Přirozená transformace - Natural transformation

v teorie kategorií, pobočka matematika, a přirozená transformace poskytuje způsob transformace funktor do jiné při respektování vnitřní struktury (tj. složení morfismy ) z Kategorie zapojen. Přirozenou transformaci lze tedy považovat za „morfismus funktorů“. Ve skutečnosti lze tuto intuici formalizovat tak, aby definovala tzv kategorie funktorů. Přirozené transformace jsou po kategoriích a funktorech jedním z nejzákladnějších pojmů teorie kategorií a následně se objeví ve většině jeho aplikací.

Definice

Li ${ displaystyle F}$ a ${ displaystyle G}$ jsou funktory mezi kategoriemi ${ displaystyle C}$ a ${ displaystyle D}$, pak přirozená transformace ${ displaystyle eta}$ z ${ displaystyle F}$ na ${ displaystyle G}$ je rodina morfismů, která splňuje dva požadavky.

1. Přirozená transformace se musí asociovat s každým objektem ${ displaystyle X}$ v ${ displaystyle C}$, a morfismus ${ displaystyle eta _ {X}: F (X) až G (X)}$ mezi objekty ${ displaystyle D}$. Morfismus ${ displaystyle eta _ {X}}$ se nazývá součástka z ${ displaystyle eta}$ na ${ displaystyle X}$.
2. Komponenty musí být takové, aby pro každý morfismus ${ displaystyle f: X až Y}$ v ${ displaystyle C}$ my máme:

${ displaystyle eta _ {Y} circ F (f) = G (f) circ eta _ {X}}$

Poslední rovnici lze pohodlně vyjádřit pomocí komutativní diagram

Pokud obojí ${ displaystyle F}$ a ${ displaystyle G}$ jsou protikladný, vertikální šipky v tomto diagramu jsou obrácené. Li ${ displaystyle eta}$ je přirozená transformace z ${ displaystyle F}$ na ${ displaystyle G}$, také píšeme ${ displaystyle eta: F až G}$ nebo ${ displaystyle eta: F implikuje G}$. To je také vyjádřeno slovy rodiny morfismů ${ displaystyle eta _ {X}: F (X) až G (X)}$ je přírodní v ${ displaystyle X}$.

Pokud pro každý objekt ${ displaystyle X}$ v ${ displaystyle C}$morfismus ${ displaystyle eta _ {X}}$ je izomorfismus v ${ displaystyle D}$, pak ${ displaystyle eta}$ se říká, že je přirozený izomorfismus (nebo někdy přirozená rovnocennost nebo izomorfismus funktorů). Dva funktory ${ displaystyle F}$ a ${ displaystyle G}$ jsou nazývány přirozeně izomorfní nebo jednoduše izomorfní pokud existuje přirozený izomorfismus z ${ displaystyle F}$ na ${ displaystyle G}$.

An infranaturální transformace ${ displaystyle eta}$ z ${ displaystyle F}$ na ${ displaystyle G}$ je prostě rodina morfismů ${ displaystyle eta _ {X}: F (X) až G (X)}$, pro všechny ${ displaystyle X}$ v ${ displaystyle C}$. Přirozená transformace je tedy transformací do přírody ${ displaystyle eta _ {Y} cirkus F (f) = G (f) cirkus eta _ {X}}$ za každý morfismus ${ displaystyle f: X až Y}$. The naturalizátor z ${ displaystyle eta}$, nat${ displaystyle ( eta)}$, je největší podkategorie z ${ displaystyle C}$ obsahující všechny objekty ${ displaystyle C}$ na kterých ${ displaystyle eta}$ omezuje na přirozenou transformaci.

