Vlastní složení matice

v lineární algebra, vlastní složení nebo někdy spektrální rozklad je faktorizace a matice do kanonická forma, přičemž matice je reprezentována z hlediska jejího vlastní čísla a vlastní vektory. Pouze diagonalizovatelné matice lze takto rozložit.

Základní teorie vlastních vektorů a vlastních hodnot matice

(Nenulový) vektor $proti$ dimenze $N$ je vlastní vektor čtverce $N \times N$ matice $A$ pokud splňuje lineární rovnici

{displaystyle mathbf {A} mathbf {v} = lambda mathbf {v}}

kde $λ$ je skalární, nazývaný vlastní číslo souhlasí s $proti$ . To znamená, že vlastní vektory jsou vektory, které lineární transformace $A$ pouze se prodlužují nebo zmenšují a částka, o kterou se prodlužují / zmenšují, je vlastní hodnota. Výše uvedená rovnice se nazývá rovnice vlastního čísla nebo problém s vlastním číslem.

Tím se získá rovnice pro vlastní hodnoty

{displaystyle pleft (lambda ight) = det left (mathbf {A} -lambda mathbf {I} ight) = 0.}

Voláme $str (λ)$ the charakteristický polynoma rovnice zvaná charakteristická rovnice, je $N$ polynomiální rovnice tého řádu neznáma $λ$ . Tato rovnice bude mít $N λ$ odlišná řešení, kde $1 \leq N λ \leq N$ . Soubor řešení, tj. Vlastní čísla, se nazývá spektrum z $A$ .^[1]^[2]^[3]

Můžeme faktor $str$ tak jako

{displaystyle pleft (lambda ight) = left (lambda -lambda _ {1} ight) ^ {n_ {1}} left (lambda -lambda _ {2} ight) ^ {n_ {2}} cdots left (lambda -lambda _ {N_ {lambda}} ight) ^ {n_ {N_ {lambda}}} = 0.}

Celé číslo $n i$ se nazývá algebraická multiplicita vlastního čísla $λ i$ . Pokud je pole skalárů algebraicky uzavřeno, algebraické multiplicity součet $N$ :

{limity součtu displaystyle _ {i = 1} ^ {N_ {lambda}} {n_ {i}} = N.}

Pro každé vlastní číslo $λ i$ , máme specifickou rovnici vlastních čísel

{displaystyle left (mathbf {A} -lambda _ {i} mathbf {I} ight) mathbf {v} = 0.}

Bude $1 \leq m i \leq n i$ lineárně nezávislé řešení každé rovnice vlastních čísel. Lineární kombinace $m i$ řešení jsou vlastní vektory spojené s vlastní hodnotou $λ i$ . Celé číslo $m i$ se nazývá geometrická multiplicita z $λ i$ . Je důležité mít na paměti, že algebraická multiplicita $n i$ a geometrická multiplicita $m i$ může, ale nemusí být rovný, ale vždy jsme měli $m i \leq n i$ . Nejjednodušší případ je samozřejmě kdy $m i = n i = 1$ . Celkový počet lineárně nezávislých vlastních vektorů, $N proti$ , lze vypočítat sečtením geometrické multiplicity

{limity součtu displaystyle _ {i = 1} ^ {N_ {lambda}} {m_ {i}} = N_ {mathbf {v}}.}

Vlastní vektory lze indexovat pomocí vlastních čísel pomocí dvojitého indexu pomocí $proti ij$ být $j$ vlastní vektor pro $i$ vlastní číslo. Vlastní vektory lze také indexovat pomocí jednodušší notace jednoho indexu $proti k$ , s $k = 1, 2, ..., N proti$ .

Nechat $A$ být čtverec $n \times n$ matice s $n$ lineárně nezávislé vlastní vektory $q i$ (kde $i = 1, ..., n$ ). Pak $A$ může být faktorizovaný tak jako

{displaystyle mathbf {A} = mathbf {Q} mathbf {Lambda} mathbf {Q} ^ {- 1}}

kde $Q$ je náměstí $n \times n$ matice jehož $i$ tento sloupec je vlastní vektor $q i$ z $A$ , a $Λ$ je diagonální matice jehož úhlopříčné prvky jsou odpovídající vlastní čísla, $Λ ii = λ i$ . Všimněte si, že pouze diagonalizovatelné matice lze takto rozložit. Například vadná matice ${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 1 & 1 0 & 1end {smallmatrix}} ight]}$ (což je smyková matice ) nelze diagonalizovat.

