Koszul komplex - Koszul complex

v matematika, Koszul komplex byl poprvé představen k definování a teorie cohomologie pro Lež algebry tím, že Jean-Louis Koszul (vidět Cohomologie lže algebry ). Ukázalo se, že je to užitečná obecná konstrukce v homologická algebra. Jako nástroj lze pomocí jeho homologie zjistit, kdy je množina prvků (místního) prstence M-pravidelná sekvence, a proto jej lze použít k prokázání základních faktů o hloubka modulu nebo ideálu, což je algebraický pojem dimenze, který souvisí, ale liší se od geometrického pojmu Dimenze Krull. Za určitých okolností je komplex navíc komplexem syzygies, to znamená, že vám řekne vztahy mezi generátory modulu, vztahy mezi těmito vztahy atd.

Definice

Nechat R být komutativní prsten a E bezplatný modul konečné pozice r přes R. Píšeme ${ displaystyle bigwedge ^ {i} E}$ pro i-th vnější síla z E. Poté, vzhledem k R-lineární mapa ${ displaystyle s dvojtečka E to R}$ , Komplex Koszul spojený s s je řetězový komplex z R-moduly:

{ displaystyle K _ { bullet} (s) colon 0 to bigwedge ^ {r} E { overet {d_ {r}} { to}} bigwedge ^ {r-1} E to cdots to bigwedge ^ {1} E { overset {d_ {1}} { to}} R na 0}

,

kde rozdíl ${ displaystyle d_ {k}}$ je dáno: pro libovolné ${ displaystyle e_ {i}}$ v E,

{ displaystyle d_ {k} (e_ {1} klín tečky klín e_ {k}) = součet _ {i = 1} ^ {k} (- 1) ^ {i + 1} s (e_ { i}) e_ {1} klín cdots klín { widehat {e_ {i}}} klín cdots klín e_ {k}}

.

Horní index ${ displaystyle { widehat { cdot}}}$ znamená, že termín je vynechán. (Zobrazeno ${ displaystyle d_ {k} circ d_ {k + 1} = 0}$ je přímočarý; alternativně tato identita také následuje pomocí # Self-dualita komplexu Koszul.)

Všimněte si, že ${ displaystyle bigwedge ^ {1} E = E}$ a ${ displaystyle d_ {1} = s}$ . Všimněte si také toho ${ displaystyle bigwedge ^ {r} E simeq R}$ ; tento izomorfismus není kanonický (například volba a objemová forma v diferenciální geometrii poskytuje příklad takového izomorfismu.)

Li ${ displaystyle E = R ^ {r}}$ (tj. je vybrán objednaný základ), poté s uvedením R-lineární mapa ${ displaystyle s dvojtečka R ^ {r} do R}$ znamená poskytnutí konečné posloupnosti ${ displaystyle s_ {1}, dots, s_ {r}}$ prvků v R (jmenovitě vektor řádku) a poté jeden nastaví ${ displaystyle K _ { bullet} (s_ {1}, dots, s_ {r}) = K _ { bullet} (s).}$

Li M je definitivně generován R-module, pak se nastaví:

{ displaystyle K _ { bullet} (s, M) = K _ { odrážka} (s) otimes _ {R} M}

,

což je opět řetězový komplex s indukovaným diferenciálem ${ displaystyle (d otimes 1_ {M}) (v otimes m) = d (v) otimes m}$ .

The i-th homologie komplexu Koszul

{ displaystyle operatorname {H} _ {i} (K _ { bullet} (s, M)) = operatorname {ker} (d_ {i} otimes 1_ {M}) / operatorname {im} (d_ {i + 1} častěji 1_ {M})}

se nazývá i-tá Koszulova homologie. Například pokud ${ displaystyle E = R ^ {r}}$ a ${ displaystyle s = [s_ {1} cdots s_ {r}]}$ je řádkový vektor se záznamy v R, pak ${ displaystyle d_ {1} častěji 1_ {M}}$ je

{ displaystyle s dvojtečka M ^ {r} až M, , (m_ {1}, tečky, m_ {r}) mapsto s_ {1} m_ {1} + tečky + s_ {r} m_ {r}}

a tak

{ displaystyle operatorname {H} _ {0} (K _ { bullet} (s, M)) = M / (s_ {1}, dots, s_ {r}) M = R / (s_ {1} , dots, s_ {r}) otimes _ {R} M.}

Podobně,

{ displaystyle operatorname {H} _ {r} (K _ { bullet} (s, M)) = {m v M: s_ {1} m = s_ {2} m = dots = s_ {r } m = 0 } = operatorname {Hom} _ {R} (R / (s_ {1}, dots, s_ {r}), M).}

Koszulské komplexy v nízkých rozměrech

Vzhledem k komutativnímu kruhu Rprvek X v Ra R-modul M, násobení X výnosy a homomorfismus z R-moduly,

{ displaystyle M až M.}

Vzhledem k tomu, že řetězový komplex (jejich zařazením do stupňů 1 a 0 a přidáním nul jinde) je označeno ${ displaystyle K (x, M)}$ . Podle konstrukce jsou homologie

{ displaystyle H_ {0} (K (x, M)) = M / xM, H_ {1} (K (x, M)) = operatorname {Ann} _ {M} (x) = {m v M, xm = 0 },}

the zničit z X v MKomplex Koszul a jeho homologie tedy kódují základní vlastnosti násobení pomocí X.

Tento řetězový komplex ${ displaystyle K _ { bullet} (x)}$ se nazývá Koszul komplex z R s ohledem na X, jako v #Definice. Komplex Koszul pro pár ${ displaystyle (x, y) v R ^ {2}}$ je

{ displaystyle 0 až R { xrightarrow { d_ {2} }} R ^ {2} { xrightarrow { d_ {1} }} R až 0,}

s maticemi ${ displaystyle d_ {1}}$ a ${ displaystyle d_ {2}}$ dána

{ displaystyle d_ {1} = { begin {bmatrix} x & y end {bmatrix}}}

a

{ displaystyle d_ {2} = { begin {bmatrix} -y x end {bmatrix}}.}

Všimněte si, že ${ displaystyle d_ {i}}$ se aplikuje vlevo. The cykly ve stupni 1 jsou pak přesně lineární vztahy na prvcích X a y, zatímco hranice jsou triviální vztahy. První Koszulova homologie H₁(K._•(X, y)) proto měří přesně vztahy mod triviální vztahy. S více elementy vyšší dimenze Koszul homologií měří jeho verze na vyšší úrovni.

V případě, že prvky ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, tečky, x_ {n}}$ tvoří a pravidelná sekvence, všechny moduly vyšší homologie komplexu Koszul jsou nulové.

Příklad

Li k je pole a ${ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, tečky, X_ {d}}$ jsou neurčití a R je polynomický kruh ${ displaystyle k [X_ {1}, X_ {2}, tečky, X_ {d}]}$ , komplex Koszul ${ displaystyle K _ { bullet} (X_ {i})}$ na ${ displaystyle X_ {i}}$ Formuje beton zdarma R-rozlišení k.

Vlastnosti homologie Koszul

Nechat E být modulem s konečnou hodností R, nechť ${ displaystyle s dvojtečka E až R}$ být R-lineární mapa, a nechte t být prvkem R. Nechat ${ displaystyle K (s, t)}$ být komplexem Koszul v ${ displaystyle (s, t) dvojtečka E oplus R až R}$ .

Použitím ${ displaystyle wedge ^ {k} (E oplus R) = oplus _ {i = 0} ^ {k} bigwedge ^ {ki} E otimes bigwedge ^ {i} R = bigwedge ^ {k } E oplus bigwedge ^ {k-1} E}$ , existuje přesná sekvence komplexů:

{ displaystyle 0 až K (s) až K (s, t) až K (s) [- 1] až 0}

kde [-1] znamená posun stupně o -1 a ${ displaystyle d_ {K (s) [- 1]} = - d_ {K (s)}}$ . Jedna poznámka:^[1] pro ${ displaystyle (x, y)}$ v ${ displaystyle wedge ^ {k} E oplus bigwedge ^ {k-1} E}$ ,

{ displaystyle d_ {K (s, t)} ((x, y)) = (d_ {K (s)} x + ty, d_ {K (s) [- 1]} y).}

V jazyce homologická algebra, výše uvedené znamená, že ${ displaystyle K (s, t)}$ je mapovací kužel z ${ displaystyle t dvojtečka K (s) až K (s)}$ .

Vezmeme-li dlouhý přesný sled homologií, získáme:

{ displaystyle cdots to operatorname {H} _ {i} (K (s)) { overset {t} { to}} operatorname {H} _ {i} (K (s)) to operatorname {H} _ {i} (K (s, t)) to operatorname {H} _ {i-1} (K (s)) { overet {t} { to}} cdots. }

Tady spojující homomorfismus

{ displaystyle delta: operatorname {H} _ {i + 1} (K (s) [- 1]) = operatorname {H} _ {i} (K (s)) na operatorname {H} _ {i} (K (s))}

se počítá následovně. Podle definice, ${ displaystyle delta ([x]) = [d_ {K (s, t)} (y)]}$ kde y je prvek ${ displaystyle K (s, t)}$ které se mapují X. Od té doby ${ displaystyle K (s, t)}$ je přímá suma, můžeme si jednoduše vzít y být (0, X). Pak časný vzorec pro ${ displaystyle d_ {K (s, t)}}$ dává ${ displaystyle delta ([x]) = t [x]}$ .

Výše uvedenou přesnou posloupnost lze použít k prokázání následujícího.

Teorém — ^[2] Nechat R být prsten a M modul nad ním. Pokud sekvence ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, cdots, x_ {r}}$ prvků R je pravidelná sekvence na M, pak

{ displaystyle operatorname {H} _ {i} (K (x_ {1}, dots, x_ {r}) otimes M) = 0}

pro všechny ${ displaystyle i geq 1}$ . Zejména když M = R, to znamená

{ displaystyle 0 to wedge ^ {r} R ^ {r} { overset {d_ {r}} { to}} wedge ^ {r-1} R ^ {r} to cdots to wedge ^ {2} R ^ {r} { overset {d_ {2}} { to}} R ^ {r} { overset {[x_ {1} cdots x_ {r}]} { to }} R to R / (x_ {1}, cdots, x_ {r}) to 0}

je přesný; tj., ${ displaystyle K (x_ {1}, tečky, x_ {r})}$ je R-bezplatné rozlišení z ${ displaystyle R / (x_ {1}, tečky, x_ {r})}$ .

Důkaz indukcí dne r. Li ${ displaystyle r = 1}$ , pak ${ displaystyle operatorname {H} _ {1} (K (x_ {1}; M)) = operatorname {Ann} _ {M} (x_ {1}) = 0}$ . Dále předpokládejme, že tvrzení platí pro r - 1. Potom pomocí výše uvedené přesné posloupnosti člověk uvidí ${ displaystyle operatorname {H} _ {i} (K (x_ {1}, dots, x_ {r}; M)) = 0}$ pro všechny ${ displaystyle i geq 2}$ . Zmizení platí také pro ${ displaystyle i = 1}$ , od té doby ${ displaystyle x_ {r}}$ je nonzerodivisor na ${ displaystyle operatorname {H} _ {0} (K (x_ {1}, tečky, x_ {r-1}; M)) = M / (x_ {1}, tečky, x_ {r-1 }) M.}$ ${ displaystyle square}$

Důsledek — ^[3] Nechat R, M být jako výše a ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, cdots, x_ {n}}$ posloupnost prvků R. Předpokládejme, že existuje prsten S, an S-pravidelná posloupnost ${ displaystyle y_ {1}, y_ {2}, cdots, y_ {n}}$ v S a kruhový homomorfismus S → R že mapy ${ displaystyle y_ {i}}$ na ${ displaystyle x_ {i}}$ . (Například lze vzít ${ displaystyle S = mathbb {Z} [y_ {1}, cdots, y_ {n}]}$ .) Pak

{ displaystyle operatorname {H} _ {i} (K (x_ {1}, dots, x_ {n}) otimes _ {R} M) = operatorname {Tor} _ {i} ^ {S} (S / (y_ {1}, dots, y_ {n}), M).}

kde Tor označuje Tor funktor a M je S- modul prošel S → R.