Příklady

Naproti skupině

Prohlášení jako

„Každá skupina je přirozeně izomorfní opačná skupina "

oplývá moderní matematikou. Nyní uvedeme přesný význam tohoto prohlášení a jeho důkaz. Zvažte kategorii ${ displaystyle { textbf {Grp}}}$ ze všech skupiny s skupinové homomorfismy jako morfismy. Li ${ displaystyle (G, *)}$ je skupina, definujeme její opačnou skupinu ${ displaystyle (G ^ { text {op}}, {*} ^ { text {op}})}$ jak následuje: ${ displaystyle G ^ { text {op}}}$ je stejná sada jako ${ displaystyle G}$a operace ${ displaystyle * ^ { text {op}}}$ je definováno ${ displaystyle a * ^ { text {op}} b = b * a}$. Všechny multiplikace v ${ displaystyle G ^ { text {op}}}$ jsou tedy „otočeny“. Formování naproti ze skupiny se stává (kovariantní) funktor z ${ displaystyle { textbf {Grp}}}$ na ${ displaystyle { textbf {Grp}}}$ pokud definujeme ${ displaystyle f ^ { text {op}} = f}$ pro jakýkoli skupinový homomorfismus ${ displaystyle f: G až H}$. Všimněte si, že ${ displaystyle f ^ { text {op}}}$ je skutečně skupinový homomorfismus z ${ displaystyle G ^ { text {op}}}$ na ${ displaystyle H ^ { text {op}}}$:

${ displaystyle f ^ { text {op}} (a * ^ { text {op}} b) = f (b * a) = f (b) * f (a) = f ^ { text {op }} (a) * ^ { text {op}} f ^ { text {op}} (b).}$

Obsah výše uvedeného prohlášení je:

„Funktor identity ${ displaystyle { text {Id}} _ { textbf {Grp}}: { textbf {Grp}} to { textbf {Grp}}}$ je přirozeně izomorfní s opačným funktorem ${ displaystyle { text {op}}: { textbf {Grp}} to { textbf {Grp}}}$"

Abychom to dokázali, musíme poskytnout izomorfismy ${ displaystyle eta _ {G}: G až G ^ { text {op}}}$ pro každou skupinu ${ displaystyle G}$, takže výše uvedený diagram dojíždí. Soubor ${ displaystyle eta _ {G} (a) = a ^ {- 1}}$Vzorce ${ displaystyle (a * b) ^ {- 1} = b ^ {- 1} * a ^ {- 1} = a ^ {- 1} * ^ { text {op}} b ^ {- 1}}$ a ${ displaystyle (a ^ {- 1}) ^ {- 1} = a}$Ukaž to ${ displaystyle eta _ {G}}$ je skupinový homomorfismus s inverzní funkcí ${ displaystyle eta _ {G ^ { text {op}}}}$. Abychom prokázali přirozenost, začneme skupinovým homomorfismem ${ displaystyle f: G až H}$ a ukázat ${ displaystyle eta _ {H} circ f = f ^ { text {op}} circ eta _ {G}}$, tj. ${ displaystyle (f (a)) ^ {- 1} = f ^ { text {op}} (a ^ {- 1})}$ pro všechny ${ displaystyle a}$ v ${ displaystyle G}$. To je pravda od té doby ${ displaystyle f ^ { text {op}} = f}$ a každá skupina homomorfismus má tu vlastnost ${ displaystyle (f (a)) ^ {- 1} = f (a ^ {- 1})}$.

Abelianizace

Vzhledem ke skupině ${ displaystyle G}$, můžeme definovat jeho abelianizace ${ displaystyle G ^ { text {ab}} = G /}$ ${ displaystyle [G, G]}$. Nechat ${ displaystyle pi _ {G}: G až G ^ { text {ab}}}$ označit projekční mapu na kosety z ${ displaystyle [G, G]}$. Tento homomorfismus je „přirozený ${ displaystyle G}$", tj. definuje přirozenou transformaci, kterou nyní kontrolujeme. Let ${ displaystyle H}$ být skupina. Pro jakýkoli homomorfismus ${ displaystyle f: G až H}$, máme to ${ displaystyle [G, G]}$ je obsažen v jádře ${ displaystyle pi _ {H} circ f}$, protože jakýkoli homomorfismus v abelianské skupině zabije podskupinu komutátorů. Pak ${ displaystyle pi _ {H} circ f}$ faktory ${ displaystyle G ^ { text {ab}}}$ tak jako ${ displaystyle f ^ { text {ab}} circ pi _ {G} = pi _ {H} circ f}$ pro jedinečný homomorfismus ${ displaystyle f ^ { text {ab}}: G ^ { text {ab}} do H ^ { text {ab}}}$. To dělá ${ displaystyle { text {ab}}: { textbf {Grp}} to { textbf {Grp}}}$ funktor a ${ displaystyle pi}$ přirozená transformace, ale ne přirozený izomorfismus, z funktoru identity na ${ displaystyle { text {ab}}}$.