The $n$ vlastní vektory $q i$ jsou obvykle normalizovány, ale nemusí být. Nenormalizovaná sada $n$ vlastní vektory, $proti i$ lze také použít jako sloupce $Q$ . To lze pochopit poznamenáním, že velikost vlastních vektorů v $Q$ bude zrušen v rozkladu přítomností $Q -1$ .

Rozklad lze odvodit ze základní vlastnosti vlastních vektorů:

{displaystyle {egin {aligned} mathbf {A} mathbf {v} & = lambda mathbf {v} mathbf {A} mathbf {Q} & = mathbf {Q} mathbf {Lambda} mathbf {A} & = mathbf { Q} mathbf {Lambda} mathbf {Q} ^ {- 1} .end {zarovnáno}}}

Příklad

Skutečná matice 2 × 2 $A$

{displaystyle mathbf {A} = {egin {bmatrix} 1 & 0 1 & 3 end {bmatrix}}}

mohou být rozloženy na diagonální matici násobením nesingulární matice $B$

{displaystyle mathbf {B} = {egin {bmatrix} a & b c & dend {bmatrix}} v mathbb {R} ^ {2 obrázky 2}.}

Pak

{displaystyle {egin {bmatrix} a & b c & dend {bmatrix}} ^ {- 1} {egin {bmatrix} 1 & 0 1 & 3end {bmatrix}} {egin {bmatrix} a & b c & dend {bmatrix}} = {egin {bmatrix} x & 0 0 a yend {bmatrix}},}

pro nějakou skutečnou diagonální matici ${displaystyle left [{egin {smallmatrix} x & 0 0 & yend {smallmatrix}} ight]}$ .

Vynásobením obou stran rovnice vlevo o $B$ :

{displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 0 1 & 3end {bmatrix}} {egin {bmatrix} a & b c & dend {bmatrix}} = {egin {bmatrix} a & b c & dend {bmatrix}} {egin {bmatrix} x & 0 0 & yend {bmatrix} }.}

Výše uvedenou rovnici lze rozložit na dvě simultánní rovnice:

{displaystyle {egin {cases} {egin {bmatrix} 1 & 0 1 & 3end {bmatrix}} {egin {bmatrix} a cend {bmatrix}} = {egin {bmatrix} ax cxend {bmatrix}} {egin {bmatrix} 1 & 0 1 & 3end {bmatrix}} {egin {bmatrix} b dend {bmatrix}} = {egin {bmatrix} by dyend {bmatrix}} end {cases}}.}

Vyčlenění vlastní čísla $X$ a $y$ :

{displaystyle {egin {cases} {egin {bmatrix} 1 & 0 1 & 3end {bmatrix}} {egin {bmatrix} a cend {bmatrix}} = x {egin {bmatrix} a cend {bmatrix}} {egin {bmatrix } 1 & 0 1 & 3end {bmatrix}} {egin {bmatrix} b dend {bmatrix}} = y {egin {bmatrix} b dend {bmatrix}} konec {případů}}}

Pronájem

{displaystyle {overrightarrow {a}} = {egin {bmatrix} a cend {bmatrix}}, quad {overrightarrow {b}} = {egin {bmatrix} b dend {bmatrix}},}

to nám dává dvě vektorové rovnice:

{displaystyle {egin {cases} A {overrightarrow {a}} = x {overrightarrow {a}} A {overrightarrow {b}} = y {overrightarrow {b}} konec {případů}}}

A může být reprezentován jedinou vektorovou rovnicí zahrnující dvě řešení jako vlastní čísla:

{displaystyle mathbf {A} mathbf {u} = lambda mathbf {u}}

kde $λ$ představuje dvě vlastní čísla $X$ a $y$ , a $u$ představuje vektory $A \to$ a $b \to$ .

Řazení $λ u$ na levou stranu a factoring $u$ ven

{displaystyle (mathbf {A} -lambda mathbf {I}) mathbf {u} = mathbf {0}}

Od té doby $B$ není singulární, je to nezbytné $u$ je nenulová. Proto,

{displaystyle det (mathbf {A} -lambda mathbf {I}) = 0}

Tím pádem

{displaystyle (1-lambda) (3-lambda) = 0}

což nám dává řešení vlastních čísel pro matici $A$ tak jako $λ = 1$ nebo $λ = 3$ a výsledná diagonální matice z vlastního složení $A$ je tedy ${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 1 & 0 0 & 3end {smallmatrix}} ight]}$ .

