Bergmanovo jádro - Bergman kernel - Wikipedia

V matematický studie několik složitých proměnných, Bergmanovo jádro, pojmenoval podle Stefan Bergman, je reprodukční jádro pro Hilbertův prostor ze všech čtvercový integrovatelný holomorfní funkce v doméně D vCⁿ.

Podrobně, pojďme L²(D) být Hilbertovým prostorem čtvercových integrovatelných funkcí Da nechte L^2,h(D) označuje podprostor skládající se z holomorfních funkcí v D: to znamená,

{ displaystyle L ^ {2, h} (D) = L ^ {2} (D) čepice H (D)}

kde H(D) je prostor holomorfních funkcí v D. Pak L^2,h(D) je Hilbertův prostor: je to Zavřeno lineární podprostor L²(D), a proto kompletní v jeho právu. To vyplývá ze základního odhadu, že pro holomorfní funkci čtverce integrovatelnou ƒ v D

{ displaystyle sup _ {z v K} | f (z) | leq C_ {K} | f | _ {L ^ {2} (D)}}

(1)

pro každého kompaktní podmnožina K. z D. Konvergence sekvence holomorfních funkcí v L²(D) znamená také kompaktní konvergence, a tak je limitní funkce také holomorfní.

Dalším důsledkem (1) je, že pro každého z ∈ D, hodnocení

{ displaystyle operatorname {ev} _ {z}: f mapsto f (z)}

je spojité lineární funkční na L^2,h(D). Podle Rieszova věta o reprezentaci, tato funkce může být reprezentována jako vnitřní produkt s prvkem L^2,h(D), což znamená, že

{ displaystyle operatorname {ev} _ {z} f = int _ {D} f ( zeta) { overline { eta _ {z} ( zeta)}} , d mu ( zeta) .}

Bergmanovo jádro K. je definováno

{ displaystyle K (z, zeta) = { overline { eta _ {z} ( zeta)}}.}

Jádro K.(z, ζ) je holomorfní z a antiholomorfní v ζ a vyhovuje

{ displaystyle f (z) = int _ {D} K (z, zeta) f ( zeta) , d mu ( zeta).}

Jedním z klíčových postřehů tohoto obrázku je to L^2,h(D) lze identifikovat s prostorem ${ displaystyle L ^ {2}}$ holomorfní (n, 0) -formy na D, vynásobením ${ displaystyle dz ^ {1} klín cdots klín dz ^ {n}}$ . Protože ${ displaystyle L ^ {2}}$ vnitřní produkt v tomto prostoru je zjevně neměnný za biholomorfismů D, Bergmanova jádra a souvisejících Bergmanova metrika jsou tedy automaticky neměnné ve skupině automorfismu domény.

Viz také

Reference

Krantz, Steven G. (2002), Teorie funkcí několika komplexních proměnných„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN 978-0-8218-2724-6.
Chirka, E.M. (2001) [1994], "Funkce jádra Bergman", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS.