Doplněk (teorie množin) - Complement (set theory)

Li

A

je oblast na tomto obrázku zbarvená červeně ...

... pak doplněk

A

je všechno ostatní.

v teorie množin, doplněk a soubor $A$ , často označované ${ displaystyle A ^ {c}}$ (nebo ${ displaystyle A '}$ ),^[1]^[2] jsou elementy ne v $A$ .^[3]

Když jsou považovány všechny uvažované soubory podmnožiny dané sady $U$ , absolutní doplněk z $A$ je sada prvků v $U$ , ale ne v $A$ .

The relativní doplněk z $A$ s ohledem na sadu $B$ , také nazývaný nastavený rozdíl z $B$ a $A$ , psaný $B \ A$ , je sada prvků v $B$ ale ne v $A$ .^[1]

Absolutní doplněk

The absolutní doplněk z

A

(levý kruh) dovnitř U:

{ displaystyle A ^ {c} = U setminus A}

.

Definice

Li $A$ je sada, pak absolutní doplněk z $A$ (nebo jednoduše doplněk $A$ ) je sada prvků, které nejsou v $A$ (v rámci větší množiny, která je implicitně definována). Jinými slovy, pojďme $U$ být soubor, který obsahuje všechny zkoumané prvky; pokud není třeba zmínit $U$ , buď proto, že to bylo dříve specifikováno, nebo je to zřejmé a jedinečné, pak absolutní doplněk $A$ je relativní doplněk $A$ v $U$ :^[4]

{ displaystyle A ^ {c} = U-A}

.

Nebo formálně:

{ displaystyle A ^ {c} = {x v U mid x notin A }.}

Absolutní doplněk $A$ je obvykle označeno ${ displaystyle A ^ {c}}$ .^[1] Mezi další notace patří ${ displaystyle { overline {A}}}$ , ${ displaystyle A '}$ ,^[3] ${ displaystyle doplněk _ {U} A}$ , a ${ displaystyle doplněk A}$ .^[5]

Příklady

Předpokládejme, že vesmír je soubor celá čísla. Li $A$ je množina lichých čísel, pak doplněk $A$ je sada sudých čísel. Li $B$ je sada násobky ze 3, pak doplněk $B$ je množina čísel shodný na 1 nebo 2 modulo 3 (nebo, jednodušeji, celá čísla, která nejsou násobky 3).
Předpokládejme, že vesmír je standardní balíček 52 karet. Pokud je sada $A$ je piky, pak doplněk $A$ je svaz obleků klubů, diamantů a srdcí. Pokud je sada $B$ je spojení obleků klubů a diamantů, pak doplněk $B$ je spojení srdcových a piky.

Vlastnosti

Nechat $A$ a $B$ být dvě sady ve vesmíru $U$ . Následující identity zachycují důležité vlastnosti absolutních doplňků:

De Morganovy zákony:^[6]

${ displaystyle left (A cup B right) ^ {c} = A ^ {c} cap B ^ {c}.}$
${ displaystyle left (A cap B right) ^ {c} = A ^ {c} cup B ^ {c}.}$

Doplňkové zákony:^[6]

${ displaystyle A cup A ^ {c} = U.}$
${ displaystyle A cap A ^ {c} = varnothing.}$
${ displaystyle varnothing ^ {c} = U.}$
${ displaystyle U ^ {c} = varnothing.}$
${ displaystyle { text {If}} A subseteq B { text {, pak}} B ^ {c} subseteq A ^ {c}.}$
(vyplývá to z rovnocennosti podmíněného s jeho kontrapozitivní ).

Involuce nebo zákon o dvojím doplnění:

${ displaystyle left (A ^ {c} right) ^ {c} = A.}$

Vztahy mezi relativními a absolutními doplňky:

${ displaystyle A setminus B = A cap B ^ {c}.}$
${ displaystyle (A setminus B) ^ {c} = A ^ {c} pohár B.}$

Vztah s nastaveným rozdílem:

${ displaystyle A ^ {c} setminus B ^ {c} = B setminus A.}$

První dva zákony komplementu výše ukazují, že pokud $A$ není prázdný, správná podmnožina z $U$ , pak ${A, A C}$ je rozdělit z $U$ .