Vrácení řešení zpět do výše uvedených simultánních rovnic

{displaystyle {egin {cases} {egin {bmatrix} 1 & 0 1 & 3end {bmatrix}} {egin {bmatrix} a cend {bmatrix}} = 1 {egin {bmatrix} a cend {bmatrix}} {egin {bmatrix } 1 & 0 1 & 3end {bmatrix}} {egin {bmatrix} b dend {bmatrix}} = 3 {egin {bmatrix} b dend {bmatrix}} konec {případů}}}

Řešení rovnic máme

{displaystyle a = -2cquad {ext {and}} quad b = 0, qquad c, din mathbb {R}.}

Tedy matice $B$ požadované pro vlastní složení $A$ je

{displaystyle mathbf {B} = {egin {bmatrix} -2c & 0 c & dend {bmatrix}}, qquad c, din mathbb {R},}

to je:

{displaystyle {egin {bmatrix} -2c & 0 c & dend {bmatrix}} ^ {- 1} {egin {bmatrix} 1 & 0 1 & 3end {bmatrix}} {egin {bmatrix} -2c & 0 c & dend {bmatrix}} = {egin {bmatrix } 1 & 0 0 & 3end {bmatrix}}, qquad c, din mathbb {R}}

Matice inverzní prostřednictvím eigendecomposition

Pokud je to matice $A$ může být eigendecomposed a pokud žádný z jeho vlastních čísel není nula, pak $A$ je nesmyslný a jeho inverze je dána vztahem

{displaystyle mathbf {A} ^ {- 1} = mathbf {Q} mathbf {Lambda} ^ {- 1} mathbf {Q} ^ {- 1}}

Li ${displaystyle mathbf {A}}$ je symetrická matice, protože ${displaystyle mathbf {Q}}$ je tvořen z vlastních vektorů ${displaystyle mathbf {A}}$ je zaručeno, že ortogonální matice, proto ${displaystyle mathbf {Q} ^ {- 1} = mathbf {Q} ^ {mathrm {T}}}$ . Dále proto, že $Λ$ je diagonální matice, jeho inverzní lze snadno vypočítat:

{displaystyle left [Lambda ^ {- 1} ight] _ {ii} = {frac {1} {lambda _ {i}}}}

Praktické důsledky^[4]

Když je vlastní složení použito na matici měřeného, reálného data, inverzní může být méně platné, pokud jsou všechny vlastní hodnoty použity beze změny ve výše uvedeném formuláři. Je to proto, že když se vlastní čísla stávají relativně malými, jejich příspěvek k inverzi je velký. Ti, kteří jsou blízko nuly nebo na „šumu“ měřicího systému, budou mít nepřiměřený vliv a mohou bránit řešení (detekci) pomocí inverze.

Byly navrženy dvě zmírnění: zkrácení malých nebo nulových vlastních hodnot a rozšíření nejnižší spolehlivé vlastní hodnoty na hodnoty pod ní.

První metoda zmírňování je podobná řídkému vzorku původní matice, který odstraňuje komponenty, které nejsou považovány za cenné. Pokud je však proces řešení nebo detekce blízko úrovně hluku, zkrácení může odstranit součásti, které ovlivňují požadované řešení.

Druhé zmírnění rozšiřuje vlastní hodnotu, takže nižší hodnoty mají mnohem menší vliv na inverzi, ale stále přispívají, takže řešení v blízkosti šumu budou stále nalezena.

Spolehlivé vlastní číslo lze najít za předpokladu, že vlastní čísla extrémně podobné a nízké hodnoty jsou dobrým vyjádřením šumu měření (což se u většiny systémů předpokládá jako nízké).

Pokud jsou vlastní čísla seřazená podle hodnoty, pak lze spolehlivá vlastní čísla najít minimalizací Laplacian z seřazených vlastních čísel:^[5]

{displaystyle min left | abla ^ {2} lambda _ {mathrm {s}} ight |}

kde jsou vlastní čísla indexována pomocí $s$ k označení třídění. Pozice minimalizace je nejnižší spolehlivá vlastní hodnota. V měřicích systémech je druhou odmocninou tohoto spolehlivého vlastního čísla průměrný hluk nad součástmi systému.

Funkční počet

Vlastní složení umožňuje mnohem snadnější výpočet výkonová řada matic. Li $F (X)$ darováno

{displaystyle f (x) = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + cdots}

pak to víme

{displaystyle fleft (mathbf {A} ight) = mathbf {Q} fleft (mathbf {Lambda} ight) mathbf {Q} ^ {- 1}}

Protože $Λ$ je diagonální matice, funkce $Λ$ jsou velmi snadno vypočítatelné:

{displaystyle left [fleft (mathbf {Lambda} ight) ight] _ {ii} = fleft (lambda _ {i} ight)}

Off-diagonální prvky $F (Λ)$ jsou nula; to je $F (Λ)$ je také diagonální matice. Proto výpočet $F (A)$ redukuje na pouhý výpočet funkce na každém z vlastních čísel.

