Neměnný problém podprostoru - Invariant subspace problem

Vektor

{ displaystyle x}

je vlastní vektor matice

{ displaystyle A}

. Každý operátor v netriviálním komplexním konečném dimenzionálním vektorovém prostoru má vlastní vektor, který řeší invariantní problém podprostoru pro tyto prostory.

V oblasti matematika známý jako funkční analýza, invariantní podprostorový problém je částečně nevyřešený problém s otázkou, zda každý ohraničený operátor v komplexu Banachův prostor pošle nějaké netriviální Zavřeno podprostor pro sebe. Mnoho variant problému bylo vyřešeno omezením třídy uvažovaných omezených operátorů nebo zadáním konkrétní třídy Banachových prostorů. Problém stále přetrvává otevřeno pro oddělitelné Hilbertovy prostory (jinými slovy, všechny nalezené příklady operátorů bez netriviálních invariantních podprostorů působí na Banachovy prostory, které nejsou oddělitelnými Hilbertovými prostory).

Dějiny

Zdá se, že problém byl uveden v polovině 20. století po práci Beurling a von Neumann,^[1] který našel (ale nikdy nepublikoval) pozitivní řešení pro případ kompaktní operátory. To bylo poté představováno Paul Halmos pro případ operátorů ${ displaystyle T}$ takhle ${ displaystyle T ^ {2}}$ je kompaktní. To bylo vyřešeno kladně pro obecnější třídu polynomiálně kompaktních operátorů (operátory ${ displaystyle T}$ takhle ${ displaystyle p (T)}$ je kompaktní operátor pro vhodně zvolený nenulový polynom ${ displaystyle p}$ ) tím, že Allen R. Bernstein a Abraham Robinson v roce 1966 (viz Nestandardní analýza § Invariantní problém podprostoru shrnutí důkazu).

Pro Banachovy prostory, první příklad operátoru bez neměnného podprostoru byl sestaven pomocí Per Enflo. Navrhl protiklad k invariantnímu podprostorovému problému v roce 1975, publikování osnovy v roce 1976. Enflo předložil celý článek v roce 1981 a složitost a délka článku oddálila jeho vydání do roku 1987^[2] Enfloův dlouhý „rukopis měl celosvětový oběh mezi matematiky“^[1] a některé z jeho myšlenek byly popsány v publikacích kromě Enflo (1976).^[3] Enfloova díla inspirovala podobnou konstrukci operátora bez neměnného podprostoru, například Beauzamy, který uznal Enflovy nápady.^[2]

V 90. letech 20. století vyvinula společnost Enflo „konstruktivní“ přístup k invariantnímu problému podprostoru v Hilbertových prostorech.^[4]

Přesné prohlášení

Formálně invariantní podprostorový problém pro komplex Banachův prostor ${ displaystyle H}$ z dimenze > 1 je otázka, zda každý ohraničený lineární operátor ${ displaystyle T: H až H}$ má netriviální Zavřeno ${ displaystyle T}$ -invariantní podprostor: uzavřený lineární podprostor ${ displaystyle W}$ z ${ displaystyle H}$ , který se liší od ${ displaystyle {0 }}$ a od ${ displaystyle H}$ , takový, že ${ displaystyle T (W) podmnožina W}$ .

Negativní odpověď na problém úzce souvisí s vlastnostmi oběžné dráhy ${ displaystyle T}$ . Li ${ displaystyle x}$ je prvkem Banachova prostoru ${ displaystyle H}$ , oběžná dráha ${ displaystyle x}$ v rámci akce ${ displaystyle T}$ , označeno ${ displaystyle [x]}$ , je podprostor generovaný sekvencí ${ displaystyle {T ^ {n} (x) ,: , n geq 0 }}$ . Tomu se také říká ${ displaystyle T}$ -cyklický podprostor generováno uživatelem ${ displaystyle x}$ . Z definice vyplývá, že ${ displaystyle [x]}$ je ${ displaystyle T}$ -invariantní podprostor. Navíc je to minimální ${ displaystyle T}$ -invariantní podprostor obsahující ${ displaystyle x}$ : pokud ${ displaystyle W}$ je další neměnný podprostor obsahující ${ displaystyle x}$ , pak nutně ${ displaystyle T ^ {n} (x) ve W}$ pro všechny ${ displaystyle n geq 0}$ (od té doby ${ displaystyle W}$ je ${ displaystyle T}$ -invariant), a tak ${ displaystyle [x] podmnožina W}$ . Li ${ displaystyle x}$ je tedy nenulová ${ displaystyle [x]}$ se nerovná ${ displaystyle {0 }}$ , takže jeho uzavření je buď celý prostor ${ displaystyle H}$ (v jakém případě ${ displaystyle x}$ se říká, že je cyklický vektor pro ${ displaystyle T}$ ) nebo je to netriviální ${ displaystyle T}$ -invariantní podprostor. Proto by protikladem invariantního problému podprostoru byl Banachův prostor ${ displaystyle H}$ a omezený operátor ${ displaystyle T: H až H}$ pro které každý nenulový vektor ${ displaystyle x v H}$ je cyklický vektor pro ${ displaystyle T}$ . (Kde „cyklický vektor“ ${ displaystyle x}$ pro operátora ${ displaystyle T}$ na Banachově prostoru ${ displaystyle H}$ znamená ten, pro který je oběžná dráha ${ displaystyle [x]}$ z ${ displaystyle x}$ je hustá v ${ displaystyle H}$ .)

