Segal – Bargmannův prostor - Segal–Bargmann space

v matematika, Segal – Bargmannův prostor (pro Irving Segal a Valentine Bargmann ), také známý jako Bargmannův prostor nebo Bargmann – Fockův prostor, je prostor holomorfní funkce F v n komplexní proměnné splňující podmínku integrovatelnosti čtverců:

{ displaystyle | F | ^ {2}: = pi ^ {- n} int _ { mathbb {C} ^ {n}} | F (z) | ^ {2} exp (- | z | ^ {2}) , dz < infty,}

kde tady dz označuje 2n-dimenzionální opatření Lebesgue na ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}.}$ Je to Hilbertův prostor s ohledem na související vnitřní produkt:

{ displaystyle langle F mid G rangle = pi ^ {- n} int _ { mathbb {C} ^ {n}} { overline {F (z)}} G (z) exp ( - | z | ^ {2}) , dz.}

Tento prostor představili v literatuře matematické fyziky samostatně Bargmann a Segal na počátku 60. let; vidět Bargmann (1961) a Segal (1963). Základní informace o materiálu v této části naleznete v Folland (1989) a Hall (2000) . Segal pracoval od začátku v nekonečně dimenzionálním prostředí; vidět Baez, Segal & Zhou (1992) a oddíl 10 Hall (2000) pro více informací o tomto aspektu předmětu.

Vlastnosti

Základní vlastností tohoto prostoru je to bodové hodnocení je průběžné, což znamená, že pro každého ${ displaystyle a in mathbb {C} ^ {n},}$ existuje konstanta C takhle

{ displaystyle | F (a) |

Z toho pak vyplývá z Rieszova věta o reprezentaci že existuje jedinečný F_A v prostoru Segal – Bargmann tak

{ displaystyle F (a) = langle F_ {a} mid F rangle.}

Funkce F_A lze vypočítat výslovně jako

{ displaystyle F_ {a} (z) = exp ({ overline {a}} cdot z)}

kde, výslovně,

{ displaystyle { overline {a}} cdot z = sum _ {j = 1} ^ {n} { overline {a_ {j}}} z_ {j}.}

Funkce F_A se nazývá soudržný stav (aplikovaný v matematické fyzice ) s parametrem Aa funkce

{ displaystyle kappa (a, z): = { overline {F_ {a} (z)}}}

je známý jako reprodukční jádro pro prostor Segal – Bargmann. Všimněte si, že

{ displaystyle F (a) = langle F_ {a} mid F rangle = pi ^ {- n} int _ { mathbb {C} ^ {n}} kappa (a, z) F ( z) exp (- | z | ^ {2}) , dz,}

což znamená, že integrace proti reprodukujícímu se jádru jednoduše vrátí (tj. reprodukuje) funkci F, samozřejmě za předpokladu, že F je prvkem prostoru (a zejména je holomorfní).

Všimněte si, že

{ displaystyle | F_ {a} | ^ {2} = langle F_ {a} mid F_ {a} rangle = F_ {a} (a) = exp (| a | ^ {2}) .}

Vyplývá to z Cauchy – Schwarzova nerovnost že prvky prostoru Segal – Bargmann splňují bodové hranice

{ displaystyle | F (a) | leq | F_ {a} | | F | = exp (| a | ^ {2} / 2) | F |.}

Kvantová mechanická interpretace

Lze interpretovat jednotkový vektor v prostoru Segal – Bargmann jako vlnovou funkci pro pohyb kvantové částice ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}.}$ V tomto pohledu ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ hraje roli klasického fázového prostoru, zatímco ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ je konfigurační prostor. Omezení, které F být holomorfní je pro tuto interpretaci zásadní; -li F byly libovolnou čtvercově integrovatelnou funkcí, bylo možné ji lokalizovat do libovolně malé oblasti fázového prostoru, což by bylo v rozporu s principem neurčitosti. Protože však F musí být holomorfní, splňuje výše popsané bodové hranice, což poskytuje limit na to, jak koncentrované F může být v jakékoli oblasti fázového prostoru.

