Postupně kompaktní prostor - Sequentially compact space - Wikipedia

v matematika, a topologický prostor X je postupně kompaktní pokud každý sekvence bodů v X má konvergentní subsekvence konvergující k bodu v X.

Každý metrický prostor je přirozeně topologický prostor a pro metrické prostory pojmy kompaktnost a sekvenční kompaktnost jsou ekvivalentní (pokud se předpokládá spočítatelná volba ). Existují však postupně kompaktní topologické prostory, které nejsou kompaktní, a kompaktní topologické prostory, které nejsou sekvenčně kompaktní.

Příklady a vlastnosti

Prostor všech reálná čísla s standardní topologie není postupně kompaktní; sekvence (sn) dána sn = n pro všechny přirozená čísla n je sekvence, která nemá konvergentní subsekvenci.

Pokud je mezera a metrický prostor, pak je postupně kompaktní, právě když je kompaktní.[1] The první nespočetné pořadové číslo s topologie objednávky je příkladem postupně kompaktního topologického prostoru, který není kompaktní. The produkt z kopie uzavřený jednotkový interval je příklad kompaktního prostoru, který není postupně kompaktní.[2]

Související pojmy

Topologický prostor X se říká, že je kompaktní mezní bod pokud každá nekonečná podmnožina X má mezní bod v X, a počítatelně kompaktní pokud je to spočítatelné otevřete kryt má konečný dílčí úkryt metrický prostor, pojmy sekvenční kompaktnosti, kompaktnosti mezních bodů, spočetné kompaktnosti a kompaktnost jsou všechny rovnocenné (pokud předpokládáme axiom volby ).

V sekvenční (Hausdorffův) prostor sekvenční kompaktnost je ekvivalentní spočítatelné kompaktnosti.[3]

Existuje také představa o jednobodovém sekvenčním zhutňování - myšlenka je, že všechny nekonvergentní sekvence by se měly všechny sbíhat do bodu navíc.[4]

Viz také

Poznámky

  1. ^ Willard, 17G, str. 125.
  2. ^ Steen a Seebach, příklad 105, str. 125—126.
  3. ^ Engelking, obecná topologie, věta 3.10.31
    K.P. Hart, Jun-iti Nagata, J.E.Vaughan (redaktoři), Encyklopedie obecné topologie, kapitola d3 (P. Simon)
  4. ^ Brown, Ronald, „Postupně správné mapy a postupná komprimace“, J. London Math Soc. (2) 7 (1973) 515-522.

Reference

  • Munkres, James (1999). Topologie (2. vyd.). Prentice Hall. ISBN  0-13-181629-2.
  • Steen, Lynn A. a Seebach, J. Arthur Jr.; Protiklady v topologii, Holt, Rinehart a Winston (1970). ISBN  0-03-079485-4.
  • Willard, Stephen (2004). Obecná topologie. Dover Publications. ISBN  0-486-43479-6.