Známé zvláštní případy

Zatímco případ problému s invariantním podprostorem pro oddělitelné Hilbertovy prostory je stále otevřený, bylo vyřešeno několik dalších případů pro topologické vektorové prostory (přes pole komplexních čísel):

U konečných trojrozměrných komplexních vektorových prostorů dimenzí větších než dva každý operátor připustí vlastní vektor, takže má jednorozměrný invariantní podprostor.
Domněnka je pravdivá, pokud Hilbertův prostor ${ displaystyle H}$ není oddělitelný (tj. pokud má nespočet ortonormální základ ). Ve skutečnosti, pokud ${ displaystyle x}$ je nenulový vektor v ${ displaystyle H}$ , normální uzavření lineární dráhy ${ displaystyle [x]}$ je oddělitelný (konstrukcí), a tedy vlastní podprostor a také invariantní.
ukázal von Neumann^[5] že jakýkoli kompaktní operátor na Hilbertově prostoru dimenze alespoň 2 má netriviální invariantní podprostor.
The spektrální věta ukazuje, že vše normální operátoři připustit neměnné podprostory.
Aronszajn & Smith (1954) dokázal, že každý kompaktní operátor na jakémkoli Banachově prostoru dimenze má alespoň 2 neměnný podprostor.
Bernstein a Robinson (1966) prokázáno použití nestandardní analýza že pokud operátor ${ displaystyle T}$ na Hilbertově prostoru je polynomiálně kompaktní (jinými slovy ${ displaystyle p (T)}$ je kompaktní pro nějaký nenulový polynom ${ displaystyle p}$ ) pak ${ displaystyle T}$ má neměnný podprostor. Jejich důkaz využívá původní myšlenku zabudování nekonečně dimenzionálního Hilbertova prostoru do a hyperfinitní -dimenzionální Hilbertův prostor (viz Nestandardní analýza # Invariantní problém podprostoru ).
Halmos (1966) poté, co viděl Robinsonův předtisk, z něj odstranil nestandardní analýzu a poskytl kratší důkaz ve stejném čísle stejného časopisu.
Lomonosov (1973) poskytl velmi krátký důkaz pomocí Schauderova věta o pevném bodě že pokud operátor ${ displaystyle T}$ na Banachově prostoru pak dojíždí s nenulovým kompaktním operátorem ${ displaystyle T}$ má netriviální invariantní podprostor. To zahrnuje případ polynomiálně kompaktních operátorů, protože operátor dojíždí s libovolným polynomem sám o sobě. Obecněji ukázal, že pokud ${ displaystyle S}$ dojíždí s nekalárním operátorem ${ displaystyle T}$ který dojíždí s nenulovým kompaktním operátorem ${ displaystyle S}$ má neměnný podprostor.^[6]
První příklad operátora na Banachově prostoru bez netriviálních invariantních podprostorů našel Per Enflo (1976, 1987 ) a jeho příklad zjednodušil Beauzamy (1985).
První protipříklad „klasického“ Banachova prostoru našel Charles Read (1984, 1985 ), který popsal operátora v klasickém Banachově prostoru ${ displaystyle l_ {1}}$ bez invariantních podprostorů.
Později Charles Read (1988 ) zkonstruoval operátor na ${ displaystyle l_ {1}}$ dokonce bez netriviálního uzavřeného invariantu podmnožina, to je pro každý vektor ${ displaystyle x}$ the soubor ${ displaystyle {T ^ {n} (x) ,: , n geq 0 }}$ je hustý, v takovém případě se vektor nazývá hypercyklický (rozdíl v případě cyklických vektorů spočívá v tom, že nebereme podprostor generovaný body ${ displaystyle {T ^ {n} (x) ,: , n geq 0 }}$ v tomto případě).
Atzmon (1983) uvedl příklad operátoru bez neměnných podprostorů na a jaderný Fréchetový prostor.
Śliwa (2008) dokázal, že jakýkoli nekonečný dimenzionální Banachův prostor spočetného typu nad ne-Archimédovým polem připouští ohraničený lineární operátor bez netriviálního uzavřeného invariantního podprostoru. Tím se zcela vyřeší nearchimédská verze tohoto problému, kterou představili van Rooij a Shikhof v roce 1992.
Argyros & Haydon (2009) dal konstrukci nekonečně rozměrného Banachova prostoru tak, že každý spojitý operátor je součtem kompaktního operátoru a skalárního operátoru, takže zejména každý operátor má invariantní podprostor.

