Glosář funkční analýzy - Glossary of functional analysis

Tohle je glosář pro terminologii v matematické oblasti funkční analýza.

V celém článku, pokud není uvedeno jinak, je základním polem vektorového prostoru pole reálných čísel nebo pole komplexních čísel. Algebry se nepředpokládají jako jednotné.

A

*: * -homomorfismus mezi involutivní Banachovy algebry je homomorfismus algebry zachovávající *.

A

abelian: Synonymum pro „komutativní“; např. abelianská Banachova algebra znamená komutativní Banachovu algebru.
Alaoglu: Alaogluova věta uvádí, že uzavřená jednotka koule v normovaném prostoru je kompaktní v slabá topologie.
adjoint: The adjoint omezeného lineárního operátoru ${ displaystyle T: H_ {1} až H_ {2}}$ mezi Hilbertovými prostory je ohraničený lineární operátor ${ displaystyle T ^ {*}: H_ {2} až H_ {1}}$ takhle ${ displaystyle langle Tx, y rangle = langle x, T ^ {*} y rangle}$ pro každého ${ displaystyle x v H_ {1}, y v H_ {2}}$ .
přibližná identita: V Banachově algebře, která není nutně jednotná, an přibližná identita je sekvence nebo síť ${ displaystyle {u_ {i} }}$ prvků, jako je to ${ displaystyle u_ {i} x až x, xu_ {i} až x}$ tak jako ${ Displaystyle$ pro každého X v algebře.
aproximační vlastnost: O Banachově prostoru se říká, že aproximační vlastnost pokud je každý kompaktní operátor limitem operátorů konečné pozice.

B

Baire

The Věta o kategorii Baire uvádí, že a kompletní metrický prostor je prostor Baire; -li

{ displaystyle U_ {i}}

je sekvence otevřených hustých podmnožin

{ displaystyle cap _ {1} ^ { infty} U_ {i}}

je hustá.

Banach

1. A Banachův prostor je normovaný vektorový prostor, který je kompletní jako metrický prostor.

2. A Banachova algebra je Banachův prostor, který má strukturu možná neunitální asociativní algebra takhle

{ displaystyle | xy | leq | x | | y |}

pro každého

{ displaystyle x, y}

v algebře.

Bessel

Besselova nerovnost státy: dána ortonormální množina S a vektor X v Hilbertově prostoru,

{ displaystyle sum _ {u v S} | langle x, u rangle | ^ {2} leq | x | ^ {2}}

,^[1]

kde platí rovnost právě tehdy S je ortonormální základ; tj. maximální ortonormální množina.

ohraničený

A ohraničený operátor je lineární operátor mezi Banachovými prostory, který mapuje uzavřenou kouli na uzavřenou kouli.

Birkhoffova ortogonalita

Dva vektory X a y v normovaný lineární prostor se říká, že jsou Birkhoff ortogonální -li

{ displaystyle | x + lambda y | geq | x |}

pro všechny skaláry λ. Pokud je normovaným lineárním prostorem Hilbertův prostor, pak je to ekvivalent obvyklé ortogonality.

C

Calkin

The Calkinova algebra na Hilbertově prostoru je kvocient algebry všech ohraničených operátorů na Hilbertově prostoru ideálem generovaným kompaktními operátory.

Cauchy – Schwarzova nerovnost

The Cauchy – Schwarzova nerovnost uvádí: pro každou dvojici vektorů

{ displaystyle x, y}

ve vnitřním prostoru produktu,

{ displaystyle | langle x, y rangle | leq | x | | y |}

.

Zavřeno

The věta o uzavřeném grafu uvádí, že lineární operátor mezi Banachovými prostory je spojitý (ohraničený) právě tehdy, pokud má uzavřený graf.

komutant

1. Jiný název pro „centralizátor "; tj. komutant podmnožiny S algebry je algebra prvků dojíždějících s každým prvkem S a je označen

{ displaystyle S '}

.