Hurewiczův homomorfismus

Existuje mnoho funktorů a přirozených transformací algebraická topologie, s Hurewiczovy homomorfismy slouží jako příklady. Pro všechny špičatý topologický prostor ${ displaystyle (X, x)}$ a kladné celé číslo ${ displaystyle n}$ existuje a skupinový homomorfismus

${ displaystyle h _ {*} dvojtečka pi _ {n} (X, x) až H_ {n} (X)}$

z ${ displaystyle n}$-th homotopická skupina z ${ displaystyle (X, x)}$ do ${ displaystyle n}$-th homologická skupina z ${ displaystyle X}$. Oba ${ displaystyle pi _ {n}}$ a ${ displaystyle H_ {n}}$ jsou funktory z kategorie Horní^* špičatých topologických prostorů do kategorie Grp skupin a ${ displaystyle h _ {*}}$ je přirozená transformace z ${ displaystyle pi _ {n}}$ na ${ displaystyle H_ {n}}$.

Rozhodující

Dáno komutativní prsteny ${ displaystyle R}$ a ${ displaystyle S}$ s kruhový homomorfismus ${ displaystyle f: R až S}$, příslušné skupiny invertibilní ${ displaystyle n krát n}$ matice ${ displaystyle { text {GL}} _ {n} (R)}$ a ${ displaystyle { text {GL}} _ {n} (S)}$ zdědí homomorfismus, který označujeme ${ displaystyle { text {GL}} _ {n} (f)}$, získané aplikací ${ displaystyle f}$ ke každému záznamu matice. Podobně, ${ displaystyle f}$ omezuje na skupinový homomorfismus ${ displaystyle f ^ {*}: R ^ {*} do S ^ {*}}$, kde ${ displaystyle R ^ {*}}$ označuje skupina jednotek z ${ displaystyle R}$. Ve skutečnosti, ${ displaystyle { text {GL}} _ {n}}$ a ${ displaystyle *}$ jsou funktory z kategorie komutativních kruhů ${ displaystyle { textbf {CRing}}}$ na ${ displaystyle { textbf {Grp}}}$. The určující ve skupině ${ displaystyle { text {GL}} _ {n} (R)}$, označeno ${ displaystyle { text {det}} _ {R}}$, je skupinový homomorfismus

${ displaystyle { mbox {det}} _ {R} dvojtečka { mbox {GL}} _ {n} (R) do R ^ {*}}$

což je přirozené v ${ displaystyle R}$: protože determinant je definován stejným vzorcem pro každý kruh, ${ displaystyle f circ { text {det}} _ {R} = { text {det}} _ {S} circ { text {GL}} _ {n} (f)}$ drží. Díky tomu je determinant přirozenou transformací ${ displaystyle { text {GL}} _ {n}}$ na ${ displaystyle *}$.

Dvojitý duální vektorového prostoru

Li ${ displaystyle K}$ je pole, pak pro každého vektorový prostor ${ displaystyle V}$ přes ${ displaystyle K}$ máme „přirozený“ injekční lineární mapa ${ displaystyle V až V ^ {**}}$ z vektorového prostoru do jeho dvojitý duální. Tyto mapy jsou „přirozené“ v následujícím smyslu: dvojitá duální operace je funktor a mapy jsou součástmi přirozené transformace z funktoru identity na dvojitý duální funktor.

