Singularita (matematika) - Singularity (mathematics)

v matematika, a jedinečnost je obecně bod, ve kterém daný matematický objekt není definován, nebo bod, ve kterém matematický objekt přestává být dobře vychovaný nějakým konkrétním způsobem, například nedostatkem rozlišitelnost nebo analytičnost.^[1]^[2]^[3]^[4]

Například skutečná funkce

{ displaystyle f (x) = { frac {1} {x}}}

má jedinečnost v ${ displaystyle x = 0}$ , kde se zdá, že „exploduje“ ${ displaystyle pm infty}$ a proto není definován. The absolutní hodnota funkce ${ displaystyle g (x) = | x |}$ má také singularitu v $X = 0$ , protože není rozlišitelný tam.^[1]^[5]

The algebraická křivka definován ${ displaystyle {(x, y): y ^ {3} -x ^ {2} = 0 }}$ v ${ displaystyle (x, y)}$ souřadnicový systém má singularitu (nazývá se a hrot ) na ${ displaystyle (0,0)}$ . Pro singularity v algebraická geometrie viz singulární bod algebraické odrůdy. Pro singularity v diferenciální geometrie viz teorie singularity.

Skutečná analýza

v skutečná analýza, singularity jsou buď nespojitosti nebo diskontinuity derivát (někdy také diskontinuity derivátů vyššího řádu). Existují čtyři druhy diskontinuit: typ I., který má dva podtypy a typ II, které lze také rozdělit na dva podtypy (i když obvykle nejsou).

Předpokládejme, že k popisu způsobu použití těchto dvou typů limitů ${ displaystyle f (x)}$ je funkcí skutečného argumentu ${ displaystyle x}$ , a pro jakoukoli hodnotu svého argumentu řekněme ${ displaystyle c}$ , pak levostranný limit, ${ displaystyle f (c ^ {-})}$ a pravostranný limit, ${ displaystyle f (c ^ {+})}$ , jsou definovány:

{ displaystyle f (c ^ {-}) = lim _ {x až c} f (x)}

, omezeno

{ displaystyle x

a

{ displaystyle f (c ^ {+}) = lim _ {x až c} f (x)}

, omezeno

{ displaystyle x> c}

.

Hodnota ${ displaystyle f (c ^ {-})}$ je hodnota, kterou funkce ${ displaystyle f (x)}$ má sklon k hodnotě ${ displaystyle x}$ přístupy ${ displaystyle c}$ z nížea hodnota ${ displaystyle f (c ^ {+})}$ je hodnota, kterou funkce ${ displaystyle f (x)}$ má sklon k hodnotě ${ displaystyle x}$ přístupy ${ displaystyle c}$ z výše, bez ohledu na skutečnou hodnotu, kterou má funkce v bodě, kde ${ displaystyle x = c}$ .

Existují některé funkce, pro které tyto limity vůbec neexistují. Například funkce

{ displaystyle g (x) = sin left ({ frac {1} {x}} right)}

nemá sklon k ničemu jako ${ displaystyle x}$ přístupy ${ displaystyle c = 0}$ . Limity v tomto případě nejsou nekonečné, ale spíše nedefinováno: neexistuje žádná hodnota ${ displaystyle g (x)}$ usadí se dál. Výpůjčka ze složité analýzy se tomu někdy říká zásadní singularita.

Možné případy při dané hodnotě ${ displaystyle c}$ pro argument jsou následující.

A bod spojitosti je hodnota ${ displaystyle c}$ pro který ${ displaystyle f (c ^ {-}) = f (c) = f (c ^ {+})}$ , jak se dá očekávat od hladké funkce. Všechny hodnoty musí být konečné. Li ${ displaystyle c}$ není bodem spojitosti, pak k diskontinuitě dochází v ${ displaystyle c}$ .
A typ I. diskontinuita nastane, když oba ${ displaystyle f (c ^ {-})}$ $f (c ^ {-})$ a ${ displaystyle f (c ^ {+})}$ $f (c ^ {+})$ existují a jsou konečné, ale platí také alespoň jedna z následujících tří podmínek:
- ${ displaystyle f (c ^ {-}) neq f (c ^ {+})}$ ;
- ${ displaystyle f (x)}$ není definován pro případ ${ displaystyle x = c}$ ; nebo
- ${ displaystyle f (c)}$ má definovanou hodnotu, která však neodpovídá hodnotě dvou limitů.

Nespojitosti typu I lze dále rozlišit jako jeden z následujících podtypů:

A skoková diskontinuita nastane, když ${ displaystyle f (c ^ {-}) neq f (c ^ {+})}$ , bez ohledu na to, zda ${ displaystyle f (c)}$ je definován a bez ohledu na jeho hodnotu, pokud je definován.
A odnímatelná diskontinuita nastane, když ${ displaystyle f (c ^ {-}) = f (c ^ {+})}$ , také bez ohledu na to, zda ${ displaystyle f (c)}$ je definován a bez ohledu na jeho hodnotu, pokud je definován (ale neodpovídá hodnotě dvou limitů).

