Eberlein – Šmulianova věta - Eberlein–Šmulian theorem

V matematický pole funkční analýza, Eberlein – Šmulianova věta (pojmenoval podle William Frederick Eberlein a Witold Lwowitsch Schmulian ) je výsledek, který souvisí se třemi různými druhy slabý kompaktnost v Banachův prostor.

Prohlášení

Eberlein – Šmulianova věta: ^[1] Li X je Banachův prostor a A je podmnožinou X, pak jsou následující tvrzení ekvivalentní:

1. každá posloupnost prvků A má subsekvenci, která je slabě konvergentní
2. každá posloupnost prvků A má slabý bod klastru
3. slabé uzavření A je slabě kompaktní

Sada A může být slabě kompaktní třemi různými způsoby:

• Kompaktnost (nebo Heine -Borel kompaktnost): Každý otevřený kryt A připouští konečnou subcover.
• Sekvenční kompaktnost: Každá sekvence od A má konvergentní subsekvenci, jejíž limit je v A.
• Kompaktnost mezního bodu: Každá nekonečná podmnožina A má mezní bod v A.

Eberlein-Šmulianova věta uvádí, že tři jsou ekvivalentní při slabé topologii Banachova prostoru. I když tato rovnocennost obecně platí pro a metrický prostor, slabá topologie není metrizovatelná v nekonečných dimenzionálních vektorových prostorech, a proto je potřeba Eberlein-Šmulianova věta.

Aplikace

Eberlein-Šmulianova věta je důležitá v teorii PDE, a to zejména v Sobolevovy prostory. Mnoho Sobolevových prostor je reflexní Banachovy prostory a proto jsou omezené podmnožiny slabě předkompaktní Alaogluova věta. Věta tedy naznačuje, že ohraničené podmnožiny jsou slabě postupně prekompaktní, a proto je z každé ohraničené sekvence prvků tohoto prostoru možné extrahovat subsekvenci, která se v prostoru slabě sbíhá. Protože mnoho PDE má řešení pouze ve slabém smyslu, je tato věta důležitým krokem při rozhodování, které prostory slabých řešení se mají použít při řešení PDE.

Viz také

• Banach – Alaogluova věta
• Bishop – Phelpsova věta
• Mazurovo lemma
• Jamesova věta
• Goldstinova věta

Reference

Bibliografie

• Conway, John B. (1990). Kurz funkční analýzy. Postgraduální texty z matematiky. 96 (2. vyd.). New York: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
• Diestel, Joseph (1984), Sekvence a série v Banachových prostorech, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90859-5.
• Dunford, N .; Schwartz, J.T. (1958), Lineární operátory, část I, Wiley-Interscience.
• Whitley, R.J. (1967), „Elementární důkaz Eberlein-Smulianovy věty“, Mathematische Annalen, 172 (2): 116–118, doi:10.1007 / BF01350091.

Tento matematická analýza –Vztahující se článek je pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.