Kompaktní konvergence - Compact convergence

v matematika kompaktní konvergence (nebo jednotná konvergence na kompaktních sadách) je typ konvergence který zobecňuje myšlenku jednotná konvergence. Je spojena s kompaktně otevřená topologie.

Definice

Nechat ${displaystyle (X, {mathcal {T}})}$ být topologický prostor a ${displaystyle (Y, d_ {Y})}$ být metrický prostor. Posloupnost funkcí

{displaystyle f_ {n}: X o Y}

,

{displaystyle nin mathbb {N},}

říká se kompaktně konvergovat tak jako ${displaystyle n o infty}$ k nějaké funkci ${displaystyle f: X o Y}$ pokud pro každého kompaktní sada ${displaystyle Ksubseteq X}$ ,

{displaystyle f_ {n} | _ {K} o f | _ {K}}

jednotně na ${displaystyle K}$ tak jako ${displaystyle n o infty}$ . To znamená, že pro všechny kompaktní ${displaystyle Ksubseteq X}$ ,

{displaystyle lim _ {n o infty} sup _ {xin K} d_ {Y} left (f_ {n} (x), f (x) ight) = 0.}

Příklady

Li ${displaystyle X = (0,1) subseteq mathbb {R}}$ a ${displaystyle Y = mathbb {R}}$ s jejich obvyklými topologiemi, s ${displaystyle f_ {n} (x): = x ^ {n}}$ , pak ${displaystyle f_ {n}}$ konverguje kompaktně na konstantní funkci s hodnotou 0, ale ne rovnoměrně.
Li ${displaystyle X = (0,1]}$ , ${displaystyle Y = mathbb {R}}$ a ${displaystyle f_ {n} (x) = x ^ {n}}$ , pak ${displaystyle f_ {n}}$ konverguje bodově na funkci, která je nulová ${displaystyle (0,1)}$ a jeden v ${displaystyle 1}$ , ale sekvence se nespojuje kompaktně.
Velmi výkonným nástrojem pro zobrazení kompaktní konvergence je Věta Arzelà – Ascoli. Existuje několik verzí této věty, zhruba řečeno uvádí, že každá posloupnost rovnocenný a jednotně ohraničený mapy má posloupnost, která kompaktně konverguje na nějakou souvislou mapu.

Vlastnosti

Li ${displaystyle f_ {n} o f}$ tedy jednotně ${displaystyle f_ {n} o f}$ kompaktně.
Li ${displaystyle (X, {mathcal {T}})}$ je kompaktní prostor a ${displaystyle f_ {n} o f}$ tedy kompaktně ${displaystyle f_ {n} o f}$ jednotně.
Li ${displaystyle (X, {mathcal {T}})}$ je místně kompaktní, pak ${displaystyle f_ {n} o f}$ kompaktně tehdy a jen tehdy ${displaystyle f_ {n} o f}$ místně jednotně.
Li ${displaystyle (X, {mathcal {T}})}$ je kompaktně generovaný prostor, ${displaystyle f_ {n} o f}$ kompaktně a každý ${displaystyle f_ {n}}$ je kontinuální, pak ${displaystyle f}$ je spojitý.

Viz také

Reference

R. Remmert Teorie komplexních funkcí (1991 Springer) str. 95