Vzhledem k jednotkovému vektoru F v prostoru Segal – Bargmann množství

{ displaystyle pi ^ {- n} | F (z) | ^ {2} exp (- | z | ^ {2})}

lze interpretovat jako jakýsi druh hustoty pravděpodobnosti fázového prostoru pro částici. Jelikož výše uvedená veličina je zjevně nezáporná, nemůže se shodovat s Funkce Wigner částice, která má obvykle nějaké záporné hodnoty. Ve skutečnosti se výše uvedená hustota shoduje s Funkce Husimi částice, která se získá z Wignerovy funkce potřením Gaussianem. Toto spojení bude ještě přesnější níže, poté, co zavedeme Segal – Bargmannovu transformaci.

Kanonické komutační vztahy

Jeden může představit vyhlazovací operátory ${ displaystyle a_ {j}}$ a operátory vytváření ${ displaystyle a_ {j} ^ {*}}$ v prostoru Segal – Bargmann nastavením

{ displaystyle a_ {j} = částečné / částečné z_ {j}}

a

{ displaystyle a_ {j} ^ {*} = z_ {j}}

Tito operátoři uspokojují stejné vztahy jako obvyklí operátoři vytváření a zničení, jmenovitě ${ displaystyle a_ {j}}$ a ${ displaystyle a_ {j} ^ {*}}$ dojíždět mezi sebou a

{ displaystyle left [a_ {j}, a_ {k} ^ {*} right] = delta _ {j, k}}

Dále adjunkt z ${ displaystyle a_ {j}}$ s ohledem na vnitřní produkt Segal – Bargmann ${ displaystyle a_ {j} ^ {*}.}$ (To naznačuje notace, ale není to vůbec zřejmé ze vzorců pro ${ displaystyle a_ {j}}$ a ${ displaystyle a_ {j} ^ {*}}$ !) Bargmann byl skutečně veden k zavedení konkrétní formy vnitřního produktu v prostoru Segal – Bargmann přesně tak, aby operátoři tvorby a zničení byli vzájemnými sousedními subjekty.

Nyní můžeme zkonstruovat operátory „polohy“ a „hybnosti“ s vlastním adjunktem A_j a B_j podle vzorců:

{ displaystyle A_ {j} = (a_ {j} + a_ {j} ^ {*}) / 2}

{ displaystyle B_ {j} = (a_ {j} -a_ {j} ^ {*}) / (2i)}

Tito operátoři uspokojují běžné kanonické komutační vztahy. To lze ukázat A_j a B_j uspokojit umocněné komutační vztahy (tj Weylské vztahy ) a že jednají neredukovatelně v prostoru Segal – Bargmann; viz oddíl 14.4 Hall (2013).

Segal – Bargmannova transformace

Protože operátoři $A j$ a $B j$ z předchozí části uspokojit Weylské vztahy a jednat neredukovatelně v prostoru Segal-Bargmann, Stone – von Neumannova věta platí. Existuje tedy jednotná mapa $B$ z pozice Hilbertova prostoru ${ displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R} ^ {n})}$ do prostoru Segal – Bargmann, který proplétá tyto operátory s obvyklými operátory polohy a hybnosti.

Mapa $B$ lze počítat explicitně jako upravený dvojník Weierstrassova transformace,

{ displaystyle (Bf) (z) = int _ { mathbb {R} ^ {n}} exp [- (z cdot z-2 { sqrt {2}} z cdot x + x cdot x) / 2] f (x) , dx,}

kde dx je n-dimenzionální opatření Lebesgue na ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ a kde $z$ je v ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}.}$ Viz Bargmann (1961) a oddíl 14.4 Hall (2013). Dá se také popsat $(Bf)(z)$ jako vnitřní produkt $F$ s patřičně normalizovaným soudržný stav s parametrem $z$ kde nyní vyjadřujeme koherentní stavy v reprezentaci polohy namísto v prostoru Segal – Bargmann.

