi _ {2} rangle = langle phi _ {1}, psi _ { 1} rangle _ {1} , langle phi _ {2}, psi _ {2} rangle _ {2} quad { mbox {pro všechny}} phi _ {1}, psi _ {1} v H_ {1} { mbox {a}} phi _ {2}, psi _ {2} v H_ {2}}

a rozšiřuje se o linearitu. To, že tento vnitřní produkt je přirozený, je odůvodněno identifikací bilineárních map se skalární hodnotou H₁ × H₂ a lineární funkcionály na jejich produktu tenzoru vektorového prostoru. Nakonec si vezměte dokončení pod tímto vnitřním produktem. Výsledný Hilbertův prostor je tenzorovým součinemH₁ aH₂.

Explicitní konstrukce

Tenzorový produkt lze také definovat, aniž by se odvolával na dokončení metrického prostoru. Li H₁ a H₂ jsou dva Hilbertovy prostory, jeden se přidruží ke každému jednoduchý tenzor produkt ${ displaystyle x_ {1} další krát x_ {2}}$ operátor první úrovně od ${ displaystyle H_ {1} ^ {*}}$ na H₂ který mapuje danou věc ${ displaystyle x ^ {*} v H_ {1} ^ {*}}$ tak jako

{ displaystyle x ^ {*} mapsto x ^ {*} (x_ {1}) , x_ {2}}

To se vztahuje na lineární identifikaci mezi ${ displaystyle H_ {1} krát H_ {2}}$ a prostor operátorů konečné pozice z ${ displaystyle H_ {1} ^ {*}}$ na H₂. V prostoru Hilberta jsou vloženy operátory konečné pozice ${ displaystyle HS (H_ {1} ^ {*}, H_ {2})}$ z Operátoři Hilbert – Schmidt z ${ displaystyle H_ {1} ^ {*}}$ na H₂. Skalární součin v ${ displaystyle HS (H_ {1} ^ {*}, H_ {2})}$ je dána

{ displaystyle langle T_ {1}, T_ {2} rangle = sum _ {n} left langle T_ {1} e_ {n} ^ {*}, T_ {2} e_ {n} ^ { *} doprava rangle,}

kde ${ displaystyle (e_ {n} ^ {*})}$ je libovolný ortonormální základ ${ displaystyle H_ {1} ^ {*}.}$

Pod předchozí identifikací lze definovat Hilbertianův tenzorový součin H₁ a H₂, to je izometricky a lineárně izomorfní s ${ displaystyle HS (H_ {1} ^ {*}, H_ {2}).}$

Univerzální vlastnictví

Hilbertův tenzorový produkt ${ displaystyle H = H_ {1} krát H_ {2}}$ je charakterizován následujícím univerzální vlastnictví (Kadison & Ringrose 1997, Věta 2.6.4):

Existuje slabé mapování Hilbert – Schmidt str : H₁ × H₂ → H takové, že vzhledem k jakémukoli slabému mapování Hilbert – Schmidt L : H₁ × H₂ → K. do Hilbertova prostoru K., existuje jedinečný omezený operátor T : H → K. takhle L = Tp.

Slabé Hilbert-Schmidtovo mapování L : H₁ × H₂ → K. je definována jako bilineární mapa, pro kterou je reálné číslo d existuje, takový, že

{ displaystyle sum _ {i, j = 1} ^ { infty} { big |} left langle L (e_ {i}, f_ {j}), u right rangle { big |} ^ {2} leq d ^ {2} , | u | ^ {2}}

pro všechny ${ displaystyle u v K}$ a jeden (tedy celý) ortonormální základ E₁, E₂, ... ze dne H₁ a F₁, F₂, ... ze dne H₂.

Stejně jako u jakékoli univerzální vlastnosti charakterizuje tenzorový produkt H jedinečně, až do izomorfismu. Stejná univerzální vlastnost se zjevnými modifikacemi platí také pro tenzorový součin libovolného konečného počtu Hilbertových prostorů. Je to v podstatě stejná univerzální vlastnost sdílená všemi definicemi tenzorových produktů, bez ohledu na tenzorované prostory: to znamená, že jakýkoli prostor s tenzorovým produktem je symetrická monoidní kategorie, a Hilbertovy prostory jsou jejich konkrétním příkladem.

