Rieszův potenciál - Riesz potential

v matematika, Rieszův potenciál je potenciál pojmenovaný po svém objeviteli, maďarský matematik Marcel Riesz. Rieszův potenciál v jistém smyslu definuje inverzi pro sílu Operátor Laplace na euklidovském prostoru. Zobecňují na několik proměnných Integrály Riemann – Liouville jedné proměnné.

Pokud 0 <α <n, pak Rieszův potenciál Já_αF a lokálně integrovatelná funkce F na Rⁿ je funkce definovaná

{displaystyle (I_ {alpha} f) (x) = {frac {1} {c_ {alpha}}} int _ {{mathbb {R}} ^ {n}} {frac {f (y)} {| xy | ^ {n-alpha}}}, mathrm {d} y}

(1)

kde konstanta je dána vztahem

{displaystyle c_ {alpha} = pi ^ {n / 2} 2 ^ {alpha} {frac {gama (alfa / 2)} {gama ((n-alfa) / 2)}}})

Tento singulární integrál je dobře definovaný za předpokladu F rozpadá se dostatečně rychle v nekonečnu, zvláště pokud F ∈ L^p(Rⁿ) s 1 ≤p < n/ α. Ve skutečnosti pro jakýkoli 1 ≤p (p> 1 je klasický, kvůli Sobolevovi, zatímco pro p = 1 viz (Schikorra, Spector a Van Schaftingen )), rychlost rozpadu F a to z Já_αF jsou ve vzájemné souvislosti ve formě nerovnosti ( Hardy – Littlewood – Sobolevova nerovnost )

{displaystyle | I_ {alpha} f | _ {p ^ {*}} leq C_ {p} | Rf | _ {p}, quad p ^ {*} = {frac {np} {n-alpha p}}, }

kde ${displaystyle Rf = DI_ {1} f}$ je vektorová hodnota Rieszova transformace. Obecněji operátoři Já_α jsou dobře definované pro komplex α takové, že 0 n.

Rieszův potenciál lze definovat obecněji v a slabý smysl jako konvoluce

{displaystyle I_ {alpha} f = f * K_ {alpha},}

kde K._α je lokálně integrovatelná funkce:

{displaystyle K_ {alpha} (x) = {frac {1} {c_ {alpha}}} {frac {1} {| x | ^ {n-alpha}}}.}

Rieszův potenciál lze tedy definovat kdykoli F je kompaktně podporovaná distribuce. V této souvislosti je Rieszův potenciál kladný Borelův rozměr μ s kompaktní podpora je hlavně v zájmu teorie potenciálu protože Já_αμ je pak (spojitý) subharmonická funkce mimo podporu μ, a je nižší polokontinuální na všech Rⁿ.

Zohlednění Fourierova transformace odhaluje, že potenciál Rieszu je a Fourierův multiplikátor.^[1]Ve skutečnosti jeden má