2. The von Neumann věta o dvojím komutátoru uvádí, že nedgenerovaná * -algebra

{ displaystyle { mathfrak {M}}}

operátorů v Hilbertově prostoru je von Neumannova algebra; tj.,

{ displaystyle { mathfrak {M}} '' = { mathfrak {M}}}

.

kompaktní

A kompaktní operátor je lineární operátor mezi Banachovými prostory, který mapuje uzavřenou kouli na kompaktní množinu.

C*

A C * algebra je involutivní Banachova algebra uspokojující

{ displaystyle | x ^ {*} x | = | x ^ {*} | | x |}

.

konvexní

A lokálně konvexní prostor je topologický vektorový prostor, jehož topologie je generována konvexními podmnožinami.

cyklický

Vzhledem k zastoupení

{ displaystyle ( pi, V)}

Banachovy algebry

{ displaystyle A}

, a cyklický vektor je vektor

{ displaystyle v ve V}

takhle

{ displaystyle pi (A) v}

je hustá v

{ displaystyle V}

.

D

Přímo: Filozoficky, a přímý integrál je spojitý analog přímého součtu.

F

faktor: A faktor je von Neumannova algebra s triviálním centrem.
věřící: Lineární funkční ${ displaystyle omega}$ na involutivní algebře je věřící -li ${ displaystyle omega (x ^ {*} x) neq 0}$ pro každý nenulový prvek ${ displaystyle x}$ v algebře.
Fréchet: A Fréchetový prostor je topologický vektorový prostor, jehož topologie je dána spočetnou rodinou seminorm (což z něj dělá metrický prostor) a který je úplný jako metrický prostor.
Fredholm: A Operátor Fredholm je omezený operátor tak, že má uzavřený rozsah a jádra operátora a adjunktu mají konečnou dimenzi.

G

Gelfand: 1. The Gelfand – Mazurova věta uvádí, že Banachova algebra, která je dělícím prstencem, je pole komplexních čísel.; 2. The Gelfand zastoupení komutativní Banachovy algebry ${ displaystyle A}$ se spektrem ${ displaystyle Omega (A)}$ je homomorfismus algebry ${ displaystyle F: A až C_ {0} ( Omega (A))}$ , kde ${ displaystyle C_ {0} (X)}$ označuje algebru spojitých funkcí na ${ displaystyle X}$ mizející v nekonečnu, které je dáno ${ displaystyle F (x) ( omega) = omega (x)}$ . Je to * zachovávající izometrický izomorfismus, pokud ${ displaystyle A}$ je komutativní C * -algebra.
Grothendieck: Grothendieckova nerovnost.

H

Hahn – Banach: The Hahnova – Banachova věta uvádí: daný lineární funkční ${ displaystyle ell}$ na podprostoru komplexního vektorového prostoru PROTI, pokud je absolutní hodnota ${ displaystyle ell}$ je omezen výše seminářem o PROTI, pak se rozšíří na lineární funkční funkci PROTI stále omezený seminářem. Geometricky jde o zobecnění věta o oddělení hyperplánů.
Hilbert: 1. A Hilbertův prostor je vnitřní produktový prostor, který je kompletní jako metrický prostor.; 2. Pojem v Teorie Tomita – Takesaki, a (vlevo nebo vpravo) Hilbertova algebra^{[nutná disambiguation ]} je určitá algebra s involucí.
Hilbert – Schmidt: 1. The Norma Hilbert – Schmidt omezeného operátora ${ displaystyle T}$ na Hilbertově prostoru je ${ displaystyle sum _ {i} | Te_ {i} | ^ {2}}$ kde ${ displaystyle {e_ {i} }}$ je ortonormální základ Hilbertova prostoru.; 2. A Operátor Hilbert – Schmidt je omezený operátor s konečnou normou Hilbert – Schmidt.

Já

index: 1. Index operátora Fredholm ${ displaystyle T: H_ {1} až H_ {2}}$ je celé číslo ${ displaystyle operatorname {dim} ( operatorname {ker} (T ^ {*})) - operatorname {dim} ( operatorname {ker} (T))}$ .; 2. The Atiyah – Singerova věta o indexu.
indexová skupina: The indexová skupina jednotné Banachovy algebry je kvocientová skupina ${ displaystyle G (A) / G_ {0} (A)}$ kde ${ displaystyle G (A)}$ je skupina jednotek A a ${ displaystyle G_ {0} (A)}$ složka identity skupiny.
vnitřní produkt: 1. An vnitřní produkt na reálném nebo složitém vektorovém prostoru ${ displaystyle V}$ je funkce ${ displaystyle langle cdot, cdot rangle: V krát V to mathbb {R}}$ takové, že pro každého ${ displaystyle v, w ve V}$ , (1) ${ displaystyle x mapsto langle x, v rangle}$ je lineární a (2) ${ displaystyle langle v, w rangle = { overline { langle w, v rangle}}}$ kde sloupec znamená komplexní konjugát.; 2. An vnitřní produktový prostor je vektorový prostor vybavený vnitřním součinem.
involuce: 1. An involuce Banachovy algebry A je izometrický endomorfismus ${ displaystyle A až A, , x mapsto x ^ {*}}$ to je konjugovaná lineární a taková ${ displaystyle (xy) ^ {*} = (yx) ^ {*}}$ .; 2. An involutivní Banachova algebra je Banachova algebra vybavená involucí.
izometrie: A lineární izometrie mezi normovanými vektorovými prostory je lineární mapa zachovávající normu.

K.

Kerin – Milman: The Kerin – Milmanova věta uvádí: neprázdná kompaktní konvexní podmnožina lokálně konvexního prostoru má extrémní bod.

L

Lokálně konvexní algebra: A lokálně konvexní algebra je algebra, jejíž podkladový vektorový prostor je lokálně konvexní prostor a jehož násobení je spojité vzhledem k lokálně konvexní topologii prostoru.

N

nedegenerovat: Reprezentace ${ displaystyle ( pi, V)}$ algebry ${ displaystyle A}$ se říká, že je nedgenerativní, pokud pro každý vektor ${ displaystyle v ve V}$ , existuje prvek ${ displaystyle a v A}$ takhle ${ displaystyle pi (a) v neq 0}$ .
nekomutativní: 1. nekomutativní integrace; 2. nekomutativní torus
norma: 1. A norma na vektorovém prostoru X je funkce se skutečnou hodnotou ${ displaystyle | cdot |: X do mathbb {R}}$ tak, že pro každý skalární ${ displaystyle a}$ a vektory ${ displaystyle x, y}$ v ${ displaystyle X}$ , (1) ${ displaystyle | ax | = | a | | x |}$ , (2) (trojúhelníková nerovnost) ${ displaystyle | x + y | leq | x | + | y |}$ a (3) ${ displaystyle | x | geq 0}$ kde rovnost platí pouze pro ${ displaystyle x = 0}$ .; 2. A normovaný vektorový prostor je skutečný nebo složitý vektorový prostor vybavený normou ${ displaystyle | cdot |}$ . Jedná se o metrický prostor s funkcí vzdálenosti ${ displaystyle d (x, y) = | x-y |}$ .
jaderný: Vidět provozovatel jaderné energie.

