Vlastnost aproximace - Approximation property

Stavba Banachova prostoru bez získaného aproximačního majetku Per Enflo živá husa v roce 1972, kterou slíbil Stanisław Mazur (vlevo) v roce 1936.^[1]

v matematika konkrétně funkční analýza, a Banachův prostor se říká, že má vlastnost přiblížení (AP), pokud každý kompaktní operátor je limit operátory s konečnou hodností. Opak je vždy pravdivý.

Každý Hilbertův prostor má tuto vlastnost. Existují však Banachovy prostory které ne; Per Enflo publikoval první protiklad v článku z roku 1973. Mnoho práce v této oblasti však odvedl Grothendieck (1955).

Později bylo nalezeno mnoho dalších protipříkladů. Prostor omezené operátory na ${ displaystyle ell ^ {2}}$ nemá vlastnost přiblížení (Szankowski ). Mezery ${ displaystyle ell ^ {p}}$ pro ${ displaystyle p neq 2}$ a ${ displaystyle c_ {0}}$ (vidět Sekvenční prostor ) mají uzavřené podprostory, které nemají vlastnost aproximace.

Definice

A lokálně konvexní topologický vektorový prostor X se říká, že má vlastnost aproximace, pokud lze mapu identity přiblížit, rovnoměrně zapnutou předkompaktní sady spojitými lineárními mapami konečné pozice.^[2]

Pro lokálně konvexní prostor X, ekvivalentní jsou následující:^[2]

1. X má aproximační vlastnost;
2. uzavření ${ displaystyle X ^ { prime} další X}$ v ${ displaystyle operatorname {L} _ {p} (X, X)}$ obsahuje mapu identity ${ displaystyle operatorname {Id}: X až X}$;
3. ${ displaystyle X ^ { prime} další X}$ je hustá v ${ displaystyle operatorname {L} _ {p} (X, X)}$;
4. pro každý lokálně konvexní prostor Y, ${ displaystyle X ^ { prime} častý Y}$ je hustá v ${ displaystyle operatorname {L} _ {p} (X, Y)}$;
5. pro každý lokálně konvexní prostor Y, ${ displaystyle Y ^ { prime} další X}$ je hustá v ${ displaystyle operatorname {L} _ {p} (Y, X)}$;

kde ${ displaystyle operatorname {L} _ {p} (X, Y)}$ označuje prostor spojitých lineárních operátorů z X na Y obdařen topologií jednotné konvergence na pre-kompaktní podmnožiny X.

Li X je Banachův prostor tento požadavek se stává pro každého kompaktní sada ${ displaystyle K podmnožina X}$ a každý ${ displaystyle varepsilon> 0}$, tady je operátor ${ displaystyle T dvojtečka X až X}$ konečné pozice, takže ${ displaystyle | Tx-x | leq varepsilon}$, pro každého ${ displaystyle x v K}$.

Související definice

Jsou studovány některé další příchutě AP:

Nechat ${ displaystyle X}$ být Banachovým prostorem a nechat ${ displaystyle 1 leq lambda < infty}$. Říkáme to X má ${ displaystyle lambda}$- přibližovací vlastnost (${ displaystyle lambda}$-AP), pokud pro každou kompaktní sadu ${ displaystyle K podmnožina X}$ a každý ${ displaystyle varepsilon> 0}$, tady je operátor ${ displaystyle T dvojtečka X až X}$ konečné pozice, takže ${ displaystyle | Tx-x | leq varepsilon}$, pro každého ${ displaystyle x v K}$, a ${ displaystyle | T | leq lambda}$.

Říká se, že existuje Banachův prostor vlastnost omezené aproximace (BAP), pokud má ${ displaystyle lambda}$-AP pro některé ${ displaystyle lambda}$.

Říká se, že existuje Banachův prostor vlastnost metrické aproximace (MAPA), pokud je to 1-AP.

Říká se, že existuje Banachův prostor kompaktní aproximační vlastnost (VÍČKO), pokud je v definici AP nahrazen operátor konečné pozice kompaktním operátorem.

Příklady

• Každý podprostor libovolného produktu Hilbertových prostorů má vlastnost přiblížení.^[2] Zejména,
  • každý Hilbertův prostor má aproximační vlastnost.
  • každý projektivní limit Hilbertových prostorů, stejně jako jakýkoli podprostor takového projektivního limitu, má vlastnost aproximace.^[2]
  • každý jaderný prostor má vlastnost přiblížení.
• Každý oddělitelný prostor Frechet, který obsahuje Schauderův základ, má vlastnost přiblížení.^[2]
• Každý prostor s Schauderův základ má AP (můžeme použít projekce spojené se základnou jako ${ displaystyle T}$'je v definici), takže lze najít mnoho mezer s AP. Například ${ displaystyle ell ^ {p}}$ mezery, nebo symetrický Tsirelsonův prostor.

Reference

Bibliografie

• Bartle, R. G. (1977). „MR0402468 (53 # 6288) (Recenze Per Enflo„ Protiklad problému aproximace v Banachových prostorech “ Acta Mathematica 130 (1973), 309–317)". Matematické recenze. PAN  0402468.
• Enflo, P.: Protiklad k vlastnosti aproximace v Banachových prostorech. Acta Math. 130, 309–317(1973).
• Grothendieck, A.: Produkuje tensoriels topologiques et espaces nucleaires. Memo. Amer. Matematika. Soc. 16 (1955).
• Halmos, Paul R. (1978). "Schauderovy základny". Americký matematický měsíčník. 85 (4): 256–257. doi:10.2307/2321165. JSTOR  2321165. PAN  0488901.
• Paul R. Halmos „Zpomalil se pokrok v matematice?“ Amer. Matematika. Měsíční 97 (1990), č. 1. 7, 561—588. PAN1066321
• William B. Johnson "Doplňkově univerzální oddělitelné Banachovy prostory" v Robert G. Bartle (ed.), 1980 Studie funkční analýzy, Mathematical Association of America.
• Kwapień, S. „Na Enflově příkladu Banachova prostoru bez vlastnosti přiblížení“. Séminaire Goulaouic – Schwartz 1972—1973: Équations aux dérivées partielles et analyze fonctionnelle, Exp. No. 8, 9 pp. Center de Math., École Polytech., Paříž, 1973. PAN407569
• Lindenstrauss, J.; Tzafriri, L .: Classical Banach Spaces I, Sequence spaces, 1977.
• Nedevski, P .; Trojanski, S. (1973). „P. Enflo vyřešil v negativním Banachově problému existenci základny pro každý oddělitelný Banachův prostor“. Fiz.-Mat. Spiš. Bulgar. Akad. Nauk. 16 (49): 134–138. PAN  0458132.
• Pietsch, Albrecht (2007). Historie Banachových prostorů a lineárních operátorů. Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. str. Xxiv + 855 str. ISBN  978-0-8176-4367-6. PAN  2300779.
• Karen Saxe, Zahájení funkční analýzy, Pregraduální texty z matematiky 2002 Springer-Verlag, New York.
• Schaefer, Helmuth H .; Wolff, M.P. (1999). Topologické vektorové prostory. GTM. 3. New York: Springer-Verlag. ISBN  9780387987262.
• Zpěvák, Ivan. Základny v Banachových prostorech. II. Editura Academiei Republicii Socialiste România, Bukurešť; Springer-Verlag, Berlín-New York, 1981. viii + 880 stranISBN  3-540-10394-5. PAN610799