Nyní můžeme být přesnější ohledně spojení mezi Segal-Bargmannovým prostorem a Husimiho funkcí částice. Li $F$ je jednotkový vektor v ${ displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R} ^ {n}),}$ pak můžeme vytvořit hustotu pravděpodobnosti na ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ tak jako

{ displaystyle pi ^ {- n} | (Bf) (z) | ^ {2} exp (- | z | ^ {2}) ~.}

Tvrdí se tedy, že výše uvedená hustota je Funkce Husimi z $F$ , které lze získat z Funkce Wigner z $F$ shromážděním s dvojitým Gaussianem ( Weierstrassova transformace ). Tuto skutečnost lze snadno ověřit pomocí vzorce pro $Bf$ spolu se standardním vzorcem pro Funkce Husimi z hlediska koherentních států.

Od té doby $B$ je unitární, jeho Hermitian adjoint je jeho inverzní. Připomínajíc, že opatření zapnuto ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ je ${ displaystyle e ^ {- | z | ^ {2}} , dz}$ , získáme tedy jeden inverzní vzorec pro $B$ tak jako

{ displaystyle f (x) = int _ { mathbb {C} ^ {n}} exp [- ({ overline {z}} cdot { overline {z}} - 2 { sqrt {2 }} { overline {z}} cdot x + x cdot x) / 2] (Bf) (z) e ^ {- | z | ^ {2}} , dz.}

Protože však $Bf$ je holomorfní funkce, může zahrnovat mnoho integrálů $Bf$ které dávají stejnou hodnotu. (Přemýšlejte o Cauchyově integrálním vzorci.) Pro Segal – Bargmannovu transformaci tedy může existovat mnoho různých vzorců inverze. $B$ .

Další užitečný vzorec inverze je^[1]

{ displaystyle f (x) = C exp (- | x | ^ {2} / 2) int _ { mathbb {R} ^ {n}} (Bf) (x + iy) exp (- | y | ^ {2} / 2) , dy,}

kde

{ displaystyle C = pi ^ {- n / 4} (2 pi) ^ {- n / 2}.}

Tento inverzní vzorec lze chápat tak, že říká, že poloha „vlnová funkce“ $F$ lze získat z „vlnové funkce“ fázového prostoru $Bf$ integrací proměnných hybnosti. To je třeba porovnat s funkcí Wigner, kde je poloha hustota pravděpodobnosti se získává z fázového prostoru (kvazi)hustota pravděpodobnosti integrací proměnných hybnosti.

Zobecnění

Existují různé zevšeobecnění prostoru a transformace Segal – Bargmann. V jednom z nich^[2]^[3] role konfiguračního prostoru ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ hraje skupinové potrubí kompaktní Lie skupiny, jako je SU (N). Role fázového prostoru ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ poté hraje komplexifikace kompaktní skupiny Lie, jako je ${ displaystyle operatorname {SL} (N, mathbb {C})}$ v případě SU (N). Různí Gaussové, kteří se objevují v běžném Segal-Bargmannově prostoru a transformaci, jsou nahrazeni tepelná jádra. Tuto zobecněnou Segal – Bargmannovu transformaci lze použít například na stupně rotace volnosti tuhého tělesa, kde konfiguračním prostorem jsou kompaktní Lieovy skupiny SO (3).

Tato zobecněná Segal-Bargmannova transformace vede k systému koherentní stavy, známý jako koherentní stavy tepelného jádra. Ty byly široce používány v literatuře o smyčková kvantová gravitace.

Viz také

Reference

^ PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM. Hall, "Rozsah provozovatele tepla", v Všudypřítomné tepelné jádro, editoval Jay Jorgensen a Lynne H. Walling, AMS 2006, s. 203–231
^ PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM. Sál, "Segal – Bargmannův „koherentní stav“ se transformuje pro kompaktní Lieovy skupiny ", Journal of Functional Analysis 122 (1994), 103–151
^ PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM. Sál, "Inverzní Segal – Bargmannova transformace pro kompaktní Lieovy skupiny ", Journal of Functional Analysis 143 (1997), 98–116

