Uzavřený ponor - Closed immersion

Koncept stejného jména v diferenciální geometrii viz ponoření (matematika).

v algebraická geometrie, a uzavřené ponoření z schémata je morfismus schémat ${ displaystyle f: Z až X}$ který identifikuje Z jako uzavřená podmnožina X tak, že lokálně, běžné funkce na Z lze rozšířit na X.^[1] Druhá podmínka může být formována tím, že říká ${ displaystyle f ^ { #}: { mathcal {O}} _ {X} rightarrow f _ { ast} { mathcal {O}} _ {Z}}$ je surjektivní.^[2]

Příkladem je mapa zařazení ${ displaystyle operatorname {Spec} (R / I) to operatorname {Spec} (R)}$ vyvolané kanonickou mapou ${ displaystyle R až R / I}$.

Další charakterizace

Následující jsou ekvivalentní:

1. ${ displaystyle f: Z až X}$ je uzavřené ponoření.
2. Za každou otevřenou afinitu ${ displaystyle U = operatorname {Spec} (R) podmnožina X}$existuje ideál ${ displaystyle I podmnožina R}$ takhle ${ displaystyle f ^ {- 1} (U) = operatorname {Spec} (R / I)}$ jako schémata U.
3. Existuje otevřená afinní pokrývka ${ displaystyle X = bigcup U_ {j}, U_ {j} = operatorname {Spec} R_ {j}}$ a pro každého j existuje ideál ${ displaystyle I_ {j} podmnožina R_ {j}}$ takhle ${ displaystyle f ^ {- 1} (U_ {j}) = operatorname {Spec} (R_ {j} / I_ {j})}$ jako schémata ${ displaystyle U_ {j}}$.
4. Existuje kvazi-koherentní svazek ideálů ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ na X takhle ${ displaystyle f _ { ast} { mathcal {O}} _ {Z} cong { mathcal {O}} _ {X} / { mathcal {I}}}$ a F je izomorfismus z Z na globální specifikace z ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} / { mathcal {I}}}$ přes X.

Vlastnosti

Uzavřený ponor je konečný a radikální (všeobecně injektivní). Zejména uzavřené ponoření je všeobecně uzavřené. Uzavřený ponor je stabilní při změně báze a složení. Pojem uzavřeného ponoření je místní v tom smyslu F je uzavřené ponoření právě tehdy, když pro nějakou (ekvivalentně každou) otevřenou krytinu ${ displaystyle X = bigcup U_ {j}}$ indukovaná mapa ${ displaystyle f: f ^ {- 1} (U_ {j}) rightarrow U_ {j}}$ je uzavřené ponoření.^[3][4]

Pokud složení ${ displaystyle Z až Y až X}$ je uzavřené ponoření a ${ displaystyle Y až X}$ je oddělené, pak ${ displaystyle Z až Y}$ je uzavřené ponoření. Li X je oddělený S-scheme, pak každý S- část X je uzavřené ponoření.^[5]

Li ${ displaystyle i: Z až X}$ je uzavřené ponoření a ${ displaystyle { mathcal {I}} podmnožina { mathcal {O}} _ {X}}$ je kvazi-koherentní svazek ideálů, které vyřezávají Z, pak přímý obraz ${ displaystyle i _ {*}}$ z kategorie kvazi-koherentních svazků Z do kategorie kvazi-koherentních svazků X je přesný, plně věrný základnímu obrazu, který tvoří ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ takhle ${ displaystyle { mathcal {I}} { mathcal {G}} = 0}$.^[6]

Ploché uzavřené ponoření konečné prezentace je otevřené ponoření otevřeného uzavřeného podsystému.^[7]

Viz také

• Vkládání Segre
• Pravidelné vkládání

Poznámky

Reference

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). „Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007 / bf02684778. PAN  0217083.
• The Stacks Project
• Hartshorne, Robine (1977), Algebraická geometrie, Postgraduální texty z matematiky, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, PAN  0463157