Krull – Akizukiho věta - Krull–Akizuki theorem

V algebře je Krull – Akizukiho věta uvádí následující: let A být maximálně jednorozměrný snížena noetherian ring,^[1] K. své celkový kruh zlomků. Li B je podřetězce konečného prodloužení L z K. obsahující Apak B je jednorozměrný noetherianský prsten. Navíc pro každý nenulový ideál Já z B, ${ displaystyle B / I}$ je konečný A.^[2]

Věta to neříká B je konečný A. Věta se nevztahuje na vyšší dimenzi. Jedním důležitým důsledkem věty je, že integrální uzávěr a Dedekind doména A v konečném rozšíření pole zlomků A je opět doménou Dedekind. Tento důsledek se zobecňuje do vyšší dimenze: Mori – Nagatova věta uvádí, že integrální uzavření noetherian domény je a Krull doména.

Důkaz

Zde poskytujeme důkaz, kdy ${ displaystyle L = K}$. Nechat ${ displaystyle { mathfrak {p}} _ {i}}$ být minimální hlavní ideály A; je jich konečně mnoho. Nechat ${ displaystyle K_ {i}}$ být polem zlomků ${ displaystyle A / {{ mathfrak {p}} _ {i}}}$ a ${ displaystyle I_ {i}}$ jádro přirozené mapy ${ displaystyle B až K až K_ {i}}$. Pak máme:

${ displaystyle A / {{ mathfrak {p}} _ {i}} podmnožina B / {I_ {i}} podmnožina K_ {i}}$.

Teď, když věta platí kdy A je doména, z čehož vyplývá, že B je od každého jednorozměrná noetherianská doména ${ displaystyle B / {I_ {i}}}$ je a od té doby ${ displaystyle B = prod B / {I_ {i}}}$. Proto jsme omezili důkaz na případ A je doména. Nechat ${ displaystyle 0 neq I podmnožina B}$ být ideální a nechat A být nenulovým prvkem v nenulovém ideálu ${ displaystyle I cap A}$. Soubor ${ displaystyle I_ {n} = a ^ {n} B cap A + aA}$. Od té doby ${ displaystyle A / aA}$ je nula-dimenetherový kruh; tím pádem, artinian, tady je l takhle ${ displaystyle I_ {n} = I_ {l}}$ pro všechny ${ displaystyle n geq l}$. Tvrdíme

${ displaystyle a ^ {l} B podmnožina a ^ {l + 1} B + A.}$

Jelikož postačuje lokální založení inkluze, můžeme předpokládat A je místní prsten s maximálním ideálem ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$. Nechat X být nenulovým prvkem v B. Pak od té doby A je noetherian, tam je n takhle ${ displaystyle { mathfrak {m}} ^ {n + 1} podmnožina x ^ {- 1} A}$ a tak ${ displaystyle a ^ {n + 1} x v ^ {n + 1} B cap A podmnožina I_ {n + 2}}$. Tím pádem,

${ displaystyle a ^ {n} x v ^ {n + 1} B cap A + A.}$

Nyní předpokládejme n je minimální celé číslo takové, že ${ displaystyle n geq l}$ a poslední zařazení platí. Li ${ displaystyle n> l}$, pak to snadno vidíme ${ displaystyle a ^ {n} x v I_ {n + 1}}$. Ale výše uvedené zahrnutí platí ${ displaystyle n-1}$rozpor. Proto máme ${ displaystyle n = l}$ a tím vzniká nárok. Z toho vyplývá:

${ displaystyle B / {aB} simeq a ^ {l} B / a ^ {l + 1} B podmnožina (a ^ {l + 1} B + A) / a ^ {l + 1} B simeq A / {a ^ {l + 1} B cap A}.}$

Proto, ${ displaystyle B / {aB}}$ má konečnou délku jako A-modul. Zejména obraz Já je definitivně generován a tak Já je definitivně generován. Nakonec to ukazuje výše ${ displaystyle B / {aB}}$ má nulový rozměr a tak B má dimenzi jedna. ${ displaystyle square}$

Reference

• Nicolas Bourbaki, Komutativní algebra