Podobná technika funguje obecněji s holomorfní funkční počet, použitím

{displaystyle mathbf {A} ^ {- 1} = mathbf {Q} mathbf {Lambda} ^ {- 1} mathbf {Q} ^ {- 1}}

z výše. Znovu to zjistíme

{displaystyle left [fleft (mathbf {Lambda} ight) ight] _ {ii} = fleft (lambda _ {i} ight)}

Příklady

{displaystyle {egin {aligned} mathbf {A} ^ {2} & = left (mathbf {Q} mathbf {Lambda} mathbf {Q} ^ {- 1} ight) left (mathbf {Q} mathbf {Lambda} mathbf { Q} ^ {- 1} ight) = mathbf {Q} mathbf {Lambda} vlevo (mathbf {Q} ^ {- 1} mathbf {Q} ight) mathbf {Lambda} mathbf {Q} ^ {- 1} = mathbf {Q} mathbf {Lambda} ^ {2} mathbf {Q} ^ {- 1} mathbf {A} ^ {n} & = mathbf {Q} mathbf {Lambda} ^ {n} mathbf {Q} ^ {- 1} exp {mathbf {A}} & = mathbf {Q} exp {(mathbf {Lambda})} mathbf {Q} ^ {- 1} konec {zarovnáno}}}

což jsou příklady funkcí ${displaystyle f (x) = x ^ {2} ,; f (x) = x ^ {n} ,; f (x) = exp {x}}$ Dále ${displaystyle exp {mathbf {A}}}$ je exponenciální matice.

Rozklad pro speciální matice

Normální matice

Komplexní čtvercová matice $A$ je normální (význam $A * A = AA *$ , kde $A *$ je konjugovat transponovat ) právě tehdy, pokud je možné jej rozložit na

{displaystyle mathbf {A} = mathbf {U} mathbf {Lambda} mathbf {U} ^ {*}}

kde $U$ je unitární matice (význam $U * = U -1$ ) a $Λ = diag (λ 1, ..., λ n)$ je diagonální matice.^[6]Sloupce u₁, …, u_n z $U$ pro muže ortonormální základ a jsou vlastní vektory $A$ s odpovídajícími vlastními hodnotami λ₁, …, λ_n.

Li $A$ je omezeno na Hermitova matice ( $A = A *$ ), pak $Λ$ má pouze položky se skutečnou hodnotou. Li $A$ je tedy omezena na unitární matici $Λ$ vezme všechny své hodnoty na komplexním jednotkovém kruhu, tj. $| λ i | = 1$ .

Skutečné symetrické matice

Jako zvláštní případ pro každého $n \times n$ nemovitý symetrická matice, vlastní čísla jsou skutečná a vlastní vektory lze vybrat jako reálné a ortonormální. Tedy skutečná symetrická matice $A$ lze rozložit jako

{displaystyle mathbf {A} = mathbf {Q} mathbf {Lambda} mathbf {Q} ^ {mathsf {T}}}

kde $Q$ je ortogonální matice jejichž sloupce jsou vlastní vektory $A$ , a $Λ$ je diagonální matice, jejíž položky jsou vlastní hodnoty $A$ .^[7]

Užitečná fakta

Užitečná fakta týkající se vlastních čísel

Produkt vlastních čísel se rovná určující z $A$
${displaystyle det left (mathbf {A} ight) = prod limity _ {i = 1} ^ {N_ {lambda}} {lambda _ {i} ^ {n_ {i}}}}$
Všimněte si, že každé vlastní číslo je zvýšeno na sílu $n i$ , algebraická multiplicita.
Součet vlastních čísel se rovná stopa z $A$
${displaystyle operatorname {tr} left (mathbf {A} ight) = limity součtu _ {i = 1} ^ {N_ {lambda}} {{n_ {i}} lambda _ {i}}}$
Všimněte si, že každé vlastní číslo je vynásobeno $n i$ , algebraická multiplicita.
Pokud vlastní čísla z $A$ jsou $λ i$ , a $A$ je invertibilní, pak vlastní čísla z $A -1$ jsou prostě $λ -1 i$ .
Pokud vlastní čísla z $A$ jsou $λ i$ , potom vlastní čísla $F (A)$ jsou prostě $F (λ i)$ , pro všechny holomorfní funkce $F$ .