Ó

jeden: A jedna skupina parametrů jednotné Banachovy algebry A je spojitý skupinový homomorfismus z ${ displaystyle ( mathbb {R}, +)}$ do skupiny jednotek A.
ortonormální: 1. Podmnožina S Hilbertova prostoru je ortonormální pokud pro každého u, proti v sadě, ${ displaystyle langle u, v rangle}$ = 0 kdy ${ displaystyle u neq v}$ a ${ displaystyle = 1}$ když ${ displaystyle u = v}$ .; 2. An ortonormální základ je maximální ortonormální množina (poznámka: * není * nutně základem vektorového prostoru.)
ortogonální: 1. Dostal Hilbertův prostor H a uzavřený podprostor M, ortogonální doplněk z M je uzavřený podprostor ${ displaystyle M ^ { bot} = {x v H | langle x, y rangle = 0, y v M }}$ .; 2. Ve výše uvedených zápisech je ortogonální projekce ${ displaystyle P}$ na M je (jedinečný) omezený operátor na H takhle ${ displaystyle P ^ {2} = P, P ^ {*} = P, operatorname {im} (P) = M, operatorname {ker} (P) = M ^ { bot}.}$

P

Parseval: Parsevalova identita uvádí: vzhledem k ortonormální bázi S v Hilbertově prostoru, ${ displaystyle | x | ^ {2} = součet _ {u v S} | langle x, u rangle | ^ {2}}$ .^[1]
pozitivní: Lineární funkční ${ displaystyle omega}$ na involutivní Banachově algebře se říká, že je pozitivní -li ${ displaystyle omega (x ^ {*} x) geq 0}$ pro každý prvek ${ displaystyle x}$ v algebře.

Q

kvazitrace: Quasitrace.

R

Radon: Vidět Radonová míra.
Rieszův rozklad
reflexní: A reflexní prostor je topologický vektorový prostor takový, že přirozená mapa z vektorového prostoru do druhého (topologického) duálního je izomorfismus.
rozpouštědlo: The rozpouštědlo prvku X jednotné Banachovy algebry je doplňkem ${ displaystyle mathbb {C}}$ spektra X.

S

samoadjung: A operátor s vlastním nastavením je omezený operátor, jehož adjoint je sám o sobě.
oddělitelný: A oddělitelný Hilbertův prostor je Hilbertův prostor připouštějící konečný nebo spočetný ortonormální základ.
spektrum: 1. Spektrum prvku X jednotné Banachovy algebry je množina komplexních čísel ${ displaystyle lambda}$ takhle ${ displaystyle x- lambda}$ není invertibilní.; 2. The spektrum komutativní Banachovy algebry je sada všech znaků (homomorphism to ${ displaystyle mathbb {C}}$ ) na algebře.
spektrální: 1. The spektrální poloměr prvku X jednotné Banachovy algebry je ${ textstyle sup _ { lambda} | lambda |}$ kde je sup přes spektrum X.; 2. The věta o spektrálním mapování uvádí: pokud X je prvek jednotné Banachovy algebry a F je holomorfní funkce v sousedství spektra ${ displaystyle sigma (x)}$ z X, pak ${ displaystyle f ( sigma (x)) = sigma (f (x))}$ , kde ${ displaystyle f (x)}$ je prvek Banachovy algebry definovaný pomocí Cauchyho integrální vzorec.
Stát: A Stát je kladná lineární funkce normy jedna.

T

tenzorový produkt: Vidět topologický tenzorový produkt. Všimněte si, že je stále poněkud otevřeným problémem definovat nebo vypracovat správný tenzorový produkt topologických vektorových prostorů, včetně Banachových prostorů.
topologické: A topologický vektorový prostor je vektorový prostor vybavený a topologie taková, že (1) je topologie Hausdorff a (2) doplnění ${ displaystyle (x, y) mapsto x + y}$ stejně jako skalární násobení ${ displaystyle ( lambda, x) mapsto lambda x}$ jsou spojité.