Důkaz: Podle věty aplikované na S a S jako S- modul, vidíme K.(y₁, ..., y_n) je S- bezplatné rozlišení S/(y₁, ..., y_n). Podle definice tedy i-th homologie ${ displaystyle K (y_ {1}, tečky, y_ {n}) další _ {S} M}$ je pravá strana výše uvedeného. Na druhou stranu, ${ displaystyle K (y_ {1}, tečky, y_ {n}) otimes _ {S} M = K (x_ {1}, dots, x_ {n}) otimes _ {R} M}$ podle definice S- struktura modulu zapnuta M. ${ displaystyle square}$

Důsledek — ^[4] Nechat R, M být jako výše a ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, cdots, x_ {n}}$ posloupnost prvků R. Pak oba ideální ${ displaystyle I = (x_ {1}, x_ {2}, cdots, x_ {n})}$ a anihilátor z M zničit

{ displaystyle operatorname {H} _ {i} (K (x_ {1}, dots, x_ {n}) otimes M)}

pro všechny i.

Důkaz: Let S = R[y₁, ..., y_n]. Otáčet se M do S-modul skrz prstencový homomorfismus S → R, y_i → X_i a R an S- modul prošel y_i → 0. Předcházejícím důsledkem ${ displaystyle operatorname {H} _ {i} (K (x_ {1}, dots, x_ {n}) otimes M) = operatorname {Tor} _ {i} ^ {S} (R, M )}$ a pak

{ displaystyle operatorname {Ann} _ {S} ( operatorname {Tor} _ {i} ^ {S} (R, M)) supset operatorname {Ann} _ {S} (R) + operatorname { Ann} _ {S} (M) supset (y_ {1}, dots, y_ {n}) + operatorname {Ann} _ {R} (M) + (y_ {1} -x_ {1}, ..., y_ {n} -x_ {n}).}

{ displaystyle square}

Pro místní prsten platí obrácení věty. Obecněji,

Teorém — ^[5] Nechat R být prsten a M nenulový konečně vygenerovaný modul R . Li X₁, X₂, ..., X_r jsou prvky Jacobson radikální z R, pak následující jsou ekvivalentní:

Sekvence ${ displaystyle x_ {1}, tečky, x_ {r}}$ je pravidelná sekvence na M,
${ displaystyle operatorname {H} _ {1} (K (x_ {1}, dots, x_ {r}) otimes M) = 0}$ ,
${ displaystyle operatorname {H} _ {i} (K (x_ {1}, dots, x_ {r}) otimes M) = 0}$ pro všechny i ≥ 1.

Důkaz: Musíme ukázat pouze 2. znamená 1., zbytek je jasný. Argumentujeme indukcí dne r. Pouzdro r = 1 je již znám. Nechat X' označit X₁, ..., X_r-1. Zvážit

{ displaystyle cdots to operatorname {H} _ {1} (K (x '; M)) { overset {x_ {r}} { to}} operatorname {H} _ {1} (K (x '; M)) to operatorname {H} _ {1} (K (x_ {1}, dots, x_ {r}; M)) = 0 to M / x'M { overset { x_ {r}} { to}} cdots.}

Od prvního ${ displaystyle x_ {r}}$ je surjektivní, ${ displaystyle N = x_ {r} N}$ s ${ displaystyle N = operatorname {H} _ {1} (K (x '; M))}$ . Podle Nakayamovo lemma, ${ displaystyle N = 0}$ a tak X' je pravidelná sekvence indukční hypotézou. Od druhého ${ displaystyle x_ {r}}$ je injektivní (tj. není noderivátor), ${ displaystyle x_ {1}, tečky, x_ {r}}$ je pravidelná sekvence. (Poznámka: podle Nakayamova lemmatu požadavek ${ displaystyle M / (x_ {1}, tečky, x_ {r}) M neq 0}$ je automatické.) ${ displaystyle square}$

Tenzorové produkty komplexů Koszul

Obecně, pokud C, D jsou řetězové komplexy, pak jejich tenzorový produkt ${ displaystyle C otimes D}$ je řetězový komplex daný

{ displaystyle (C otimes D) _ {n} = součet _ {i + j = n} C_ {i} otimes D_ {j}}

s diferenciálem: pro všechny homogenní prvky X, y,

{ displaystyle d_ {C otimes D} (x otimes y) = d_ {C} (x) otimes y + (- 1) ^ {| x |} x otimes d_ {D} (y)}

kde |X| je stupeň X.

