Banach-Stoneova věta - Banach–Stone theorem

v matematika, Banach-Stoneova věta je klasický výsledek v teorii spojité funkce na topologické prostory, pojmenoval podle matematici Stefan Banach a Marshall Stone.

Stručně řečeno, věta Banach-Stone umožňuje člověku obnovit a kompaktní Hausdorffův prostor z algebry skalárů (ohraničené spojité funkce v prostoru). V moderním jazyce je to komutativní případ spektrum C * -algebry a teorém Banach-Stone lze chápat jako analogii funkční analýzy spojení mezi prstencem R a spektrum prstenu Spec (R) v algebraická geometrie.

Tvrzení

Pro topologický prostor X, nechť Cb(X; R) označují normovaný vektorový prostor kontinuální, skutečný, omezené funkce F : X → R vybavené nadřazená norma ‖·‖∞. Tohle je algebra, nazvaný algebra skalárů, pod bodovým násobením funkcí. Pro kompaktní prostor X, Cb(X; R) je stejné jako C(X; R), prostor všech spojitých funkcí F : X → R. Algebra skalárů je funkční analogická analýza prstence běžné funkce v algebraické geometrii je označeno .

Nechat X a Y být kompaktní, Hausdorffovy prostory a nechte T : C(X; R) → C(Y; R) být a surjektivní lineární izometrie. Pak existuje a homeomorfismus φ : Y → X a G ∈ C(Y; R) s

a

Případ kde X a Y jsou kompaktní metrické prostory je kvůli Banachovi,[1] zatímco rozšíření do kompaktních Hausdorffových prostor je způsobeno Stoneem.[2] Ve skutečnosti oba prokazují mírné zobecnění - to nepředpokládají T je lineární, pouze to, že je izometrie ve smyslu metrických prostorů a použijte Mazur – Ulamova věta ukázat to T je afinní, a tak je lineární izometrie.

Zobecnění

Věta Banach – Stone má několik zevšeobecnění pro spojité funkce s vektorovou hodnotou v kompaktních Hausdorffových topologických prostorech. Například pokud E je Banachův prostor s triviálními centralizátor a X a Y jsou kompaktní, pak každá lineární izometrie C(X; E) na C(Y; E) je silná mapa Banach – Stone.

Ještě důležitější je, že Banach-Stoneova věta naznačuje filozofii, že lze nahradit a prostor (geometrický pojem) pomocí algebra, bez ztráty. Při obrácení to naznačuje, že lze považovat algebraické objekty, i když nepocházejí z geometrického objektu, za druh „algebry skalárů“. V tomto duchu každý komutativní C * -algebra je algebra skalárů na Hausdorffově prostoru. Proto lze uvažovat nekomutativní C * -algebry (nebo spíše jejich Spec) jako nekomutativní mezery. To je základ oboru nekomutativní geometrie.

Viz také

Reference

  1. ^ Théorème 3 ze dne Banach, Stefan (1932). Théorie des opérations linéaires. Warszawa: Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk. p. 170.
  2. ^ Věta 83 z Kámen, Marshall (1937). „Aplikace teorie booleovských prstenů na obecnou topologii“. Transakce Americké matematické společnosti. 41 (3): 375–481. doi:10.2307/1989788.