Nekomutativní geometrie - Noncommutative geometry
Nekomutativní geometrie (NCG) je pobočkou matematika zabývající se geometrickým přístupem k nekomutativní algebry, as výstavbou mezery které jsou lokálně prezentovány nekomutativními algebry funkcí (možná v nějakém zobecněném smyslu). Nekomutativní algebra je asociativní algebra ve kterém násobení není komutativní, to znamená, pro které ne vždy se rovná ; nebo obecněji algebraická struktura ve kterém jeden z hlavních binární operace není komutativní; jeden také umožňuje další struktury, např. topologie nebo norma, které mají být případně neseny nekomutativní algebrou funkcí.
Motivace
Hlavní motivací je rozšířit komutativní dualitu mezi prostory a funkcemi na nekomutativní nastavení. V matematice mezery, které mají geometrickou povahu, lze vztahovat k číselným funkce na ně. Obecně tyto funkce vytvoří a komutativní prsten. Jeden může například vzít prsten C(X) z kontinuální komplex -hodnotené funkce na a topologický prostor X. V mnoha případech (např., pokud X je kompaktní Hausdorffův prostor ), můžeme se vzpamatovat X z C(X), a proto má smysl to říkat X má komutativní topologie.
Přesněji řečeno, v topologii kompaktní Hausdorff topologické prostory lze rekonstruovat z Banachova algebra funkcí v prostoru (Gelfand – Naimark ). Komutativně algebraická geometrie, algebraická schémata jsou lokálně primární spektra komutativních unitalních kruhů (A. Grothendieck ) a schémata lze rekonstruovat z kategorií kvazikoherentních svazků modulů na nich (P. Gabriel -A. Rosenberg). Pro Grothendieckovy topologie, cohomologické vlastnosti stránky jsou invarianty odpovídající kategorie svazků sad, které jsou abstraktně považovány za a topos (A. Grothendieck). Ve všech těchto případech je prostor rekonstruován z algebry funkcí nebo jeho kategorizované verze - některé kategorie snopy v tom prostoru.
Funkce v topologickém prostoru lze znásobit a přidat bodově, proto tvoří komutativní algebru; ve skutečnosti jsou tyto operace lokální v topologii základního prostoru, proto funkce tvoří svazek komutativních prstenců nad základním prostorem.
Snem nekomutativní geometrie je zobecnit tuto dualitu na dualitu mezi nekomutativními algebrami nebo svazky nekomutativních algeber nebo svazkovitými nekomutativními algebraickými nebo operátorsko-algebraickými strukturami a geometrickými entitami určitých druhů a poskytnout interakci mezi algebraickými a geometrický popis těch prostřednictvím této duality.
Pokud jde o to, že komutativní kruhy odpovídají obvyklým afinním schématům, a komutativní C * -algebry do obvyklých topologických prostorů vyžaduje rozšíření na nekomutativní prstence a algebry netriviální zobecnění topologické prostory jako „nekomutativní mezery“. Z tohoto důvodu se o tom mluví nekomutativní topologie, ačkoli tento termín má i jiné významy.
Aplikace v matematické fyzice
Některé aplikace v částicová fyzika jsou popsány v položkách Nekomutativní standardní model a Nekomutativní kvantová teorie pole. Náhlý nárůst zájmu o nekomutativní geometrii ve fyzice následuje po spekulacích o její roli v M-teorie vyrobeno v roce 1997.[1]
Motivace z ergodické teorie
Některé z teorie vyvinuté Alain Connes zvládnout nekomutativní geometrii na technické úrovni má kořeny ve starších pokusech, zejména v ergodická teorie. Návrh George Mackey vytvořit virtuální podskupina teorie, s ohledem na které ergodické skupinové akce stal by se homogenní prostory rozšířeného druhu, již byl zahrnut.
Noncommutative C * -algebras, von Neumann algebras
(Formální duály) nekomutativní C * -algebry se nyní často nazývají nekomutativní prostory. Toto je analogie s Gelfand zastoupení, což ukazuje komutativní C * -algebry jsou dvojí na místně kompaktní Hausdorffovy prostory. Obecně lze jeden přidružit k libovolné C * -algebře S topologický prostor Ŝ; vidět spektrum C * -algebry.
Pro dualita mezi σ-konečnou změřte mezery a komutativní von Neumannovy algebry, nekomutativní von Neumannovy algebry jsou nazývány nekomutativní změřte mezery.
Nekomutativní diferencovatelné potrubí
Hladký Riemannovo potrubí M je topologický prostor se spoustou extra struktury. Z jeho algebry spojitých funkcí C(M) pouze se vzpamatujeme M topologicky. Algebraický invariant, který obnovuje Riemannovu strukturu, je a spektrální trojnásobek. Je sestaven z hladkého vektorového svazku E přes M, např. vnější svazek algebry. Hilbertův prostor L2(M, E) čtvercových integrovatelných částí E nese zastoupení C(M) multiplikačními operátory a považujeme to za neomezený operátor D v L2(M, E) s kompaktním rozpouštědlem (např operátor podpisu ), takže komutátoři [D, F] jsou ohraničeny kdykoli F je hladký. Nedávná hluboká věta[2] tvrdí, že M protože z těchto dat lze obnovit Riemannovo potrubí.