Zdroje

Bargmann, V. (1961), „Na Hilbertově prostoru analytických funkcí a související integrální transformaci“, Sdělení o čisté a aplikované matematice, 14 (3): 187, doi:10,1002 / cpa.3160140303, hdl:10338.dmlcz / 143587
Segal, I. E. (1963), „Mathematical problems of relativistic physics“, in Kac, M. (ed.), Proceedings of the Summer Seminar, Boulder, Colorado, 1960, roč. II „Přednášky z aplikované matematiky, Americká matematická společnost, kap. VI, LCCN 62-21480
Folland, G. (1989), Harmonická analýza ve fázovém prostoru, Princeton University Press, ISBN 978-0691085289
Baez, J.; Segal, I.E .; Zhou, Z. (1992), Úvod do algebraické a konstruktivní teorie kvantového pole, Princeton University Press, ISBN 978-0691605128
Hall, B. C (2000), „Holomorfní metody v analýze a matematické fyzice“, v Pérez-Esteva, S .; Villegas-Blas, C. (eds.), První letní škola v analýze a matematické fyzice: Kvantování, Segal-Bargmannova transformace a semiklasická analýza, Současná matematika, 260, AMS, str. 1–59, ISBN 978-0-8218-2115-2
Hall, B. C. (2013), Kvantová teorie pro matematiky, Postgraduální texty z matematiky, 267, Springer Verlag, doi:10.1007/978-1-4614-7116-5, ISBN 978-1-4614-7115-8

[1] PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM. Hall, "Rozsah provozovatele tepla", v Všudypřítomné tepelné jádro, editoval Jay Jorgensen a Lynne H. Walling, AMS 2006, s. 203–231

[2] PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM. Sál, "Segal – Bargmannův „koherentní stav“ se transformuje pro kompaktní Lieovy skupiny ", Journal of Functional Analysis 122 (1994), 103–151

[3] PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM. Sál, "Inverzní Segal – Bargmannova transformace pro kompaktní Lieovy skupiny ", Journal of Functional Analysis 143 (1997), 98–116

[1]

[2]

[3]

Funkční analýza (témat – glosář )
Prostory	Hilbertův prostor Banachův prostor Fréchetový prostor topologický vektorový prostor
Věty	Hahnova – Banachova věta věta o uzavřeném grafu jednotný princip omezenosti Kakutaniho věta o pevném bodě Kerin – Milmanova věta věta o min-max Věta Gelfand – Naimark Banach – Alaogluova věta
Operátoři	ohraničený operátor kompaktní operátor operátor adjoint nečleněný operátor Operátor Hilbert – Schmidt stopová třída neomezený operátor
Algebry	Banachova algebra C * -algebra spektrum C * -algebry operátorová algebra skupinová algebra lokálně kompaktní skupiny von Neumannova algebra
Otevřené problémy	invariantní podprostorový problém Mahlerova domněnka
Aplikace	Besovský prostor Hardy prostor spektrální teorie obyčejných diferenciálních rovnic tepelné jádro věta o indexu variační počet funkční kalkul integrální operátor Jonesův polynom topologická kvantová teorie pole nekomutativní geometrie Riemannova hypotéza
Pokročilá témata	lokálně konvexní prostor aproximační vlastnost vyvážená sada Schwartzův prostor slabá topologie sudový prostor Vzdálenost Banach – Mazur Teorie Tomita – Takesaki

Hilbertovy prostory
Základní pojmy	Sousední Vnitřní produkt a L-polo-vnitřní produkt Hilbertův prostor a Prehilbertův prostor
Hlavní výsledky	Besselova nerovnost Cauchy – Schwarzova nerovnost Rieszovo zastoupení
Další výsledky	Parsevalova identita Polarizační identita
Mapy	Kompaktní operátor na Hilbertově prostoru Hustě definované Poustevnická forma Hilbert – Schmidt Normální Samonastavitelný Sesquilineární forma Sledovací třída Unitary
Příklady	Cⁿ(K.) s K. kompaktní & n<∞ Segal – Bargmann F