Tato konstrukce se týká zejména komplexů Koszul. Nechat E, F být moduly s konečnou hodností a nechte ${ displaystyle s dvojtečka E až R}$ a ${ displaystyle t dvojtečka F až R}$ být dva R-lineární mapy. Nechat ${ displaystyle K (s, t)}$ být Koszulovým komplexem lineární mapy ${ displaystyle (s, t) dvojtečka E oplus F až R}$ . Pak jako komplexy

{ displaystyle K (s, t) simeq K (s) otimes K (t).}

Chcete-li to vidět, je pohodlnější pracovat s vnější algebrou (na rozdíl od vnějších sil). Definujte odstupňovanou derivaci stupně ${ displaystyle -1}$

{ displaystyle d_ {s}: klín E k klín E}

požadováním: pro všechny homogenní prvky X, y v ΛE,

${ displaystyle d_ {s} (x) = s (x)}$ když ${ displaystyle | x | = 1}$
${ displaystyle d_ {s} (x klín y) = d_ {s} (x) klín y + (- 1) ^ {| x |} x klín d_ {s} (y)}$

Jeden to snadno uvidí ${ displaystyle d_ {s} circ d_ {s} = 0}$ (indukce na stupeň) a že akce ${ displaystyle d_ {s}}$ o homogenních prvcích souhlasí s rozdíly v #Definice.

Nyní máme ${ displaystyle klín (E oplus F) = klín E mnohokrát klín F}$ jak odstupňované R- moduly. Podle definice tenzorového produktu zmíněné v úvodu

{ Displaystyle d_ {K (s) otimes K (t)} (e otimes 1 + 1 otimes f) = d_ {K (s)} (e) otimes 1 + 1 otimes d_ {K (t )} (f) = s (e) + t (f) = d_ {K (s, t)} (e + f).}

Od té doby ${ displaystyle d_ {K (s) mnohokrát K (t)}}$ a ${ displaystyle d_ {K (s, t)}}$ jsou derivace stejného typu, to znamená ${ displaystyle d_ {K (s) mnohokrát K (t)} = d_ {K (s, t)}.}$

Všimněte si zejména

{ displaystyle K (x_ {1}, x_ {2}, tečky, x_ {r}) simeq K (x_ {1}) otimes K (x_ {2}) otimes cdots otimes K (x_ {r})}

.

Další návrh ukazuje, jak koszulský komplex prvků kóduje některé informace o sekvencích v jimi generovaném ideálu.

Tvrzení — Nechat R být prsten a Já = (X₁, ..., X_n) ideál generovaný některými n-elementy. Pak pro všechny R-modul M a jakékoli prvky y₁, ..., y_r v Já,

{ displaystyle operatorname {H} _ {i} (K (x_ {1}, dots, x_ {n}, y_ {1}, dots, y_ {r}; M)) simeq bigoplus _ { i = j + k} operatorname {H} _ {j} (K (x_ {1}, dots, x_ {n}; M)) otimes wedge ^ {k} R ^ {r}.}

kde ${ displaystyle wedge ^ {k} R ^ {r}}$ je považován za komplex s nulovým rozdílem. (Ve skutečnosti je rozklad na úrovni řetězce).

Důkaz: (snadný, ale zatím vynechán)

Jako aplikaci můžeme ukázat hloubkovou citlivost Koszulovy homologie. Vzhledem k definitivně generovanému modulu M přes prsten R(podle jedné) definice hloubka z M s ohledem na ideál Já je supremum délek všech pravidelných sekvencí prvků z Já na M. Označuje to ${ displaystyle operatorname {hloubka} (I, M)}$ . Připomeňme, že M-pravidelná posloupnost X₁, ..., X_n v ideálu Já je maximální, pokud Já neobsahuje žádný nonzerodivisor ${ displaystyle M / (x_ {1}, tečky, x_ {n}) M}$ .

Koszulova homologie poskytuje velmi užitečnou charakteristiku hloubky.