To naznačuje, že lze definovat nekomutativní Riemannovo potrubí jako a spektrální trojnásobek (A, H, D), skládající se z reprezentace C * -algebry A v Hilbertově prostoru H, spolu s neomezeným operátorem D na H, s kompaktním rozpouštědlem, takže [D, A] je omezen pro všechny A v nějaké husté subalgebře A. Výzkum spektrálních trojic je velmi aktivní a bylo zkonstruováno mnoho příkladů nekomutativních variet.
Nekomutativní afinní a projektivní schémata
Analogicky k dualita mezi afinní schémata a komutativní prsteny, definujeme kategorii nekomutativní afinní schémata jako dvojník kategorie asociativních unitalních prstenů. V této souvislosti existují jisté analogie Zariskiho topologie, takže lze takové afinní schémata přilepit na obecnější objekty.
Existují také zevšeobecnění kužele a projektu komutativního odstupňovaného prstence, napodobující teorém Serre na Proj. Jmenovitě kategorie kvazikoherentních svazků O-modulů na projektu komutativní odstupňované algebry je ekvivalentní kategorii odstupňovaných modulů přes kruh lokalizovaný v Serreho podkategorii odstupňovaných modulů konečné délky; tam je také analogická věta pro koherentní snopy když algebra je Noetherian. Tato věta je rozšířena jako definice nekomutativní projektivní geometrie podle Michael Artin a J. J. Zhang,[3] kteří přidávají také některé obecné ring-teoretické podmínky (např. Artin – Schelterova pravidelnost).
Mnoho vlastností projektivních schémat se vztahuje i na tento kontext. Například existuje obdoba oslavovaných Serre dualita pro nekomutativní projektivní schémata Artina a Zhanga.[4]
A. L. Rosenberg vytvořil poměrně obecný relativní koncept nekomutativní kvazokompaktní schéma (přes základní kategorii), abstrahující Grothendieckovu studii morfismů schémat a obalů, pokud jde o kategorie kvazikoherentních svazků a funktorů ploché lokalizace.[5] Existuje také další zajímavý přístup prostřednictvím teorie lokalizace, kvůli Fred Van Oystaeyen, Luc Willaert a Alain Verschoren, kde hlavní koncept je koncept a schematická algebra.[6][7]
Invarianty pro nekomutativní prostory
Některé z motivujících otázek teorie se týkají rozšíření známých topologické invarianty na formální duály nekomutativních (operátorských) algeber a jiných náhrad a kandidátů na nekomutativní prostory. Jedním z hlavních výchozích bodů Alain Connes „Směrem v nekomutativní geometrii je jeho objev nové teorie homologie spojené s nekomutativní asociativní algebry a nekomutativní operátorové algebry, konkrétně cyklická homologie a její vztahy k algebraické K-teorii (primárně prostřednictvím mapy znaků Connes – Chern).
Teorie charakteristické třídy hladkých potrubí bylo rozšířeno na spektrální trojnásobek s využitím nástrojů operátora K-teorie a cyklická kohomologie. Několik zobecnění nyní klasického věty o indexu umožnit efektivní extrakci numerických invariantů ze spektrálních trojic. Základní charakteristická třída v cyklické kohomologii, JLO cocycle, zobecňuje klasiku Chern charakter.
Příklady nekomutativních prostorů
- V formulace fázového prostoru kvantové mechaniky symplektický fázový prostor z klasická mechanika je deformovaný do nekomutativního fázového prostoru generovaného operátory polohy a hybnosti.
- The nekomutativní standardní model je navrhovaným rozšířením standardní model částicové fyziky.
- The nekomutativní torus, deformaci funkční algebry obyčejného torusu, lze dát strukturu spektrálního trojnásobku. Tato třída příkladů byla intenzivně studována a stále funguje jako testovací případ pro složitější situace.
- Snyderův prostor[8]
- Nekomutativní algebry vznikající z foliace.
- Příklady související s dynamické systémy vyplývající z teorie čísel, tak jako Gaussův posun na pokračujících zlomcích vzniknou nekomutativní algebry, které mají zajímavé nekomutativní geometrie.
Viz také
- Komutativita
- Formulace fázového prostoru
- Moyal produkt
- Fuzzy koule
- Nekomutativní algebraická geometrie
- Nekomutativní topologie
Poznámky
- ^ Connes, Alain; Douglas, Michael R; Schwarz, Albert (02.02.1998). "Nekomutativní geometrie a teorie matic". Journal of High Energy Physics. Springer Science and Business Media LLC. 1998 (02): 003–003. arXiv:hep-th / 9711162. doi:10.1088/1126-6708/1998/02/003. ISSN 1029-8479.