Konečný počet

Pro každou abelianskou skupinu ${ displaystyle G}$, sada ${ displaystyle { text {Hom}} _ { textbf {Set}} ( mathbb {Z}, U (G))}$ funkcí od celých čísel po základní sadu ${ displaystyle G}$ tvoří abelianskou skupinu ${ displaystyle V _ { mathbb {Z}} (G)}$ pod bodovým přidáním. (Tady ${ displaystyle U}$ je standard zapomnětlivý funktor ${ displaystyle U: { textbf {Ab}} do { textbf {Set}}}$.) Vzhledem k ${ displaystyle { textbf {Ab}}}$ morfismus ${ displaystyle varphi: G to G '}$, mapa ${ displaystyle V _ { mathbb {Z}} ( varphi): V _ { mathbb {Z}} (G) až V _ { mathbb {Z}} (G ')}$ dané složením vlevo ${ displaystyle varphi}$ s prvky prvního je sám o sobě homomorfismus abelianských skupin; tímto způsobem získáme funktor ${ displaystyle V _ { mathbb {Z}}: { textbf {Ab}} do { textbf {Ab}}}$. Operátor konečných rozdílů ${ displaystyle Delta _ {G}}$ převzetí každé funkce ${ displaystyle f: mathbb {Z} do U (G)}$ na ${ Displaystyle Delta (f): n mapsto f (n + 1) -f (n)}$ je mapa z ${ displaystyle V _ { mathbb {Z}} (G)}$ pro sebe a sbírku ${ displaystyle Delta}$ takových map dává přirozenou transformaci ${ displaystyle Delta: V _ { mathbb {Z}} až V _ { mathbb {Z}}}$.

Adjunkt Tensor-hom

Zvažte kategorie ${ displaystyle { textbf {Ab}}}$ abelianských skupin a skupinových homomorfismů. Pro všechny abelianské skupiny ${ displaystyle X}$, ${ displaystyle Y}$ a ${ displaystyle Z}$ máme skupinový izomorfismus

${ displaystyle { text {Hom}} (X mnohokrát Y, Z) na { text {Hom}} (X, { text {Hom}} (Y, Z))}$.

Tyto izomorfismy jsou „přirozené“ v tom smyslu, že definují přirozenou transformaci mezi dvěma zúčastněnými funktory ${ displaystyle { textbf {Ab}} ^ { text {op}} times { textbf {Ab}} ^ { text {op}} times { textbf {Ab}} do { textbf { Ab}}}$(Zde je "op" opačná kategorie z ${ displaystyle { textbf {Ab}}}$, nesmí být zaměňována s triviální opačná skupina funktor zapnutý ${ displaystyle { textbf {Ab}}}$ !)

Toto je formálně přídavek tensor-hom, a je archetypálním příkladem dvojice adjunkční funktory. Přirozené transformace vznikají často ve spojení s adjunkčními funktory a adjunktní funktory jsou definovány určitým přirozeným izomorfismem. Kromě toho je každá dvojice adjunkčních funktorů vybavena dvěma přirozenými transformacemi (obecně ne izomorfismy) zvanými jednotka a počítat.

Nepřirozený izomorfismus

Pojem přirozené transformace je kategorický a uvádí (neformálně), že konkrétní mapu mezi funktory lze provádět konzistentně v celé kategorii. Neformálně se určitá mapa (zejména izomorfismus) mezi jednotlivými objekty (nikoli celými kategoriemi) označuje jako „přirozený izomorfismus“, což implicitně znamená, že je ve skutečnosti definována pro celou kategorii, a definuje přirozenou transformaci funktorů; formalizace této intuice byla motivujícím faktorem ve vývoji teorie kategorií. Naopak konkrétní mapu mezi konkrétními objekty lze nazvat an nepřirozený izomorfismus (nebo „tento izomorfismus není přirozený“), pokud mapu nelze rozšířit na přirozenou transformaci celé kategorie. Vzhledem k objektu ${ displaystyle X,}$ funktor ${ displaystyle G}$ (pro jednoduchost je prvním funktorem identita) a izomorfismus ${ displaystyle eta dvojtečka X až G (X),}$ důkaz nepřirozenosti se nejsnadněji projeví automatizováním ${ displaystyle A dvojtečka X až X}$ který nedojíždí s tímto izomorfismem (tak ${ displaystyle eta circ A neq G (A) circ eta}$). Důrazněji, pokud si to někdo přeje dokázat ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle G (X)}$ nejsou přirozeně izomorfní, bez odkazu na konkrétní izomorfismus, to vyžaduje ukázat, že pro žádný izomorfismus ${ displaystyle eta}$, některé jsou ${ displaystyle A}$ se kterou nedojíždí; v některých případech jediný automorfismus ${ displaystyle A}$ funguje pro všechny kandidátské izomorfismy ${ displaystyle eta}$ zatímco v ostatních případech je třeba ukázat, jak postavit jiný ${ displaystyle A _ { eta}}$ pro každý izomorfismus. Mapy kategorie hrají zásadní roli - jakákoli infranaturální transformace je přirozená, pokud jsou například jedinými mapami mapa identity.