Užitečná fakta týkající se vlastních vektorů

Li $A$ je Hermitian a úplná hodnost, základ vlastních vektorů lze zvolit tak, aby byly vzájemně ortogonální. Vlastní čísla jsou skutečná.
Vlastní vektory $A -1$ jsou stejné jako vlastní vektory $A$ .
Vlastní vektory jsou definovány pouze do multiplikativní konstanty. To je, pokud $Av = λ proti$ pak $C proti$ je také vlastní vektor pro jakýkoli skalár $C \neq 0$ . Zejména, $- proti$ a $E iθ proti$ (pro libovolné θ) jsou také vlastní vektory.
V případě degenerovaných vlastních čísel (vlastní hodnota se objevuje více než jednou) mají vlastní vektory další svobodu otáčení, to znamená, že jakákoli lineární (ortonormální) kombinace vlastních vektorů sdílejících vlastní číslo (v degenerovaném podprostoru) jsou samy vlastními vektory ( v podprostoru).

Užitečná fakta týkající se vlastního složení

$A$ může být eigendecomposed právě tehdy, když počet lineárně nezávislých vlastních vektorů, ${displaystyle N_ {mathbf {v}}}$ , se rovná dimenzi vlastního vektoru: ${displaystyle N_ {mathbf {v}} = N,}$
Li $str (λ)$ nemá žádné opakované kořeny, tj. pokud ${displaystyle N_ {lambda} = N,}$ pak $A$ lze eigendecomposed.
Prohlášení " $A$ lze eigendecomposed "dělá ne naznačují to $A$ má inverzní.
Prohlášení " $A$ má inverzní "dělá ne naznačují to $A$ lze eigendecomposed. Protiklad je ${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 1 & 1 0 & 1end {smallmatrix}} ight]}$ , což je invertibilní vadná matice.

Užitečná fakta týkající se inverze matice

$A$ lze převrátit kdyby a jen kdyby
${displaystyle lambda _ {i} eq 0quad forall, i}$
Li $λ i \neq 0$ a $N proti = N$ , inverzní je dána
${displaystyle mathbf {A} ^ {- 1} = mathbf {Q} mathbf {Lambda} ^ {- 1} mathbf {Q} ^ {- 1}}$

Numerické výpočty

Numerický výpočet vlastních čísel

Předpokládejme, že chceme spočítat vlastní hodnoty dané matice. Pokud je matice malá, můžeme je vypočítat symbolicky pomocí charakteristický polynom. U větších matic je to však často nemožné, v takovém případě musíme použít a numerická metoda.

V praxi se vlastní čísla velkých matic nepočítají pomocí charakteristického polynomu. Výpočet polynomu se sám o sobě stává nákladným a přesné (symbolické) kořeny polynomu vysokého stupně může být obtížné vypočítat a vyjádřit: Věta Abel – Ruffini znamená, že kořeny polynomů vysokého stupně (5 nebo vyšších) nelze obecně vyjádřit jednoduše pomocí $n$ th kořeny. Obecné algoritmy pro hledání vlastních vektorů a vlastních čísel proto jsou iterativní.

Iterativní numerické algoritmy pro aproximaci kořenů polynomů existují, jako např Newtonova metoda, ale obecně je nepraktické vypočítat charakteristický polynom a poté tyto metody použít. Jedním z důvodů je ten malý chyby zaokrouhlování v koeficientech charakteristického polynomu může vést k velkým chybám ve vlastních hodnotách a vlastních vektorech: kořeny jsou extrémně špatně podmíněný funkce koeficientů.^[8]

Jednoduchá a přesná iterační metoda je metoda napájení: a náhodný vektor $proti$ je vybrána a posloupnost jednotkové vektory se počítá jako

{displaystyle {frac {mathbf {A} mathbf {v}} {left | mathbf {A} mathbf {v} ight |}}, {frac {mathbf {A} ^ {2} mathbf {v}} {left | mathbf {A} ^ {2} mathbf {v} ight |}}, {frac {mathbf {A} ^ {3} mathbf {v}} {left | mathbf {A} ^ {3} mathbf {v} ight |} }, ldots}

Tento sekvence vůle Skoro pořád konvergovat k vlastnímu vektoru odpovídajícímu vlastní hodnotě největší velikosti za předpokladu, že $proti$ má nenulovou složku tohoto vlastního vektoru na základě vlastního vektoru (a také za předpokladu, že existuje pouze jedno vlastní číslo největší velikosti). Tento jednoduchý algoritmus je užitečný v některých praktických aplikacích; například, Google používá jej k výpočtu hodnocení stránky dokumentů ve svém vyhledávači.^[9] Metoda napájení je také výchozím bodem pro mnoho sofistikovanějších algoritmů. Například tím, že si ponecháte nejen poslední vektor v sekvenci, ale místo toho se podíváte na rozpětí z Všechno vektorů v sekvenci, lze získat lepší (rychlejší konvergenci) aproximaci pro vlastní vektor a tato myšlenka je základem Arnoldiho iterace.^[8] Případně důležité Algoritmus QR je také založen na jemné transformaci mocenské metody.^[8]

Numerický výpočet vlastních vektorů

Po výpočtu vlastních čísel lze vlastní vektory vypočítat řešením rovnice

{displaystyle left (mathbf {A} -lambda _ {i} mathbf {I} ight) mathbf {v} _ {i, j} = 0}

použitím Gaussova eliminace nebo jakoukoli jinou metodu k řešení maticové rovnice.

