Základní věta o Hilbertových prostorech - Fundamental theorem of Hilbert spaces

V matematice, konkrétně v funkční analýza a Hilbertův prostor teorie Základní věta o Hilbertových prostorech dává nutně a dostatečnou podmínku pro a Hausdorff předhilbertský prostor být Hilbertovým prostorem, pokud jde o kanonickou izometrii předhilbertovského prostoru do jeho anti-dual.

Předkola

Antilineární funkcionáři a anti-dualita

Předpokládejme to $H$ je topologický vektorový prostor (TVS). Funkce $F : H \to ℂ$ je nazýván semilineární nebo antilineární^[1] pokud pro všechny $X, y \in H$ a všechny skaláry $C$ ,

Přísada: $F (X + y) = F (X) + F (y)$ ;
Konjugát homogenní: $F (C X) = C F (X)$ .

Vektorový prostor všech spojitých antilineárních funkcí $H$ se nazývá anti-duální prostor nebo komplexní konjugovaný duální prostor z $H$ a je označen ${ displaystyle { overline {H}} ^ { prime}}$ (na rozdíl od toho nepřetržitý duální prostor $H$ je označen ${ displaystyle H ^ { prime}}$ ), z kterého děláme a normovaný prostor tím, že ji obdržela kanonickou normou (definovanou stejným způsobem jako kanonická norma na nepřetržitý duální prostor z $H$ ).^[1]

Pre-Hilbertovy prostory a sesquilineární formy

A sesquilineární forma je mapa $B : H \times H \to ℂ$ takové, že pro všechny $y \in H$ , mapa definovaná $X \mapsto B (X, y)$ je lineární a pro všechny $X \in H$ , mapa definovaná $y \mapsto B (X, y)$ je antilineární.^[1] Všimněte si, že v Fyzika, konvence je že sesquilinear forma je lineární v jeho druhý souřadnice a antilineární ve své první souřadnice.

Sezquilineární forma na $H$ je nazýván pozitivní určitý -li $B (X, X) > 0$ pro všechny non-0 $X \in H$ ; to se nazývá nezáporné -li $B (X, X) \geq 0$ pro všechny $X \in H$ .^[1] Sesquilineární forma $B$ na $H$ se nazývá a Poustevnická forma pokud navíc má vlastnost, že ${ displaystyle B (x, y) = { overline {B (y, x)}}}$ pro všechny $X, y \in H$ .^[1]

Pre-Hilbertovy a Hilbertovy prostory

A předhilbertský prostor je dvojice skládající se z vektorového prostoru $H$ a nezápornou seskvilineární formu $B$ na $H$ ; pokud navíc tato sesquilineární forma $B$ je tedy pozitivní definice $(H, B)$ se nazývá a Hausdorffův předhilbertský prostor.^[1] Li $B$ je nezáporný, pak vyvolá kanonický seminář na $H$ , označeno ${ displaystyle | cdot |}$ , definován $X \mapsto B (X, X) 1/2$ , kde pokud $B$ je také kladně definitivní, pak je tato mapa a norma.^[1] Tato kanonická polonorma dělá z každého předhilbertského prostoru a seminární prostor a každý Hausdorffův předhilbertský prostor do a normovaný prostor. Sesquilineární forma $B : H \times H \to ℂ$ je samostatně rovnoměrně spojitá v každém ze svých dvou argumentů, a proto ji lze rozšířit na samostatně spojitou seskvilineární formu na dokončení z $H$ ; -li $H$ je Hausdorff pak je toto dokončení a Hilbertův prostor.^[1] Hausdorffův pre-Hilbertův prostor, který je kompletní se nazývá a Hilbertův prostor.

Kanonická mapa do anti-dual

Předpokládat $(H, B)$ je prostor před Hilbertem. Li $h \in H$ , definujeme kanonické mapy:

B (h, •) : H \to ℂ

kde

y \mapsto B (h, y)

, a

B (•, h) : H \to ℂ

kde

X \mapsto B (X, h)

The kanonická mapa^[1] z $H$ do svého anti-dualu ${ displaystyle { overline {H}} ^ { prime}}$ je mapa

{ displaystyle H to { overline {H}} ^ { prime}}

definován

X \mapsto B (X, •)

.

Li $(H, B)$ je předhilbertovým prostorem, pak je tato kanonická mapa lineární a spojitá; tato mapa je izometrie na vektorový podprostor anti-duální právě tehdy $(H, B)$ je Hausdorff pre-Hilbert.^[1]

Samozřejmostí je kanonická antilineární surjektivní izometrie ${ displaystyle H ^ { prime} na { overline {H}} ^ { prime}}$ který posílá spojitou lineární funkci $F$ na $H$ na spojitou antilineární funkci označenou $F$ a definováno $X \mapsto F (X)$ .

Základní věta

Základní věta o Hilbertových prostorech:^[1] Předpokládejme to

(H, B)

je Hausdorff předhilbertský prostor kde

B : H \times H \to ℂ

je sesquilineární forma to je lineární ve své první souřadnici a antilineární ve své druhé souřadnici. Potom kanonické lineární mapování z

H

do anti-duální prostor z

H

je surjektivní kdyby a jen kdyby

(H, B)

je Hilbertův prostor, v takovém případě je kanonická mapa surjektivem izometrie z

H

na jeho anti-dual.

Viz také

Reference

^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ ^j ^k Trèves 2006, str. 112-123.

Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologické vektorové prostory. Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologické vektorové prostory. GTM. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: Springer New York Otisk Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Trèves, François (2006) [1967]. Topologické vektorové prostory, distribuce a jádra. Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.

[FOOTNOTETrèves2006112-123-1] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ ^j ^k Trèves 2006, str. 112-123.

[1]

Funkční analýza (témat – glosář )
Prostory	Hilbertův prostor Banachův prostor Fréchetový prostor topologický vektorový prostor
Věty	Hahnova – Banachova věta věta o uzavřeném grafu jednotný princip omezenosti Kakutaniho věta o pevném bodě Kerin – Milmanova věta věta o min-max Věta Gelfand – Naimark Banach – Alaogluova věta
Operátoři	ohraničený operátor kompaktní operátor operátor adjoint nečleněný operátor Operátor Hilbert – Schmidt stopová třída neomezený operátor
Algebry	Banachova algebra C * -algebra spektrum C * -algebry operátorová algebra skupinová algebra lokálně kompaktní skupiny von Neumannova algebra
Otevřené problémy	invariantní podprostorový problém Mahlerova domněnka
Aplikace	Besovský prostor Hardy prostor spektrální teorie obyčejných diferenciálních rovnic tepelné jádro věta o indexu variační počet funkční kalkul integrální operátor Jonesův polynom topologická kvantová teorie pole nekomutativní geometrie Riemannova hypotéza
Pokročilá témata	lokálně konvexní prostor aproximační vlastnost vyvážená sada Schwartzův prostor slabá topologie sudový prostor Vzdálenost Banach – Mazur Teorie Tomita – Takesaki