To je podobné (ale kategoričtější) s pojmy v teorii skupin nebo teorii modulů, kde daný rozklad objektu na přímý součet je „není přirozený“, nebo spíše „není jedinečný“, protože existují automatorfismy, které nezachovávají přímý souhrnný rozklad - viz Věta o struktuře pro konečně generované moduly přes hlavní ideální doménu § jedinečnost například.

Někteří autoři rozlišují notačně pomocí ${ displaystyle cong}$ za přirozený izomorfismus a ${ displaystyle přibližně}$ pro nepřirozený izomorfismus, rezervování ${ displaystyle =}$ pro rovnost (obvykle rovnost map).

Příklad: základní skupina torusu

Jako příklad rozdílu mezi funktorickým příkazem a jednotlivými objekty zvažte homotopické skupiny produktového prostoru, konkrétně základní skupiny torusu.

The homotopické skupiny prostoru produktu jsou přirozeně produktem homotopy skupin komponent, ${ displaystyle pi _ {n} ((X, x_ {0}) krát (Y, y_ {0})) cong pi _ {n} ((X, x_ {0})) krát pi _ {n} ((Y, y_ {0})),}$ s izomorfismem daným projekcí na dva faktory, zásadně proto, že mapy do produktového prostoru jsou přesně produkty map do komponent - jedná se o funkcionální prohlášení.

Torus (který je abstraktně produktem dvou kruhů) však má základní skupina izomorfní s ${ displaystyle Z ^ {2}}$, ale rozdělení ${ displaystyle pi _ {1} (T, t_ {0}) přibližně mathbf {Z} krát mathbf {Z}}$ není přirozené. Všimněte si použití ${ displaystyle přibližně}$, ${ displaystyle cong}$, a ${ displaystyle =}$:^[A]

${ displaystyle pi _ {1} (T, t_ {0}) přibližně pi _ {1} (S ^ {1}, x_ {0}) krát pi _ {1} (S ^ {1 }, y_ {0}) cong mathbf {Z} times mathbf {Z} = mathbf {Z} ^ {2}.}$

Tento abstraktní izomorfismus s produktem není přirozený, jako některé izomorfismy z ${ displaystyle T}$ nezachovávejte produkt: vlastní homeomorfismus ${ displaystyle T}$ (myšlenka jako kvocientový prostor ${ displaystyle R ^ {2} / mathbb {Z} ^ {2}}$) dána ${ displaystyle left ({ begin {smallmatrix} 1 & 1 0 & 1 end {smallmatrix}} right)}$ (geometricky a Dehn twist o jedné z generujících křivek) funguje jako tato matice ${ displaystyle mathbb {Z} ^ {2}}$ (To je v obecná lineární skupina ${ displaystyle { text {GL}} ( mathbb {Z}, 2)}$ invertible integer matrices), která nezachová rozklad jako produkt, protože není diagonální. Pokud je však dán torus jako produkt ${ displaystyle (T, t_ {0}) = (S ^ {1}, x_ {0}) krát (S ^ {1}, y_ {0})}$ - ekvivalentně, vzhledem k rozkladu prostoru - potom rozdělení skupiny vyplývá z obecného tvrzení dříve. Z kategorického hlediska je relevantní kategorií (zachování struktury produktového prostoru) „mapy produktových prostorů, konkrétně dvojice map mezi příslušnými komponentami“.

Přirozenost je kategorický pojem a vyžaduje, aby bylo velmi přesné přesně určit, jaké údaje jsou uvedeny - torus jako prostor, který se stane produktem (v kategorii prostorů a spojitých map), se liší od torusu prezentovaného jako produkt (v kategorie produktů dvou prostorů a spojitých map mezi příslušnými komponentami).