Nekonečné tenzorové produkty

Li ${ displaystyle H_ {n}}$ je sbírka Hilbertových prostorů a ${ displaystyle xi _ {n}}$ je sbírka jednotkových vektorů v těchto Hilbertových prostorech, pak neúplný tenzorový produkt (nebo tenzorový produkt Guichardet) je ${ displaystyle L ^ {2}}$ dokončení množiny všech konečných lineárních kombinací jednoduchých tenzorových vektorů ${ displaystyle otimes _ {n = 1} ^ { infty} psi _ {n}}$ kde všichni ale konečně mnoho z ${ displaystyle psi _ {n}}$ rovná se odpovídající ${ displaystyle xi _ {n}}$ .^[2]

Algebry operátora

Nechat ${ displaystyle { mathfrak {A}} _ {i}}$ být von Neumannova algebra omezených operátorů na ${ displaystyle H_ {i}}$ pro ${ displaystyle i = 1,2.}$ Pak von Neumannův tenzorový produkt von Neumannův algebry je silným dokončením sady všech konečných lineárních kombinací jednoduchých tenzorových produktů ${ displaystyle A_ {1} další A_ {2}}$ kde ${ displaystyle A_ {i} in { mathfrak {A}} _ {i}}$ pro ${ displaystyle i = 1,2.}$ To se přesně rovná von Neumannově algebře ohraničených operátorů ${ displaystyle H_ {1} další H_ {2}.}$ Na rozdíl od Hilbertových prostorů si člověk může vzít nekonečné tenzorové produkty von Neumannův algeber, a na to přijde C * -algebry operátorů bez definování referenčních stavů.^[2] To je jedna výhoda „algebraické“ metody v kvantové statistické mechanice.

Vlastnosti

Li ${ displaystyle H_ {1}}$ a ${ displaystyle H_ {2}}$ mít ortonormální základy ${ displaystyle { phi _ {k} }}$ a ${ displaystyle { psi _ {l} },}$ respektive tedy ${ displaystyle { phi _ {k} další psi _ {l} }}$ je ortonormální základ pro ${ displaystyle H_ {1} další H_ {2}.}$ Zejména Hilbertova dimenze tenzorového produktu je produkt (jako základní čísla ) Hilbertovy dimenze.

Příklady a aplikace

Následující příklady ukazují, jak tenzorové produkty vznikají přirozeně.

Vzhledem k tomu dva změřte mezery ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ , s opatřeními ${ displaystyle mu}$ a ${ displaystyle nu}$ jeden se může podívat na ${ displaystyle L ^ {2} (X krát Y)}$ , prostor funkcí zapnutý ${ displaystyle X krát Y}$ které jsou čtvercově integrovatelné s ohledem na míru produktu ${ displaystyle mu times nu.}$ Li ${ displaystyle f}$ je čtvercová integrovatelná funkce na ${ displaystyle X,}$ a ${ displaystyle g}$ je čtvercová integrovatelná funkce na ${ displaystyle Y,}$ pak můžeme definovat funkci ${ displaystyle h}$ na ${ displaystyle X krát Y}$ podle ${ displaystyle h (x, y) = f (x) g (y).}$ Definice míry produktu zajišťuje, že všechny funkce tohoto formuláře jsou čtvercově integrovatelné, takže toto definuje a bilineární mapování ${ displaystyle L ^ {2} (X) krát L ^ {2} (Y) až L ^ {2} (X krát Y).}$ Lineární kombinace funkcí formuláře ${ displaystyle f (x) g (y)}$ jsou také v ${ displaystyle L ^ {2} (X krát Y)}$ . Ukazuje se, že sada lineárních kombinací je ve skutečnosti hustá ${ displaystyle L ^ {2} (X krát Y),}$ -li ${ displaystyle L ^ {2} (X)}$ a ${ displaystyle L ^ {2} (Y)}$ jsou oddělitelné.^{[Citace je zapotřebí ]} To ukazuje ${ displaystyle L ^ {2} (X) mnohokrát L ^ {2} (Y)}$ je izomorfní na ${ displaystyle L ^ {2} (X krát Y),}$ a také vysvětluje, proč musíme dokončit konstrukci produktu Hilbertův vesmírný tenzor.