Teorém (citlivost na hloubku) — Nechat R být noetherianským prstenem, X₁, ..., X_n prvky R a Já = (X₁, ..., X_n) nimi vytvořený ideál. Pro konečně vygenerovaný modul M přes R, pokud, pro nějaké celé číslo m,

{ displaystyle operatorname {H} _ {i} (K (x_ {1}, dots, x_ {n}) otimes M) = 0}

pro všechny i > m,

zatímco

{ displaystyle operatorname {H} _ {m} (K (x_ {1}, tečky, x_ {n}) další M) neq 0,}

pak každý maximální M-pravidelná sekvence v Já má délku n - m (zejména všechny mají stejnou délku). Jako následek,

{ displaystyle operatorname {depth} (I, M) = n-m}

.

Důkaz: Pro zesvětlení notací napíšeme H (-) pro H (K.(-)). Nechat y₁, ..., y_s být maximem M-pravidelná sekvence v ideálu Já; označíme tuto posloupnost ${ displaystyle { podtržení {y}}}$ . Nejprve ukážeme indukcí ${ displaystyle l}$ , tvrdí, že ${ displaystyle operatorname {H} _ {i} ({ podtržení {y}}, x_ {1}, dots, x_ {l}; M)}$ je ${ displaystyle operatorname {Ann} _ {M / { podtržení {y}} M} (x_ {1}, dots, x_ {l})}$ -li ${ displaystyle i = l}$ a je nula, pokud ${ displaystyle i> l}$ . Základní případ ${ displaystyle l = 0}$ je jasné z # Vlastnosti homologie Koszul. Z dlouhé přesné sekvence Koszulových homologií a indukční hypotézy

{ displaystyle operatorname {H} _ {l} left ({ underline {y}}, x_ {1}, dots, x_ {l}; M right) = operatorname {ker} left (x_ {l}: operatorname {Ann} _ {M / { underline {y}} M} (x_ {1}, dots, x_ {l-1}) to operatorname {Ann} _ {M / { underline {y}} M} (x_ {1}, dots, x_ {l-1}) right)}

,

který je ${ displaystyle operatorname {Ann} _ {M / { podtržení {y}} M} (x_ {1}, dots, x_ {l}).}$ Stejným argumentem platí i zmizení ${ displaystyle i> l}$ . Tím je dokončen důkaz o reklamaci.

Nyní to z tvrzení a raného tvrzení vyplývá ${ displaystyle operatorname {H} _ {i} (x_ {1}, dots, x_ {n}; M) = 0}$ pro všechny i > n - s. Na závěr n - s = m, zbývá ukázat, že je nenulová, pokud i = n - s. Od té doby ${ displaystyle { podtržení {y}}}$ je maximum M-pravidelná sekvence v Já, ideál Já je obsažen v sadě všech nulových jednotek na ${ displaystyle M / { podtržení {y}} M}$ , konečné spojení přidružených prvočísel modulu. Díky prvotnímu vyhýbání se tedy existuje nenulová hodnota proti v ${ displaystyle M / { podtržení {y}} M}$ takhle ${ displaystyle I podmnožina { mathfrak {p}} = operatorname {Ann} _ {R} (v)}$ , což znamená,

{ displaystyle 0 neq v in operatorname {Ann} _ {M / { podtržení {y}} M} (I) simeq operatorname {H} _ {n} left (x_ {1}, tečky, x_ {n}, { podtržení {y}}; M vpravo) = operatorname {H} _ {ns} (x_ {1}, dots, x_ {n}; M) otimes wedge ^ {s} R ^ {s}.}

{ displaystyle square}

Self-dualita

Existuje přístup ke komplexu Koszul, který používá a komplex řetězců místo řetězového komplexu. Jak se ukázalo, výsledkem je v zásadě stejný komplex (skutečnost známá jako sebe-dualita Koszulova komplexu).