Příklad: duální konečně-dimenzionálního vektorového prostoru

Každý konečný trojrozměrný vektorový prostor je isomorfní se svým duálním prostorem, ale mezi těmito dvěma prostory může být mnoho různých izomorfismů. Obecně neexistuje žádný přirozený izomorfismus mezi konečným trojrozměrným vektorovým prostorem a jeho duálním prostorem.^[1] Související kategorie (s další strukturou a omezeními na mapách) však mají přirozený izomorfismus, jak je popsáno níže.

Duální prostor konečně-dimenzionálního vektorového prostoru je opět konečně-dimenzionální vektorový prostor stejné dimenze, a ty jsou tedy izomorfní, protože dimenze je jediným invariantem konečně-dimenzionálních vektorových prostorů nad daným polem. Avšak při absenci dalších omezení (jako je požadavek, aby mapy zachovaly zvolený základ) není mapa z prostoru do jeho dvojího ojedinělého charakteru, a proto takový izomorfismus vyžaduje volbu a „není přirozený“. V kategorii konečných trojrozměrných vektorových prostorů a lineárních map lze definovat infranaturální izomorfismus z vektorových prostorů do jejich duálního výběru izomorfismem pro každý prostor (řekněme výběrem základu pro každý vektorový prostor a odpovídajícím izomorfismem) ale to nedefinuje přirozenou transformaci. Intuitivně je to proto, že to vyžadovalo výběr, důsledně proto žádný takový výběr izomorfismů nebude dojíždět například s nulovou mapou; viz (MacLane & Birkhoff 1999, §VI.4) pro podrobnou diskusi.

Počínaje konečnými trojrozměrnými vektorovými prostory (jako objekty) a identitou a duálními funktory lze definovat přirozený izomorfismus, ale to vyžaduje nejprve přidání další struktury a poté omezení map ze „všech lineárních map“ na „lineární mapy, které to respektují struktura". Explicitně, pro každý vektorový prostor, vyžadovat, aby přicházel s daty izomorfismu k jeho duálnímu, ${ displaystyle eta _ {V} dvojtečka V až V ^ {*}}$. Jinými slovy, vezměte jako objekty vektorové prostory s a nedgenerovaná bilineární forma ${ displaystyle b_ {V} dvojtečka V krát V až K}$. To definuje infranaturální izomorfismus (izomorfismus pro každý objekt). Jeden pak omezuje mapy pouze na tyto mapy ${ displaystyle T dvojtečka V až U}$ kteří dojíždějí s izomorfismy: ${ displaystyle T ^ {*} ( eta _ {U} (T (v))) = eta _ {V} (v)}$ nebo jinými slovy zachovat bilineární formu: ${ displaystyle b_ {U} (T (v), T (w)) = b_ {V} (v, w)}$. (Tyto mapy definují naturalizátor Výsledná kategorie s objekty konečných trojrozměrných vektorových prostorů s nedegenerovanou bilineární formou a mapuje lineární transformace, které respektují bilineární formu, konstrukcí má přirozený izomorfismus od identity k duálu (každý prostor má izomorfismus na jeho duální a mapy v kategorii musí dojíždět). Z tohoto pohledu je tato konstrukce (přidání transformací pro každý objekt, omezení map na dojíždění s nimi) zcela obecná a nezávisí na konkrétních vlastnostech vektorových prostorů.

V této kategorii (konečně-dimenzionální vektorové prostory s nedegenerovanou bilineární formou, mapuje lineární transformace, které respektují bilineární formu) lze duální mapu mezi vektorovými prostory identifikovat jako přemístit. Často se to z důvodu geometrického zájmu specializuje na podkategorii tím, že se vyžaduje, aby nedgenerované bilineární formy měly další vlastnosti, například symetrické (ortogonální matice ), symetrické a kladně definitivní (vnitřní produktový prostor ), symetrický sesquilinear (Hermitovské prostory ), šikmo symetrické a zcela izotropní (symplektický vektorový prostor ) atd. - ve všech těchto kategoriích je vektorový prostor přirozeně identifikován s jeho dvojím, nedegenerovanou bilineární formou.