A typ II diskontinuita nastane, když ${ displaystyle f (c ^ {-})}$ $f (c ^ {-})$ nebo ${ displaystyle f (c ^ {+})}$ $f (c ^ {+})$ neexistuje (možná obojí). To má dva podtypy, které se obvykle nepovažují samostatně:
- An nekonečná diskontinuita je zvláštní případ, kdy neexistuje limit pro levou ani pravou ruku, konkrétně proto, že je nekonečný, a druhý limit je buď také nekonečný, nebo je nějaké dobře definované konečné číslo. Jinými slovy, funkce má nekonečnou diskontinuitu, když je graf má vertikální asymptota.
- An zásadní singularita je termín vypůjčený ze složité analýzy (viz níže). To je případ, kdy jeden nebo druhý limit ${ displaystyle f (c ^ {-})}$ nebo ${ displaystyle f (c ^ {+})}$ neexistuje, ale ne proto, že je nekonečná diskontinuita. Základní singularity nepřibližujte se k žádnému limitu, a to ani v případě, že jsou platné odpovědi rozšířeny o ${ displaystyle pm infty}$ .

Ve skutečné analýze je singularita nebo diskontinuita vlastností samotné funkce. Jakékoli singularity, které mohou existovat v derivaci funkce, se považují za příslušnost k derivaci, nikoli k původní funkci.

Koordinovat singularity

A koordinovat singularitu nastane, když v jednom souřadnicovém rámci dojde ke zjevné singularitě nebo diskontinuitě, kterou lze odstranit výběrem jiného rámce. Příkladem toho je zdánlivá singularita na 90 stupňové šířce v sférické souřadnice. Objekt pohybující se přímo na sever (například podél linie 0 stupňů zeměpisné délky) na povrchu koule náhle zaznamená okamžitou změnu zeměpisné délky u pólu (v případě příkladu skok z zeměpisné délky 0 do zeměpisné délky 180 stupňů) . Tato diskontinuita je však pouze patrná; je to artefakt zvoleného souřadnicového systému, který je u pólů singulární. Odlišný souřadný systém by eliminoval zdánlivou diskontinuitu (např. Nahrazením reprezentace zeměpisné šířky a délky znakem $n$ -vektor zastoupení).

Složitá analýza

v komplexní analýza, existuje několik tříd singularit. Patří sem izolované singularity, neizolované singularity a body větvení.

Izolované singularity

Předpokládejme to U je otevřená podmnožina z komplexní čísla Cs bodem A být prvkem U, a to F je komplexní diferencovatelná funkce na některých definováno sousedství kolem A, kromě A: U \ {A}, pak:

Bod A je odnímatelná singularita z F pokud existuje holomorfní funkce G definované na všech U takhle F(z) = G(z) pro všechny z v U \ {A}. Funkce G je nepřetržitá náhrada za tuto funkci F.^[6]
Bod A je pól nebo nepodstatná singularita F pokud existuje holomorfní funkce G definováno dne U s G(A) nenulové a a přirozené číslo n takhle F(z) = G(z) / (z − A)ⁿ pro všechny z v U \ {A}. Nejméně takové číslo n se nazývá pořadí pólu. Samotná derivace neesenciální singularity má neesenciální singularitu s n zvýšeno o 1 (kromě případů, kdy n je 0, takže singularita je odstranitelná).
Bod A je zásadní singularita z F pokud to není ani odnímatelná singularita, ani pól. Bod A je zásadní singularita kdyby a jen kdyby the Laurentova řada má nekonečně mnoho sil záporného stupně.^[2]

Neizolované singularity

Jiné než izolované singularity mohou komplexní funkce jedné proměnné vykazovat jiné singulární chování. Tito se nazývají neizolované singularity, z nichž existují dva typy:

Klastrové body: mezní body izolovaných singularit. Pokud jsou to všechny póly, navzdory přiznání Laurentova řada expanze na každé z nich, pak na jejím limitu není taková expanze možná.
Přirozené hranice: libovolná neizolovaná množina (např. křivka), na které nemohou být funkce analyticky pokračovalo kolem (nebo mimo ně, pokud jsou uzavřené křivky v Riemannova koule ).

Pobočkové body

Pobočkové body jsou obecně výsledkem a funkce s více hodnotami, jako ${ displaystyle { sqrt {z}}}$ nebo ${ Displaystyle log (z)}$ , které jsou definovány v určité omezené doméně, aby bylo možné v této doméně provést funkci s jednou hodnotou. Řez je čára nebo křivka vyloučená z domény, aby se zavedlo technické oddělení mezi nespojitými hodnotami funkce. Když je řez skutečně požadován, funkce bude mít zřetelně odlišné hodnoty na každé straně řezu větve. Tvar řezu větve je otázkou volby, i když musí spojovat dva různé body větví (např ${ displaystyle z = 0}$ a ${ displaystyle z = infty}$ pro ${ Displaystyle log (z)}$ ), které jsou upevněny na místě.