Nechat E být volným modulem konečné pozice r přes prsten R. Pak každý prvek E z E vede k vnějšímu násobení vlevo E:

{ displaystyle l_ {e}: klín ^ {k} E k klín ^ {k + 1} E, , x mapsto e klín x.}

Od té doby ${ displaystyle e klín e = 0}$ , my máme: ${ displaystyle l_ {e} circ l_ {e} = 0}$ ; to je

{ displaystyle 0 to R { overset {1 mapsto e} { to}} wedge ^ {1} E { overset {l_ {e}} { to}} wedge ^ {2} E na cdots na klín ^ {r} V na 0}

je komplex řetězců bezplatných modulů. Tento komplex, nazývaný také Koszulův komplex, je komplex používaný v (Eisenbud 1995 ). Vezmeme-li duální, existuje komplex:

{ displaystyle 0 to ( wedge ^ {r} E) ^ {*} to ( wedge ^ {r-1} E) ^ {*} to cdots to ( wedge ^ {2} E ) ^ {*} to ( wedge ^ {1} E) ^ {*} to R to 0}

.

Použití izomorfismu ${ displaystyle wedge ^ {k} E simeq ( wedge ^ {r-k} E) ^ {*} simeq wedge ^ {r-k} (E ^ {*})}$ , komplex ${ displaystyle ( klín E, l_ {e})}$ se shoduje s komplexem Koszul v #Definice.

Použití

Komplex Koszul je zásadní pro definování společného spektra n-tice dojíždění ohraničené lineární operátory v Banachův prostor.^{[Citace je zapotřebí ]}

Viz také

Poznámky

^ Podle linearity můžeme předpokládat ${ displaystyle (x, y) = (e_ {1} + epsilon) klín e_ {2} klín cdots klín e_ {k} v klín ^ {k} (E oplus R)}$ kde ${ displaystyle R simeq R epsilon podmnožina E oplus R}$ . Pak
${ displaystyle d_ {K (s, t)} ((x, y)) = (s (e_ {1}) + t) e_ {2} klín cdots klín e_ {k} + součet _ { i = 2} ^ {k} (- 1) ^ {i + 1} s (e_ {i}) (e_ {1} + epsilon) klín e_ {2} klín cdots { widehat {e_ { i}}} cdots wedge e_ {k}}$ ,
který je ${ displaystyle (d_ {K (s)} x + ty, -d_ {K (s)} y)}$ .
^ Matsumura, Věta 16.5. (i)
^ Eisenbud Cvičení 17.10.
^ Serre, Ch IV, A § 2, návrh 4.
^ Matsumura, Věta 16.5. ii)

Reference

David Eisenbud, Komutativní algebra. S pohledem na algebraickou geometrii, Postgraduální texty z matematiky, sv. 150, Springer-Verlag, New York, 1995. ISBN 0-387-94268-8
William Fulton (1998), Teorie křižovatky, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 2 (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-62046-4, PAN 1644323
Matsumura, Hideyuki (1989), Komutativní teorie prstenů, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2. vydání), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6
Serre, Jean-Pierre (1975), Algèbre locale, Multiplicités„Cours au Collège de France, 1957–1958, redaktorka Pierre Gabriel. Troisième édition, 1975. Přednášky z matematiky (ve francouzštině), 11, Berlín, New York: Springer-Verlag

externí odkazy

Melvin Hochster, Matematika 711: Přednáška 3. října 2007 (zejména poslední část).

[1] Podle linearity můžeme předpokládat ${ displaystyle (x, y) = (e_ {1} + epsilon) klín e_ {2} klín cdots klín e_ {k} v klín ^ {k} (E oplus R)}$ kde ${ displaystyle R simeq R epsilon podmnožina E oplus R}$ . Pak
${ displaystyle d_ {K (s, t)} ((x, y)) = (s (e_ {1}) + t) e_ {2} klín cdots klín e_ {k} + součet _ { i = 2} ^ {k} (- 1) ^ {i + 1} s (e_ {i}) (e_ {1} + epsilon) klín e_ {2} klín cdots { widehat {e_ { i}}} cdots wedge e_ {k}}$ ,
který je ${ displaystyle (d_ {K (s)} x + ty, -d_ {K (s)} y)}$ .

[2] Matsumura, Věta 16.5. (i)

[3] Eisenbud Cvičení 17.10.

[4] Serre, Ch IV, A § 2, návrh 4.

[5] Matsumura, Věta 16.5. ii)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]