Podobně to můžeme ukázat ${ displaystyle L ^ {2} (X; H)}$ , označující prostor čtvercových integrovatelných funkcí ${ displaystyle X až H}$ , je izomorfní s ${ displaystyle L ^ {2} (X) otimes H}$ pokud je tento prostor oddělitelný. Mapy izomorfismu ${ displaystyle f (x) otimes phi v L ^ {2} (X) otimes H}$ na ${ displaystyle f (x) phi v L ^ {2} (X; H)}$ Můžeme to zkombinovat s předchozím příkladem a dojít k závěru ${ displaystyle L ^ {2} (X) mnohokrát L ^ {2} (Y)}$ a ${ displaystyle L ^ {2} (X krát Y)}$ jsou oba izomorfní ${ displaystyle L ^ {2} (X; L ^ {2} (Y)).}$

Tenzorové produkty Hilbertových prostorů často vznikají v kvantová mechanika. Pokud je nějaká částice popsána Hilbertovým prostorem ${ displaystyle H_ {1},}$ a další částice je popsána v ${ displaystyle H_ {2},}$ pak je systém skládající se z obou částic popsán tenzorovým součinem ${ displaystyle H_ {1}}$ a ${ displaystyle H_ {2}.}$ Například stavový prostor a kvantový harmonický oscilátor je ${ displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R}),}$ takže stavový prostor dvou oscilátorů je ${ displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R}) otimes L ^ {2} ( mathbb {R}),}$ který je izomorfní s ${ displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R} ^ {2})}$ . Proto je dvoučásticový systém popsán vlnovými funkcemi formy ${ displaystyle psi (x_ {1}, x_ {2}).}$ Složitější příklad poskytuje Fockové prostory, které popisují proměnný počet částic.

Reference

^ B. Coecke a E. O. Paquette, Kategorie pro praktického fyzika, in: New Structures for Physics, B. Coecke (ed.), Springer Lecture Notes in Physics, 2009. arXiv: 0905.3010
^ ^A ^b Bratteli, O. a Robinson, D: Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics v.1, 2. vyd., strana 144. Springer-Verlag, 2002.

Bibliografie

Kadison, Richard V .; Ringrose, John R. (1997). Základy teorie operátorových algeber. Sv. Já. Postgraduální studium matematiky. 15. Providence, R.I .: Americká matematická společnost. ISBN 978-0-8218-0819-1. PAN 1468229..
Weidmann, Joachim (1980). Lineární operátory v Hilbertových prostorech. Postgraduální texty z matematiky. 68. Berlín, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90427-6. PAN 0566954..

[1] B. Coecke a E. O. Paquette, Kategorie pro praktického fyzika, in: New Structures for Physics, B. Coecke (ed.), Springer Lecture Notes in Physics, 2009. arXiv: 0905.3010

[BR-2] A ^b Bratteli, O. a Robinson, D: Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics v.1, 2. vyd., strana 144. Springer-Verlag, 2002.

[1]

[2]

Funkční analýza (témat – glosář )
Prostory	Hilbertův prostor Banachův prostor Fréchetový prostor topologický vektorový prostor
Věty	Hahnova – Banachova věta věta o uzavřeném grafu jednotný princip omezenosti Kakutaniho věta o pevném bodě Kerin – Milmanova věta věta o min-max Věta Gelfand – Naimark Banach – Alaogluova věta
Operátoři	ohraničený operátor kompaktní operátor operátor adjoint nečleněný operátor Operátor Hilbert – Schmidt stopová třída neomezený operátor
Algebry	Banachova algebra C * -algebra spektrum C * -algebry operátorová algebra skupinová algebra lokálně kompaktní skupiny von Neumannova algebra
Otevřené problémy	invariantní podprostorový problém Mahlerova domněnka
Aplikace	Besovský prostor Hardy prostor spektrální teorie obyčejných diferenciálních rovnic tepelné jádro věta o indexu variační počet funkční kalkul integrální operátor Jonesův polynom topologická kvantová teorie pole nekomutativní geometrie Riemannova hypotéza
Pokročilá témata	lokálně konvexní prostor aproximační vlastnost vyvážená sada Schwartzův prostor slabá topologie sudový prostor Vzdálenost Banach – Mazur Teorie Tomita – Takesaki

Topologické tenzorové produkty a jaderné prostory
Základní pojmy	Pomocné normované prostory Jaderný prostor Tenzorový produkt (Hilbertových prostorů )
Topologie	Indukční tenzorový produkt Injekční tenzorový produkt Projektivní tenzorový produkt
Provozovatelé / mapy	Hypokontinuita Integrální Jaderná (mezi Banachovými prostory ) Sledovací třída