- ^ Connes, Alain, o spektrální charakterizaci potrubí, arXiv: 0810.2088v1
- ^ Artin, M .; Zhang, J.J. (1994). "Nezávazné projektivní schémata". Pokroky v matematice. Elsevier BV. 109 (2): 228–287. doi:10.1006 / aima.1994.1087. ISSN 0001-8708.
- ^ Yekutieli, Amnon; Zhang, James J. (01.03.1997). „Serní dualita pro nekomutativní projektivní schémata“. Proceedings of the American Mathematical Society. Americká matematická společnost (AMS). 125 (03): 697–708. doi:10.1090 / s0002-9939-97-03782-9. ISSN 0002-9939.
- ^ A. L. Rosenberg, Nekomutativní schémata, Compositio Mathematica 112 (1998) 93--125, doi; Základní prostory nekomutativních schémat, předtisk MPIM2003-111, dvi, ps; MSRI přednáška Nekomutativní schémata a mezery (Únor 2000): video
- ^ Freddy van Oystaeyen, algebraická geometrie pro asociativní algebry, ISBN 0-8247-0424-X - New York: Dekker, 2000. - 287 s. - (Monografie a učebnice čisté a aplikované matematiky, 232)
- ^ Van Oystaeyen, Fred; Willaert, Luc (1995). „Grothendieckova topologie, koherentní snopy a Serreova věta pro schematické algebry“. Journal of Pure and Applied Algebra. Elsevier BV. 104 (1): 109–122. doi:10.1016/0022-4049(94)00118-3. hdl:10067/124190151162165141. ISSN 0022-4049.
- ^ Snyder, Hartland S. (01.01.1947). "Kvantizovaný časoprostor". Fyzický přehled. Americká fyzická společnost (APS). 71 (1): 38–41. doi:10.1103 / fyzrev.71.38. ISSN 0031-899X.
Reference
- Connes, Alain (1994), Nekomutativní geometrie, Boston, MA: Akademický tisk, ISBN 978-0-12-185860-5
- Connes, Alain; Marcolli, Matilde (2008), „Procházka v nekomutativní zahradě“, Pozvánka na nekomutativní geometrii, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, s. 1–128, arXiv:matematika / 0601054, Bibcode:Matematika 2006 ...... 1054C, PAN 2408150
- Connes, Alain; Marcolli, Matilde (2008), Nekomutativní geometrie, kvantová pole a motivy (PDF)Publikace kolokvia Americké matematické společnosti, 55„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN 978-0-8218-4210-2, PAN 2371808
- Gracia-Bondia, Jose M; Figueroa, Hector; Varilly, Joseph C (2000), Prvky nekomutativní geometrie, Birkhauser, ISBN 978-0-8176-4124-5
- Landi, Giovanni (1997), Úvod do nekomutativních prostorů a jejich geometrií, Přednášky z fyziky. Nová řada m: Monografie, 51, Berlín, New York: Springer-Verlag, str. arXiv: hep – th / 9701078, arXiv:hep-th / 9701078, Bibcode:1997hep.th .... 1078L, ISBN 978-3-540-63509-3, PAN 1482228
- Van Oystaeyen, Fred; Verschoren, Alain (1981), Nekomutativní algebraická geometriePřednášky z matematiky, 887, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-11153-5
Další čtení
- Consani, Caterina; Connes, Alain, eds. (2011), Nekomutativní geometrie, aritmetika a související témata. Sborník z 21. zasedání Japonsko-amerického matematického institutu (JAMI) konaného na univerzitě Johns Hopkins University, Baltimore, MD, USA, 23. – 26. Března 2009, Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press, ISBN 978-1-4214-0352-6, Zbl 1245.00040
- Grensing, Gerhard (2013). Strukturální aspekty teorie kvantového pole a nekomutativní geometrie. Hackensack New Jersey: World Scientific. ISBN 978-981-4472-69-2.
externí odkazy
- Úvod do kvantové geometrie Micho Đurđevich
- Přednášky o nekomutativní geometrii Victor Ginzburg
- Velmi základní nekomutativní geometrie Masoud Khalkhali
- Přednášky o aritmetické nekomutativní geometrii podle Matilde Marcolli
- Nezávazná geometrie pro chodce J. Madore
- Neformální úvod do myšlenek a konceptů nekomutativní geometrie Thierry Masson (snadnější úvod, který je stále spíše technický)
- Nekomutativní geometrie na arxiv.org
- MathOverflow, Teorie nekomutativní geometrie
- S. Mahanta, O některých přístupech k nekomutativní algebraické geometrii, math.QA/0501166
- G. Sardanashvily, Přednášky o diferenciální geometrii modulů a prstenů (Lambert Academic Publishing, Saarbrücken, 2012); arXiv:0910.1515
- Nekomutativní geometrie a částicová fyzika