U

neomezený operátor: An neomezený operátor je částečně definovaný lineární operátor, obvykle omezený operátor v nějakém hustém podprostoru.
jednotný princip omezenosti: The jednotný princip omezenosti státy: daný soubor operátorů mezi Banachovými prostory, pokud ${ textstyle sup _ {T} | Tx | < infty}$ , sup přes sadu, pro každého X tedy v Banachově prostoru ${ textstyle sup _ {T} | T | < infty}$ .
unitární: 1. A nečleněný operátor mezi Hilbertovými mezerami je invertibilní ohraničený lineární operátor tak, že inverzní je adjoint operátoru.; 2. Dvě reprezentace ${ displaystyle ( pi _ {1}, H_ {1}), ( pi _ {2}, H_ {2})}$ involutivní Banachovy algebry A na Hilbertově prostoru ${ displaystyle H_ {1}, H_ {2}}$ se říká, že jsou jednotně ekvivalentní pokud existuje jednotný operátor ${ displaystyle U: H_ {1} až H_ {2}}$ takhle ${ displaystyle pi _ {2} (x) U = U pi _ {1} (x)}$ pro každého X v A.

Ž

W *: W * -algebra je C * -algebra, která připouští věrnou reprezentaci v Hilbertově prostoru tak, že obraz reprezentace je von Neumannova algebra.

Reference

^ ^A ^b Tady je část tvrzení ${ displaystyle sum _ {u v S} cdots}$ je dobře definovaný; tj. kdy S je nekonečný, pro spočítatelné zcela seřazené podmnožiny ${ displaystyle S ' podmnožina S}$ , ${ displaystyle sum _ {u v S '} cdots}$ je nezávislý na ${ displaystyle S '}$ a ${ displaystyle sum _ {u v S} cdots}$ označuje společnou hodnotu.

Connes, Alain (1994), Nekomutativní geometrie, Boston, MA: Akademický tisk, ISBN 978-0-12-185860-5
Bourbaki, Topologie vektorů Espaces
Rudin, Walter (1991). Funkční analýza. International Series in Pure and Applied Mathematics. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
M. Takesaki, Teorie operátorových algeber ISpringer, 2001, 2. tisk prvního vydání 1979.
Yoshida, Kôsaku (1980), Funkční analýza (šesté vydání), Springer

Další čtení

Přednášky Antonyho Wassermanna na http://iml.univ-mrs.fr/~wasserm/
Přednášky Jacoba Lurieho o von Neumannově algebře v https://www.math.ias.edu/~lurie/261y.html

Tento matematická analýza –Vztahující se článek je pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.

[sum_convention-1] A ^b Tady je část tvrzení ${ displaystyle sum _ {u v S} cdots}$ je dobře definovaný; tj. kdy S je nekonečný, pro spočítatelné zcela seřazené podmnožiny ${ displaystyle S ' podmnožina S}$ , ${ displaystyle sum _ {u v S '} cdots}$ je nezávislý na ${ displaystyle S '}$ a ${ displaystyle sum _ {u v S} cdots}$ označuje společnou hodnotu.

[1]

Funkční analýza (témat – glosář )
Prostory	Hilbertův prostor Banachův prostor Fréchetový prostor topologický vektorový prostor
Věty	Hahnova – Banachova věta věta o uzavřeném grafu jednotný princip omezenosti Kakutaniho věta o pevném bodě Kerin – Milmanova věta věta o min-max Věta Gelfand – Naimark Banach – Alaogluova věta
Operátoři	ohraničený operátor kompaktní operátor operátor adjoint nečleněný operátor Operátor Hilbert – Schmidt stopová třída neomezený operátor
Algebry	Banachova algebra C * -algebra spektrum C * -algebry operátorová algebra skupinová algebra lokálně kompaktní skupiny von Neumannova algebra
Otevřené problémy	invariantní podprostorový problém Mahlerova domněnka
Aplikace	Besovský prostor Hardy prostor spektrální teorie obyčejných diferenciálních rovnic tepelné jádro věta o indexu variační počet funkční kalkul integrální operátor Jonesův polynom topologická kvantová teorie pole nekomutativní geometrie Riemannova hypotéza
Pokročilá témata	lokálně konvexní prostor aproximační vlastnost vyvážená sada Schwartzův prostor slabá topologie sudový prostor Vzdálenost Banach – Mazur Teorie Tomita – Takesaki