Poznámky

^ ^A ^b Yadav (2005), str. 292.
^ ^A ^b Beauzamy (1988); Yadav (2005).
^ Viz například Radjavi & Rosenthal (1982).
^ Stránka 401 v Foias, Ciprian; Jung, Il Bong; Ko, Eungil; Pearcy, Carl (2005). „Na kvazinilentní operátory. III“. Časopis teorie operátorů. 54 (2): 401–414.. Metodu Enflo („vpřed“) „minimálních vektorů“ zmiňuje také recenze tohoto výzkumného článku Gillese Cassiera v Matematické recenze: PAN2186363
^ Von Neumannův důkaz nebyl nikdy publikován, jak byl předán v soukromé komunikaci autorům Aronszajn & Smith (1954). Verze tohoto důkazu, kterou nezávisle objevil Aronszajn, je uvedena na konci tohoto článku.
^ Vidět Pearcy a štíty (1974) pro kontrolu.

Reference

Abramovich, Yuri A .; Aliprantis, Charalambos D. (2002), Pozvánka na teorii operátora, Postgraduální studium matematiky, 50, Providence, RI: American Mathematical Society, doi:10,1090 / gsm / 050, ISBN 978-0-8218-2146-6, PAN 1921782
Argyros, Spiros A .; Haydon, Richard G. (2011), „Dědičně nerozložitelný L_∞-prostor, který řeší problém skalární plus kompaktní ", Acta Math., 206 (1): 1–54, arXiv:0903.3921, doi:10.1007 / s11511-011-0058-r, PAN 2784662
Aronszajn, N.; Smith, K. T. (1954), „Invariantní podprostory zcela spojitých operátorů“, Annals of Mathematics, Druhá série, 60 (2): 345–350, doi:10.2307/1969637, JSTOR 1969637, PAN 0065807
Atzmon, Aharon (1983), „Operátor bez neměnných podprostorů v jaderném prostoru Fréchet“, Annals of Mathematics, Druhá série, 117 (3): 669–694, doi:10.2307/2007039, JSTOR 2007039, PAN 0701260
Beauzamy, Bernard (1985), „Un opérateur sans sous-espace invariant: simplification de l'exemple de P. Enflo“ [Operátor bez invariantního podprostoru: zjednodušení příkladu P. Enflo], Integrální rovnice a teorie operátora (francouzsky), 8 (3): 314–384, doi:10.1007 / BF01202903, PAN 0792905
Beauzamy, Bernard (1988), Úvod do teorie operátorů a invariantních podprostorůMatematická knihovna v Severním Holandsku, 42, Amsterdam: Severní Holandsko, ISBN 978-0-444-70521-1, PAN 0967989
Bernstein, Allen R .; Robinson, Abraham (1966), „Řešení invariantního podprostorového problému K. T. Smitha a P. R. Halmosa“, Pacific Journal of Mathematics, 16 (3): 421–431, doi:10.2140 / pjm.1966.16.421, PAN 0193504
Enflo, Per (1976), „K problému invariantního podprostoru v Banachových prostorech“, Séminaire Maurey - Schwartz (1975-1976) Espaces L^p, aplikace radonifiantes et géométrie des espaces de Banach, Exp. Č. 14-15, Center Math., École Polytech., Palaiseau, s. 7, PAN 0473871
Enflo, Per (1987), „K problému invariantního podprostoru pro Banachovy prostory“, Acta Mathematica, 158 (3): 213–313, doi:10.1007 / BF02392260, PAN 0892591
Enflo, Per; Lomonosov, Victor (2001), „Některé aspekty problému invariantního podprostoru“, Příručka geometrie Banachových prostorů, Já, Amsterdam: Severní Holandsko, str. 533–559, doi:10.1016 / S1874-5849 (01) 80015-2, ISBN 9780444828422, PAN 1863701