V praktických metodách vlastního čísla ve velkém měřítku se však vektory vlastních čísel obvykle počítají jinými způsoby, jako vedlejší produkt výpočtu vlastních čísel. v iterace výkonu například vlastní vektor je ve skutečnosti vypočítán před vlastní hodnotou (kterou obvykle vypočítává Rayleighův kvocient vlastního vektoru).^[8] V algoritmu QR pro a Hermitova matice (nebo nějaký normální matice ), jsou ortonormální vlastní vektory získány jako produkt $Q$ matice z kroků v algoritmu.^[8] (U obecnějších matic poskytuje algoritmus QR Schurův rozklad nejprve ze kterého lze vlastní vektory získat pomocí a zpětná substituce postup.^[10]) Pro hermitovské matice platí Algoritmus rozdělení a dobývání vlastních čísel je efektivnější než algoritmus QR, pokud jsou požadovány vlastní vektory i vlastní hodnoty.^[8]

Další témata

Zobecněné vlastní prostory

Připomeňme, že geometrický multiplicitu vlastního čísla lze popsat jako dimenzi přidruženého vlastního prostoru, prázdný prostor $λ Já - A$ . Algebraickou multiplicitu lze také považovat za dimenzi: je to dimenze přidružené zobecněný vlastní prostor (1. smysl), což je prázdný prostor matice $(λ Já - A) k$ pro jakýkoli dostatečně velký $k$ . To znamená, že je to prostor zobecněné vlastní vektory (první smysl), kde zobecněný vlastní vektor je jakýkoli vektor, který nakonec se stane 0, pokud $λ Já - A$ se na něj aplikuje dostatečně často po sobě. Libovolný vlastní vektor je zobecněný vlastní vektor, takže každý vlastní prostor je obsažen v přidruženém zobecněném vlastním prostoru. To poskytuje snadný důkaz, že geometrická multiplicita je vždy menší nebo rovna algebraické multiplicitě.

Toto použití by nemělo být zaměňováno s zobecněný problém vlastních čísel popsané níže.

Konjugovaný vlastní vektor

A konjugovaný vlastní vektor nebo coneigenvector je vektor odeslaný po transformaci na skalární násobek jeho konjugátu, kde se skalár nazývá konjugovat vlastní hodnotu nebo coneigenvalue lineární transformace. KONEIGENVektory a KONEČNÉ HODNOTY představují v zásadě stejné informace a význam jako běžné vlastní vektory a vlastní hodnoty, ale vznikají při použití alternativního souřadného systému. Odpovídající rovnice je

{displaystyle mathbf {A} mathbf {v} = lambda mathbf {v} ^ {*}.}

Například v teorii koherentního elektromagnetického rozptylu lineární transformace $A$ představuje akci prováděnou rozptylovým objektem a vlastní vektory představují polarizační stavy elektromagnetické vlny. v optika, je souřadnicový systém definován z pohledu vlny, známého jako Zarovnání dopředného rozptylu (FSA), a dává vzniknout pravidelné rovnici vlastních čísel, zatímco v radar, je souřadnicový systém definován z pohledu radaru, známého jako Zarovnání zpětného rozptylu (BSA), a vede k rovnici coneigenvalue.

Zobecněný problém s vlastním číslem

A zobecněný problém vlastních čísel (druhý smysl) je problém najít vektor $proti$ který poslouchá

{displaystyle mathbf {A} mathbf {v} = lambda mathbf {B} mathbf {v}}

kde $A$ a $B$ jsou matice. Li $proti$ s některými se řídí touto rovnicí $λ$ , pak zavoláme $proti$ the zobecněný vlastní vektor z $A$ a $B$ (ve druhém smyslu) a $λ$ se nazývá zobecněné vlastní číslo z $A$ a $B$ (ve druhém smyslu), který odpovídá zobecněnému vlastnímu vektoru $proti$ . Možné hodnoty $λ$ musí dodržovat následující rovnici

{displaystyle det (mathbf {A} -lambda mathbf {B}) = 0.}

Li $n$ lineárně nezávislé vektory ${proti 1, ..., proti n}$ lze najít takové, že pro každého $i \in {1, ..., n}$ , $Av i = λ i Bv i$ , pak definujeme matice $P$ a $D$ takhle

{displaystyle P = {egin {pmatrix} | && | mathbf {v} _ {1} & cdots & mathbf {v} _ {n} | && | end {pmatrix}} equiv {egin {pmatrix} (mathbf {v} _ {1}) _ {1} & cdots & (mathbf {v} _ {n}) _ {1} vdots && vdots (mathbf {v} _ {1}) _ {n} & cdots & (mathbf {v} _ {n}) _ {n} konec {pmatrix}}}

{displaystyle (D) _ {ij} = {egin {cases} lambda _ {i}, & {ext {if}} i = j 0, & {ext {else}} end {cases}}}

Pak platí následující rovnost

{displaystyle mathbf {A} = mathbf {B} mathbf {P} mathbf {D} mathbf {P} ^ {- 1}}

A důkaz je

{displaystyle mathbf {A} mathbf {P} = mathbf {A} {egin {pmatrix} | && | mathbf {v} _ {1} & cdots & mathbf {v} _ {n} | && | end {pmatrix}} = {egin {pmatrix} | && | Amathbf {v} _ {1} & cdots & Amathbf {v} _ {n} | && | end {pmatrix}} = {egin {pmatrix} | && | lambda _ {1 } Bmathbf {v} _ {1} & cdots & lambda _ {n} Bmathbf {v} _ {n} | && | end {pmatrix}} = {egin {pmatrix} | && | Bmathbf {v} _ {1} & cdots & Bmathbf {v} _ {n} | && | end {pmatrix}} mathbf {D} = mathbf {B} mathbf {P} mathbf {D}}

A od té doby $P$ je invertibilní, vynásobíme rovnici zprava její inverzí a dokončíme důkaz.

Sada matic formuláře $A - λ B$ , kde $λ$ je komplexní číslo, nazývá se a tužka; termín maticová tužka může také odkazovat na dvojici $(A, B)$ matic.^[11]

Li $B$ je invertibilní, pak lze původní problém zapsat do formuláře

{displaystyle mathbf {B} ^ {- 1} mathbf {A} mathbf {v} = lambda mathbf {v}}

což je standardní problém vlastních čísel. Ve většině situací je však lepší neprovádět inverzi, ale spíše vyřešit zobecněný problém vlastních čísel, jak bylo původně uvedeno. To je zvláště důležité, pokud $A$ a $B$ jsou Hermitovské matice, protože v tomto případě $B -1 A$ není obecně Hermitian a důležité vlastnosti řešení již nejsou patrné.

Li $A$ a $B$ jsou symetrické nebo hermitovské a $B$ je také a pozitivně definitivní matice, vlastní čísla λ_i jsou skutečné a vlastní vektory $proti 1$ a $proti 2$ s odlišnými vlastními čísly jsou $B$ -ortogonální ( $proti 1 * Bv 2 = 0$ ).^[12] V tomto případě lze zvolit vlastní vektory tak, aby matice $P$ výše definované splňuje

{displaystyle mathbf {P} ^ {*} mathbf {B} mathbf {P} = mathbf {I}}

nebo

{displaystyle mathbf {P} mathbf {P} ^ {*} mathbf {B} = mathbf {I}}

,

a existuje a základ zobecněných vlastních vektorů (není to vadný problém).^[11] Tento případ se někdy nazývá a Hermitovská určitá tužka nebo určitá tužka.^[11]

