Slyšení tvaru bubnu - Hearing the shape of a drum

Na slyšet tvar bubnu je odvodit informace o tvaru bubnová hlava ze zvuku, který vydává, tj. ze seznamu podtexty prostřednictvím použití matematický teorie.
„Slyšíš tvar bubnu?“ je název článku z roku 1966 Mark Kac v Americký matematický měsíčník který proslavil otázku, ačkoli toto konkrétní fráze pochází Lipman Bers. Podobné otázky lze vysledovat až k Hermann Weyl. Za svůj papír dostal Kac Cena Lestera R. Forda v roce 1967 a Cena Chauvenet v roce 1968.[1]
Frekvence, při které může bubnová hlava vibrovat, závisí na jejím tvaru. The Helmholtzova rovnice vypočítá frekvence, pokud je tvar znám. Tyto frekvence jsou vlastní čísla z Laplacian v prostoru. Ústřední otázkou je, zda lze tvar předvídat, pokud jsou známy frekvence; například to, zda lze takto rozpoznat trojúhelník ve tvaru kruhu.[2] Kac připustil, že neví, jestli je možné, aby dva různé tvary poskytly stejnou sadu frekvencí. Na otázku, zda frekvence určují tvar, odpověděli nakonec na počátku 90. let záporně Gordon, Webb a Wolpert.
Formální prohlášení
Více formálně je buben koncipován jako elastická membrána, jejíž hranice je upnuta. Je reprezentován jako doména D v letadlo. Označte λn the Dirichletova vlastní čísla pro D: toto je vlastní čísla z Dirichletův problém pro Laplacian:
Říká se, že existují dvě domény isospektrální (nebo homofonní), pokud mají stejná vlastní čísla. Termín „homofonní“ je oprávněný, protože Dirichletova vlastní čísla jsou přesně základními tóny, které je buben schopen produkovat: vypadají přirozeně jako Fourierovy koeficienty v řešení vlnová rovnice s upnutou hranicí.
Proto lze otázku přeformulovat jako: z čeho lze odvodit D pokud člověk zná pouze hodnoty λn? Nebo konkrétněji: existují dvě odlišné domény, které jsou izospektrální?
Související problémy lze formulovat pro Dirichletův problém pro Laplacian na doménách ve vyšších dimenzích nebo na Riemannovy rozdělovače, stejně jako pro ostatní eliptické diferenciální operátory tak jako Cauchy – Riemannův operátor nebo Dirac operátor. Jiné okrajové podmínky kromě Dirichletovy podmínky, například Neumannova okrajová podmínka, lze uložit. Vidět spektrální geometrie a isospektrální jako související články.
Odpověď

Skoro ihned, John Milnor poznamenal, že věta kvůli Ernst Witt naznačil existenci dvojice 16-dimenzionálních tori, které mají stejné vlastní hodnoty, ale různé tvary. Problém ve dvou dimenzích však zůstal otevřený až do roku 1992, kdy Carolyn Gordon, David Webb a Scott Wolpert vytvořili na základě Sunada metoda, dvojice oblastí v rovině, které mají různé tvary, ale shodné vlastní hodnoty. Regiony jsou konkávní polygony. Důkaz, že oba regiony mají stejné vlastní hodnoty, využívá symetrie Laplacian. Tuto myšlenku zobecnil Buser et al., Který zkonstruoval řadu podobných příkladů. Odpověď na Kacovu otázku tedy zní: pro mnoho tvarů nelze slyšet tvar bubnu zcela. Některé informace však lze odvodit.
Na druhou stranu, Steve Zelditch prokázal, že odpověď na Kacovu otázku je pozitivní, pokud je možné určit určitá omezení konvexní rovinné oblasti s analytický hranice. Není známo, zda dvě nekonvexní analytické domény mohou mít stejná vlastní čísla. Je známo, že množina domén isospektrální s danou doménou je v C kompaktní∞ topologie. Kromě toho je sféra (například) spektrálně tuhá Chengova věta o srovnání vlastních čísel. Rovněž je známo, že podle výsledku Osgooda, Phillipsa a Sarnaka prostor modulů Riemannův povrchů daného rodu nepřipouští kontinuální izospektrální tok jakýmkoli bodem a je kompaktní v topologii Fréchet – Schwartz.
Weylův vzorec
Weylův vzorec uvádí, že lze odvodit oblast A bubnu spočítáním, jak rychle λn růst. Definujeme N(R) je počet vlastních čísel menší než R a dostaneme
kde d je rozměr a je objem d-dimenzionální jednotková koule. Weyl také předpokládal, že další člen v níže uvedené aproximaci dá obvod D. Jinými slovy, pokud L označuje délku obvodu (nebo plochu ve vyšší dimenzi), pak by měl mít
Pro hladkou hranici to bylo prokázáno Victor Ivrii v roce 1980. Rozdělovač také nemá povoleno mít dvojparametrovou rodinu periodických geodetik, jakou by měla sféra.
Weyl-Berryho domněnka
Pro nehladké hranice Michael Berry v roce 1979 se domníval, že oprava by měla být řádově
kde D je Hausdorffova dimenze hranice. To vyvrátili J. Brossard a R. A. Carmona, kteří poté navrhli, že by měl být Hausdorffův rozměr nahrazen rozměr horního pole. V rovině se to prokázalo, pokud má hranice rozměr 1 (1993), ale většinou vyvrácen pro vyšší rozměry (1996); oba výsledky jsou o Lapidus a Pomerance.
Viz také
- Vibrace kruhové membrány
- Gassmann trojnásobný
- Isospectral
- Spektrální geometrie
- rozšíření do iterovaný funkční systém fraktály[3]
Poznámky
- ^ „Slyšíš tvar bubnu? | Matematická asociace Ameriky“.