Operace s přirozenými transformacemi

Horizontální a vertikální složení přirozených transformací

Li ${ displaystyle eta: F až G}$ a ${ displaystyle epsilon: G až H}$jsou přirozené transformace mezi funktory ${ displaystyle F, G, H: C až D}$, pak je můžeme sestavit, abychom získali přirozenou transformaci ${ displaystyle epsilon eta: F až H}$. To se děje po částech: ${ displaystyle ( epsilon eta) _ {X} = epsilon _ {X} eta _ {X}}$. Toto „vertikální složení“ přirozené transformace je asociativní a má identitu a umožňuje uvažovat o sběru všech funktorů ${ displaystyle C až D}$ sama jako kategorie (viz níže pod Kategorie funktorů ).

Přirozené transformace mají také „horizontální složení“. Li ${ displaystyle eta: F až G}$ je přirozená transformace mezi funktory ${ displaystyle F, G: C až D}$ a ${ displaystyle epsilon: J až K}$je přirozená transformace mezi funktory ${ displaystyle J, K: D až E}$, potom složení funktorů umožňuje složení přirozených transformací ${ displaystyle epsilon * eta: JF až KG}$Tato operace je také asociativní s identitou a identita se shoduje s identitou vertikální kompozice. Tyto dvě operace souvisí s identitou, která si vyměňuje vertikální kompozici s horizontální kompozicí.

Li ${ displaystyle eta: F až G}$ je přirozená transformace mezi funktory ${ displaystyle F, G: C až D}$, a ${ displaystyle H: D až E}$ je další funktor, pak můžeme vytvořit přirozenou transformaci ${ displaystyle H ( eta): HF až HG}$ definováním

${ displaystyle (H eta) _ {X} = H eta _ {X}.}$

Pokud na druhou stranu ${ displaystyle K: B až C}$ je funktor, přirozená transformace ${ displaystyle eta K: FK až GK}$ je definováno

${ displaystyle ( eta K) _ {X} = eta _ {K (X)}.}$

Kategorie funktorů

Li ${ displaystyle C}$ je libovolná kategorie a ${ displaystyle I}$ je malá kategorie, můžeme vytvořit kategorie funktorů ${ displaystyle C ^ {I}}$ mít jako objekty všechny funktory z ${ displaystyle I}$ na ${ displaystyle C}$ a jako morfismy přirozené transformace mezi těmito funktory. Toto tvoří kategorii, protože pro každého funktora ${ displaystyle F}$ existuje přirozená transformace identity ${ displaystyle 1_ {F}: F až F}$ (který se přiřadí každému objektu ${ displaystyle X}$ morfismus identity ${ displaystyle F (X)}$) a složení dvou přirozených transformací (výše uvedená „vertikální kompozice“) je opět přirozenou transformací.

The izomorfismy v ${ displaystyle C ^ {I}}$ jsou přesně přírodní izomorfismy. To znamená přirozenou transformaci ${ displaystyle eta: F až G}$ je přirozený izomorfismus právě tehdy, když existuje přirozená transformace ${ displaystyle epsilon: G až F}$ takhle ${ displaystyle eta epsilon = 1_ {G}}$ a ${ displaystyle epsilon eta = 1_ {F}}$.

Kategorie funktorů ${ displaystyle C ^ {I}}$ je zvláště užitečné, pokud ${ displaystyle I}$ vychází z a řízený graf. Například pokud ${ displaystyle I}$ je kategorie orientovaného grafu • → •, pak ${ displaystyle C ^ {I}}$ má jako objekty morfismy ${ displaystyle C}$a morfismus mezi ${ displaystyle phi: U až V}$ a ${ displaystyle psi: X až Y}$ v ${ displaystyle C ^ {I}}$ je dvojice morfismů ${ displaystyle f: U až X}$ a ${ displaystyle g: V až Y}$ v ${ displaystyle C}$ takové, že „náměstí dojíždí“, tj. ${ displaystyle psi circ f = g circ phi}$.