Viz také

Poznámky

^ Golub & Van Loan (1996, str. 310)
^ Kreyszig (1972, str. 273)
^ Nering (1970, str. 270)
^ Hayde, A. F .; Twede, D. R. (2002). Shen, Sylvia S. (ed.). "Pozorování vztahu mezi vlastními hodnotami, hlukem přístroje a výkonem detekce". Zobrazovací spektrometrie VIII. Sborník SPIE. 4816: 355. Bibcode:2002SPIE.4816..355H. doi:10.1117/12.453777.
^ Twede, D. R .; Hayden, A. F. (2004). Shen, Sylvia S; Lewis, Paul E (eds.). "Upřesnění a zobecnění metody rozšíření inverze kovarianční matice regularizací". Zobrazovací spektrometrie IX. Sborník SPIE. 5159: 299. Bibcode:2004SPIE.5159..299T. doi:10.1117/12.506993.
^ Horn & Johnson (1985), str. 133, Věta 2.5.3
^ Horn & Johnson (1985), str. 136, Dodatek 2.5.11
^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F Trefethen, Lloyd N.; Bau, David (1997). Numerická lineární algebra. SIAM. ISBN 978-0-89871-361-9.
^ Ipsen, Ilse a Rebecca M. Wills, Analýza a výpočet PageRank společnosti Google, 7. mezinárodní symposium IMACS o iteračních metodách ve vědeckých výpočtech, Fields Institute, Toronto, Kanada, 5. – 8. Května 2005.
^ Quarteroni, Alfio; Sacco, Riccardo; Saleri, Fausto (2000). „oddíl 5.8.2“. Numerická matematika. Springer. p. 15. ISBN 978-0-387-98959-4.
^ ^A ^b ^C Bai, Z .; Demmel, J.; Dongarra, J .; Ruhe, A .; Van Der Vorst, H., eds. (2000). „Zobecněné problémy s hermitiánským vlastním číslem“. Šablony pro řešení problémů s algebraickou vlastní hodnotou: Praktický průvodce. Philadelphia: SIAM. ISBN 978-0-89871-471-5.
^ Parlett, Beresford N. (1998). Problém symetrické vlastní hodnoty (Dotisk. Ed.). Philadelphia: Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku. p. 345. doi:10.1137/1.9781611971163. ISBN 978-0-89871-402-9.

Reference

Franklin, Joel N. (1968). Maticová teorie. Dover Publications. ISBN 978-0-486-41179-8.
Golub, Gene H .; Van Loan, Charles F. (1996), Maticové výpočty (3. vyd.), Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-5414-9
Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (1985). Maticová analýza. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38632-6.
Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (1991). Témata maticové analýzy. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46713-1.
Kreyszig, Erwin (1972), Pokročilá inženýrská matematika (3. vyd.), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-50728-4
Nering, Evar D. (1970), Lineární algebra a maticová teorie (2. vyd.), New York: Wiley, LCCN 76091646
Strang, G. (1998). Úvod do lineární algebry (3. vyd.). Wellesley-Cambridge Press. ISBN 978-0-9614088-5-5.

externí odkazy

Interaktivní program a výukový program Spectral Decomposition.

[1] Golub & Van Loan (1996, str. 310)

[2] Kreyszig (1972, str. 273)

[3] Nering (1970, str. 270)

[inverse-4] Hayde, A. F .; Twede, D. R. (2002). Shen, Sylvia S. (ed.). "Pozorování vztahu mezi vlastními hodnotami, hlukem přístroje a výkonem detekce". Zobrazovací spektrometrie VIII. Sborník SPIE. 4816: 355. Bibcode:2002SPIE.4816..355H. doi:10.1117/12.453777.

[inverse2-5] Twede, D. R .; Hayden, A. F. (2004). Shen, Sylvia S; Lewis, Paul E (eds.). "Upřesnění a zobecnění metody rozšíření inverze kovarianční matice regularizací". Zobrazovací spektrometrie IX. Sborník SPIE. 5159: 299. Bibcode:2004SPIE.5159..299T. doi:10.1117/12.506993.

[6] Horn & Johnson (1985), str. 133, Věta 2.5.3

[7] Horn & Johnson (1985), str. 136, Dodatek 2.5.11

[Trefethen-8] A ^b ^C ^d ^E ^F Trefethen, Lloyd N.; Bau, David (1997). Numerická lineární algebra. SIAM. ISBN 978-0-89871-361-9.

[9] Ipsen, Ilse a Rebecca M. Wills, Analýza a výpočet PageRank společnosti Google, 7. mezinárodní symposium IMACS o iteračních metodách ve vědeckých výpočtech, Fields Institute, Toronto, Kanada, 5. – 8. Května 2005.

[10] Quarteroni, Alfio; Sacco, Riccardo; Saleri, Fausto (2000). „oddíl 5.8.2“. Numerická matematika. Springer. p. 15. ISBN 978-0-387-98959-4.

[Bai-GHEP-11] A ^b ^C Bai, Z .; Demmel, J.; Dongarra, J .; Ruhe, A .; Van Der Vorst, H., eds. (2000). „Zobecněné problémy s hermitiánským vlastním číslem“. Šablony pro řešení problémů s algebraickou vlastní hodnotou: Praktický průvodce. Philadelphia: SIAM. ISBN 978-0-89871-471-5.

[12] Parlett, Beresford N. (1998). Problém symetrické vlastní hodnoty (Dotisk. Ed.). Philadelphia: Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku. p. 345. doi:10.1137/1.9781611971163. ISBN 978-0-89871-402-9.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

Vlastní složení matice - Eigendecomposition of a matrix

Základní teorie vlastních vektorů a vlastních hodnot matice