Konečná časová singularita

The vzájemná funkce, vystavující hyperbolický růst.

A konečná singularita nastane, když je jednou vstupní proměnnou čas a výstupní proměnná se v konečném čase zvyšuje směrem k nekonečnu. Ty jsou důležité v kinematika a PDE (Parciální diferenciální rovnice ) - nekonečna se nevyskytují fyzicky, ale chování blízké singularitě je často zajímavé. Matematicky jsou nejjednodušší singularity konečné doby mocenské zákony pro různé exponenty formuláře ${ displaystyle x ^ {- alpha},}$ z nichž nejjednodušší je hyperbolický růst, kde exponent je (záporný) 1: ${ displaystyle x ^ {- 1}.}$ Přesněji řečeno, za účelem získání singularity v pozitivním čase s postupujícím časem (takže výstup roste do nekonečna), místo toho použije ${ displaystyle (t_ {0} -t) ^ {- alpha}}$ (použitím t na čas obrátit směr na ${ displaystyle -t}$ takže se čas zvýší do nekonečna a posun singularity vpřed z 0 na pevný čas ${ displaystyle t_ {0}}$ ).

Příkladem může být skákací pohyb nepružné koule v rovině. Pokud je uvažován idealizovaný pohyb, ve kterém je stejný zlomek Kinetická energie je při každém odrazu ztracen, frekvence odrazů se stává nekonečným, protože míč se zastaví v konečném čase. Mezi další příklady singularit v konečném čase patří různé formy Painlevé paradox (například tendence křídy přeskakovat při tažení přes tabuli) a jak precese sazba a mince točil na rovném povrchu zrychluje směrem k nekonečnu - před náhlým zastavením (jak bylo studováno pomocí Eulerův disk hračka).

Hypotetické příklady zahrnují Heinz von Foerster je vtipný "Rovnice soudného dne "(zjednodušující modely poskytují nekonečnou lidskou populaci v konečném čase).

Algebraická geometrie a komutativní algebra

v algebraická geometrie, a singularita algebraické odrůdy je bod odrůdy, kde tečný prostor nemusí být pravidelně definovány. Nejjednodušším příkladem singularit jsou křivky, které se protínají. Ale existují i jiné typy singularit vrcholy. Například rovnice $y 2 - X 3 = 0$ definuje křivku, která má na počátku hrot $X = y = 0$ . Dalo by se definovat $X$ -osa jako tečna v tomto bodě, ale tato definice nemůže být stejná jako definice v jiných bodech. Ve skutečnosti v tomto případě $X$ -os je „dvojitá tečna“.

Pro afinní a projektivní odrůdy, singularity jsou body, kde Jacobian matrix má hodnost což je méně než v jiných bodech odrůdy.

Ekvivalentní definice z hlediska komutativní algebra může být uveden, který sahá do abstraktní odrůdy a schémata: Bod je jednotné číslo pokud místní kruh v tomto bodě není pravidelný místní kruh.

Viz také

Reference

^ ^A ^b „Definitivní glosář vyššího matematického žargonu - singularita“. Matematický trezor. 2019-08-01. Citováno 2019-12-12.
^ ^A ^b „Singularity, nuly a Poláci“. mathfaculty.fullerton.edu. Citováno 2019-12-12.
^ "Singularity | komplexní funkce". Encyklopedie Britannica. Citováno 2019-12-12.
^ „Singularita (matematika)“. TheFreeDictionary.com. Citováno 2019-12-12.
^ Berresford, Geoffrey C .; Rockett, Andrew M. (2015). Aplikovaný počet. Cengage Learning. p. 151. ISBN 978-1-305-46505-3.
^ Weisstein, Eric W. "Jedinečnost". mathworld.wolfram.com. Citováno 2019-12-12.

[:0-1] A ^b „Definitivní glosář vyššího matematického žargonu - singularita“. Matematický trezor. 2019-08-01. Citováno 2019-12-12.

[:1-2] A ^b „Singularity, nuly a Poláci“. mathfaculty.fullerton.edu. Citováno 2019-12-12.

[3] "Singularity | komplexní funkce". Encyklopedie Britannica. Citováno 2019-12-12.

[4] „Singularita (matematika)“. TheFreeDictionary.com. Citováno 2019-12-12.

[5] Berresford, Geoffrey C .; Rockett, Andrew M. (2015). Aplikovaný počet. Cengage Learning. p. 151. ISBN 978-1-305-46505-3.

[6] Weisstein, Eric W. "Jedinečnost". mathworld.wolfram.com. Citováno 2019-12-12.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]