Obecněji lze postavit 2-kategorie ${ displaystyle { textbf {kočka}}}$ jehož

• 0-buňky (objekty) jsou malé kategorie,
• 1-buňky (šipky) mezi dvěma objekty ${ displaystyle C}$ a ${ displaystyle D}$ jsou funktory z ${ displaystyle C}$ na ${ displaystyle D}$,
• 2 články mezi dvěma 1 články (funktory) ${ displaystyle F: C až D}$ a ${ displaystyle G: C až D}$ jsou přirozené transformace z ${ displaystyle F}$ na ${ displaystyle G}$.

Horizontální a vertikální kompozice jsou kompozice mezi přirozenými transformacemi popsanými výše. Kategorie funktorů ${ displaystyle C ^ {I}}$ je pak jednoduše hom-kategorie v této kategorii (kromě malých problémů stranou).

Další příklady

Každý omezit a colimit poskytuje příklad pro jednoduchou přirozenou transformaci, protože a kužel představuje přirozenou transformaci s diagonální funktor jako doména. Pokud jsou limity a kolimity definovány přímo z hlediska jejich univerzální vlastnictví, jsou to univerzální morfismy v kategorii funktorů.

Yoneda lemma

Li ${ displaystyle X}$ je předmětem a místně malá kategorie ${ displaystyle C}$, pak zadání ${ displaystyle Y mapsto { text {Hom}} _ {C} (X, Y)}$ definuje kovariantní funktor ${ displaystyle F_ {X}: C až { textbf {Set}}}$. Tento funktor se nazývá reprezentativní (obecněji reprezentovatelný funktor je jakýkoli funktor přirozeně izomorfní s tímto funktorem pro vhodnou volbu ${ displaystyle X}$). Přirozené transformace z reprezentovatelného funktoru na libovolný funktor ${ displaystyle F: C až { textbf {Set}}}$ jsou zcela známé a snadno popsatelné; toto je obsah Yoneda lemma.

Historické poznámky

Saunders Mac Lane, jeden ze zakladatelů teorie kategorií, prý poznamenal: „Nevynalezl jsem kategorie ke studiu funktorů; vymyslel jsem je ke studiu přirozených transformací.“^[2] Stejně jako studium skupiny není kompletní bez studie o homomorfismy, takže studium kategorií není úplné bez studia funktory. Důvodem komentáře Mac Lane je, že studium funktorů samo o sobě není úplné bez studia přirozených transformací.

Kontext poznámky Mac Lane byl axiomatická teorie homologie. Lze prokázat, že se shodují různé způsoby konstrukce homologie: například v případě a zjednodušený komplex skupiny definované přímo by byly izomorfní se skupinami singulární teorie. Bez jazyka přirozených transformací nelze snadno vyjádřit to, jak jsou skupiny homologie kompatibilní s morfismem mezi objekty a jak dvě rovnocenné teorie homologie mají nejen stejné skupiny homologie, ale také stejné morfismy mezi těmito skupinami.

Viz také

• Mimopřirozená transformace
• Univerzální vlastnictví
• Teorie vyšších kategorií

Poznámky

Reference

externí odkazy

• nLab, wiki projekt o matematice, fyzice a filozofii s důrazem na n-kategorické hledisko
• André Joyal, CatLab, wiki projekt věnovaný expozici kategorické matematiky
• Hillman, Chris. "Kategorický základ". CiteSeerX  10.1.1.24.3264: Chybějící nebo prázdný | url = (Pomoc) formální úvod do teorie kategorií.
• J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, Abstrakt a konkrétní kategorie - Radost koček
• Stanfordská encyklopedie filozofie: "Teorie kategorie „- Jean-Pierre Markýz. Rozsáhlá bibliografie.
• Seznam akademických konferencí o teorii kategorií
• Baez, John, 1996, "Příběh n-Kategorie. „Neformální úvod do vyšších kategorií.
• Divoké kočky je balíček teorie kategorií pro Mathematica. Manipulace a vizualizace objektů, morfismy, Kategorie, funktory, přirozené transformace, univerzální vlastnosti.
• Catsters, kanál YouTube o teorii kategorií.
• „Kategorie teorie“. PlanetMath.
• Video archiv zaznamenaných přednášek týkajících se kategorií, logiky a základů fyziky.
• Interaktivní webová stránka který generuje příklady kategoriálních konstrukcí v kategorii konečných množin.