- ^ Kac, Marku (Duben 1966). „Slyšíš tvar bubnu?“ (PDF). Americký matematický měsíčník. 73 (4, část 2): 16.
- ^ Arrighetti, W .; Gerosa, G. (2005). Slyšíte fraktální rozměr bubnu?. Aplikovaná a průmyslová matematika v Itálii. Řada Pokroky v matematice pro aplikované vědy. 69. World Scientific. str. 65–75. arXiv:matematika.SP / 0503748. doi:10.1142/9789812701817_0007. ISBN 978-981-256-368-2.
Reference
- Abikoff, William (leden 1995), "Vzpomínka na Lipmana Berse" (PDF), Oznámení AMS, 42 (1): 8–18
- Brossard, Jean; Carmona, René (1986). „Slyšíme rozměr fraktálu?“. Comm. Matematika. Phys. 104 (1): 103–122. Bibcode:1986CMaPh.104..103B. doi:10.1007 / BF01210795.
- Buser, Peter; Conway, Johne; Doyle, Peter; Semmler, Klaus-Dieter (1994), „Some plaar isospectral domains“, Oznámení o mezinárodním matematickém výzkumu, 9: 391ff
- Chapman, S.J. (1995). "Bicí, které zní stejně". Americký matematický měsíčník. 102 (Únor): 124–138. doi:10.2307/2975346. JSTOR 2975346.
- Giraud, Olivier; Thas, Koen (2010). "Tvar sluchu bubnů - matematické a fyzikální aspekty izospektrality". Recenze moderní fyziky. 82 (3): 2213–2255. arXiv:1101.1239. Bibcode:2010RvMP ... 82.2213G. doi:10.1103 / RevModPhys.82.2213.
- Gordon, Carolyn; Webb, David „Neslyšíte tvar bubnu“, Americký vědec, 84 (Leden – únor): 46–55
- Gordon, C.; Webb, D.; Wolpert, S. (1992), „Isospectral plane domains and povrch via Riemannian orbifolds“, Inventiones Mathematicae, 110 (1): 1–22, Bibcode:1992InMat.110 ... 1G, doi:10.1007 / BF01231320
- Ivrii, V. Ja. (1980), „Druhý člen spektrální asymptotiky pro operátora Laplace – Beltrami na rozdělovačích potrubích s hranicí“, Funkční. Anální. Já Prilozhen, 14 (2): 25–34, doi:10.1007 / BF01086550 (V ruština ).
- Kac, Marku (Duben 1966). „Slyšíš tvar bubnu?“ (PDF). Americký matematický měsíčník. 73 (4, část 2): 1–23. doi:10.2307/2313748. JSTOR 2313748.
- Lapidus, Michel L. (1991), „Slyšíme tvar fraktálního bubnu? Částečné rozlišení domněnky Weyl-Berry“, Geometrická analýza a počítačová grafika (Berkeley, CA, 1988), Math. Sci. Res. Inst. Publ., New York: Springer, 17 (17): 119–126, doi:10.1007/978-1-4613-9711-3_13, ISBN 978-1-4613-9713-7
- Lapidus, Michel L. (1993), „Vibrace fraktálních bubnů, Riemannova hypotéza, vlny ve fraktálním médiu a domněnka Weyl-Berry ", B. D. Sleeman; R. J. Jarvis (eds.), Obyčejné a parciální diferenciální rovnice, svazek IV, Proc. Dvanáctý mezinárodní. Konf. (Dundee, Skotsko, Velká Británie, červen 1992), Pitman Research Notes in Math. Série, 289, London: Longman and Technical, s. 126–209
- Lapidus, M. L .; van Frankenhuysen, M. (2000), Fraktální geometrie a teorie čísel: Složité rozměry fraktálních řetězců a nuly funkcí zeta, Boston: Birkhauser. (Přepracované a rozšířené druhé vydání se objeví v roce 2005.)
- Lapidus, Michel L .; Pomerance, Carl (1993), „Riemannova zeta funkce a jednorozměrná domněnka Weyl-Berry pro fraktální bubny“, Proc. London Math. Soc., Řada 3, 66 (1): 41–69, CiteSeerX 10.1.1.526.854, doi:10.1112 / plms / s3-66.1.41
- Lapidus, Michel L .; Pomerance, Carl (1996), „Protiklady upraveného Weyl-Berryho domněnky o fraktálových bubnech“, Matematika. Proc. Cambridge Philos. Soc., 119 (1): 167–178, Bibcode:1996MPCPS.119..167L, doi:10.1017 / S0305004100074053
- Milnor, Johne (1964), „Vlastní čísla Laplaceova operátoru na určitých potrubích“, Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických, 51 (4): 542ff, Bibcode:1964PNAS ... 51..542M, doi:10.1073 / pnas.51.4.542, PMC 300113, PMID 16591156
- Sunada, T. (1985), „Riemannovy krytiny a isospektrální varietá“, Ann. matematiky., 2, 121 (1): 169–186, doi:10.2307/1971195, JSTOR 1971195
- Zelditch, S. (2000), "Spektrální stanovení analytických bi-osymetrických rovinných domén", Geometrická a funkční analýza, 10 (3): 628–677, arXiv:matematika / 9901005, doi:10.1007 / PL00001633
externí odkazy
- Isospektrální bubny Toby Driscoll z University of Delaware
- Některé rovinné isospektrální domény Peter Buser, John Horton Conway, Peter Doyle a Klaus-Dieter Semmler
- Bicí, které zní podobně Ivars Peterson na webu Mathematical Association of America
- Weisstein, Eric W. "Isospectral Manifolds". MathWorld.
- Benguria, Rafael D. (2001) [1994], „Dirichlet eigenvalue“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS