Věta o uzavřeném grafu - Closed graph theorem - Wikipedia

Tento článek je o uzavřených větách grafů v obecná topologie. Pro teorém uzavřeného grafu v funkční analýza viz Věta o uzavřeném grafu (funkční analýza).
Kubická funkce
Funkce Heaviside
Graf kubická funkce F(X) = X3 − 9X na intervalu [-4,4] je uzavřen, protože funkce je kontinuální. Graf Funkce Heaviside on [-2,2] není uzavřen, protože funkce není spojitá.

v matematika, věta o uzavřeném grafu je základní výsledek, který charakterizuje spojité funkce z hlediska jejich grafy. Zejména dávají podmínky při funkcích s uzavřené grafy jsou nutně spojité. V matematice existuje několik výsledků známých jako „věta o uzavřeném grafu“.

Grafy a mapy s uzavřenými grafy

Hlavní článek: Uzavřený graf

Li F : X → Y je mapa mezi topologické prostory pak graf z F je sada GR F := { (X, F(X)) : X ∈ X } nebo ekvivalentně,

GR F := { (X, y) ∈ X × Y : y = F(X) }

Říkáme to graf F je zavřený -li GR F je uzavřená podmnožina z X × Y (s topologie produktu ).

Jakákoli spojitá funkce do a Hausdorffův prostor má uzavřený graf.

Libovolná lineární mapa, L : X → Y, mezi dvěma topologickými vektorovými prostory, jejichž topologie jsou (Cauchy) úplné s ohledem na metriky invariantního překladu, a pokud navíc (1a) L je postupně spojitá ve smyslu topologie produktu, poté mapy L je spojitý a jeho graf, GR L, je nutně uzavřen. Naopak, pokud L je taková lineární mapa s, místo (1a), grafu L je (1b) známo, že je uzavřeno v kartézském prostoru produktu X × Y, pak L je spojitá a proto nutně postupně spojitá.[1]

Příklady souvislých map, které jsou ne Zavřeno

  • Li X je jakýkoli prostor pak mapa identity Id: X → X je spojitý, ale jeho graf, který je úhlopříčný Gr Id: = {(X, X) : X ∈ X }, je uzavřen X × X kdyby a jen kdyby X je Hausdorff.[2]Zejména pokud X tedy není Hausdorff Id: X → X je spojitý, ale ne Zavřeno.
  • Nechat X označte reálná čísla ℝ s obvyklým Euklidovská topologie a nechte Y označit ℝ s neurčitá topologie (kde si to všimněte Y je ne Hausdorff a že každá funkce oceněna Y je spojitý). Nechat F : X → Y být definován F(0) = 1 a F(X) = 0 pro všechny X ≠ 0. Pak F : X → Y je spojitý, ale jeho graf je ne uzavřeno X × Y.[3]

Věta o uzavřeném grafu v topologii množiny bodů

v bodová topologie, uzavřená věta grafu uvádí následující:

Věta o uzavřeném grafu[4] — Li F : X → Y je mapa z a topologický prostor X do kompaktní Hausdorffův prostor Y, pak graf F je uzavřen právě tehdy F : X → Y je kontinuální.

Pro funkce se stanovenou hodnotou

Věta o uzavřeném grafu pro funkce s hodnotami[5] — Pro Hausdorff kompaktní rozsah prostoru Y, funkce s oceněnou hodnotou F : X → 2Y má uzavřený graf právě tehdy, když je horní polokontinuální a F(X) je uzavřená sada pro všechny X ∈ X.

Ve funkční analýze

Hlavní článek: Věta o uzavřeném grafu (funkční analýza)
Definice: Pokud T : X → Y je lineární operátor mezi topologické vektorové prostory (TVS), pak to říkáme T je uzavřený operátor pokud je graf T je uzavřen X × Y když X × Y je obdařen topologií produktu.

Věta o uzavřeném grafu je důležitým výsledkem funkční analýzy, která zaručuje, že uzavřený lineární operátor je za určitých podmínek spojitý. Původní výsledek byl mnohokrát zobecněn. Známá verze uzavřených vět grafů je následující.

Teorém[6][7] — Lineární mapa mezi dvěma F-prostory (např. Banachovy prostory ) je spojitý právě tehdy, když je jeho graf uzavřený.

Viz také

Reference

  1. ^ Rudin 1991, str. 51-52.
  2. ^ Rudin 1991, str. 50.
  3. ^ Narici & Beckenstein 2011, str. 459-483.
  4. ^ Munkres 2000, str. 163–172.
  5. ^ Aliprantis, Charlambos; Kim C. Border (1999). „Kapitola 17“. Nekonečná dimenzionální analýza: Stopařův průvodce (3. vyd.). Springer.
  6. ^ Schaefer & Wolff 1999, str. 78.
  7. ^ Trèves (1995), str. 173

Poznámky

Bibliografie