Halmos, Paul R. (1966), "Invariantní podprostory polynomiálně kompaktních operátorů", Pacific Journal of Mathematics, 16 (3): 433–437, doi:10,2140 / pjm.1966.16.433, PAN 0193505
Lomonosov, V. I. (1973), „Invariantní podprostory rodiny operátorů, kteří dojíždějí se zcela kontinuálním operátorem“, Akademija Nauk SSSR. Funkcional 'Nyi Analiz I Ego Prilozenija, 7 (3): 55–56, doi:10.1007 / BF01080698, PAN 0420305
Pearcy, Carl; Shields, Allen L. (1974), „Průzkum Lomonosovovy techniky v teorii invariantních podprostorů“, C. Pearcy (ed.), Témata teorie operátorů„Mathematical Surveys, Providence, R.I .: American Mathematical Society, s. 219–229, PAN 0355639
Přečtěte si, C. J. (1984), „Řešení invariantního podprostorového problému“, Bulletin of London Mathematical Society, 16 (4): 337–401, doi:10.1112 / blms / 16.4.337, PAN 0749447
Přečtěte si, C. J. (1985), „Řešení invariantního problému podprostoru v prostoru l₁", Bulletin of London Mathematical Society, 17 (4): 305–317, doi:10.1112 / blms / 17.4.305, PAN 0806634
Přečtěte si, C. J. (1988), "Invariantní podprostorový problém pro třídu Banachových prostorů, 2: hypercyklické operátory", Israel Journal of Mathematics, 63 (1): 1–40, doi:10.1007 / BF02765019, PAN 0959046
Radjavi, Heydar; Rosenthal, Peter (1982), „Neměnný problém s podprostorem“, Matematický zpravodaj, 4 (1): 33–37, doi:10.1007 / BF03022994, PAN 0678734
Radjavi, Heydar; Rosenthal, Peter (2003), Neměnné podprostory (Druhé vydání), Mineola, NY: Dover, ISBN 978-0-486-42822-2, PAN 2003221
Radjavi, Heydar; Rosenthal, Peter (2000), Současná triangularizace, Universitext, New York: Springer-Verlag, str. Xii + 318, doi:10.1007/978-1-4612-1200-3, ISBN 978-0-387-98467-4, PAN 1736065
Śliwa, Wiesław (2008), „Invariantní problém podprostoru pro non-archimédovské Banachovy prostory“ (PDF), Kanadský matematický bulletin, 51 (4): 604–617, doi:10.4153 / CMB-2008-060-9, PAN 2462465
Yadav, B. S. (2005), „Současný stav a dědictví problému neměnného podprostoru“, Milan Journal of Mathematics, 73 (1): 289–316, doi:10.1007 / s00032-005-0048-7, PAN 2175046

[Yadav,_page_292-1] A ^b Yadav (2005), str. 292.

[Beauzamy_1988;_Yadav-2] A ^b Beauzamy (1988); Yadav (2005).

[3] Viz například Radjavi & Rosenthal (1982).

[4] Stránka 401 v Foias, Ciprian; Jung, Il Bong; Ko, Eungil; Pearcy, Carl (2005). „Na kvazinilentní operátory. III“. Časopis teorie operátorů. 54 (2): 401–414.. Metodu Enflo („vpřed“) „minimálních vektorů“ zmiňuje také recenze tohoto výzkumného článku Gillese Cassiera v Matematické recenze: PAN2186363

[5] Von Neumannův důkaz nebyl nikdy publikován, jak byl předán v soukromé komunikaci autorům Aronszajn & Smith (1954). Verze tohoto důkazu, kterou nezávisle objevil Aronszajn, je uvedena na konci tohoto článku.

[6] Vidět Pearcy a štíty (1974) pro kontrolu.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]