Relativní doplněk

Definice

Li $A$ a $B$ jsou sady, pak relativní doplněk z $A$ v $B$ ,^[6] také nazývaný nastavený rozdíl z $B$ a $A$ ,^[7] je sada prvků v $B$ ale ne v $A$ .

The relativní doplněk z

A

(levý kruh) dovnitř

B

(pravý kruh):

{ displaystyle B cap A ^ {c} = B setminus A}

Relativní doplněk $A$ v $B$ je označen $B ∖ A$ podle Norma ISO 31-11. Někdy je to psáno $B - A$ ,^[1] ale tento zápis je nejednoznačný, protože v některých kontextech jej lze interpretovat jako množinu všech prvků $b - A$ , kde $b$ je převzato z $B$ a $A$ z $A$ .

Formálně:

{ displaystyle B setminus A = {x v B mid x notin A }.}

Příklady

${ displaystyle {1,2,3 } setminus {2,3,4 } = {1 }}$ .
${ displaystyle {2,3,4 } setminus {1,2,3 } = {4 }}$ .
Li ${ displaystyle mathbb {R}}$ je sada reálná čísla a ${ displaystyle mathbb {Q}}$ je sada racionální čísla, pak ${ displaystyle mathbb {R} setminus mathbb {Q}}$ je sada iracionální čísla.

Vlastnosti

Nechat $A$ , $B$ , a $C$ být tři sady. Následující identity zachytit pozoruhodné vlastnosti relativních doplňků:

${ Displaystyle C setminus (A cap B) = (C setminus A) pohár (C setminus B)}$ .
${ Displaystyle C setminus (A cup B) = (C setminus A) cap (C setminus B)}$ .
${ displaystyle C setminus (B setminus A) = (C cap A) pohár (C setminus B)}$ ,
s důležitým zvláštním případem ${ displaystyle C setminus (C setminus A) = (C cap A)}$ demonstrovat, že průnik lze vyjádřit pouze pomocí operace relativního doplňku.
${ Displaystyle (B setminus A) cap C = (B cap C) setminus A = B cap (C setminus A)}$ .
${ displaystyle (B setminus A) pohár C = (B pohár C) setminus (A setminus C)}$ .
${ displaystyle A setminus A = emptyset}$ .
${ displaystyle emptyset setminus A = emptyset}$ .
${ displaystyle A setminus emptyset = A}$ .
${ displaystyle A setminus U = emptyset}$ .

Doplňkový vztah

A binární relace R je definována jako podmnožina a produkt souprav X × Y. The doplňkový vztah ${ displaystyle { bar {R}}}$ je množinovým doplňkem R v X × Y. Doplněk vztahu R lze psát

{ displaystyle { bar {R}} = (X krát Y) setminus R.}

Tady, R se často považuje za logická matice s řádky představujícími prvky Xa sloupce prvky Y. Pravda aRb odpovídá 1 v řádku Asloupec b. Vytváření doplňkového vztahu k R pak odpovídá přepnutí všech 1 s na 0 s a 0 s na 1 s pro logickou matici doplňku.

Dohromady s složení vztahů a konverzní vztahy doplňkové vztahy a algebra množin jsou elementární operace z počet vztahů.

LaTeX notace

V Latex jazyk sazby, příkaz setminus^[8] se obvykle používá k vykreslení nastaveného rozdílového symbolu, který je podobný a obrácené lomítko symbol. Když je vykreslen, setminus příkaz vypadá stejně jako obrácené lomítko, kromě toho, že má o něco více prostoru před a za lomítkem, podobně jako sekvence LaTeX mathbin { zpětné lomítko}. Varianta smallsetminus je k dispozici v balíčku amssymb.

V programovacích jazycích

Nějaký programovací jazyky mít sady mezi jejich vestavěnými datové struktury. Taková datová struktura se chová jako a konečná množina, to znamená, že se skládá z konečného počtu dat, která nejsou konkrétně uspořádána, a lze je tedy považovat za prvky množiny. V některých případech nejsou prvky nutné odlišit a kódy datové struktury multisety spíše než sady. Tyto programovací jazyky mají operátory nebo funkce pro výpočet doplňku a množinových rozdílů.

Tyto operátory lze obecně použít také na datové struktury, které ve skutečnosti nejsou matematické množiny, jako například seřazené seznamy nebo pole. Z toho vyplývá, že některé programovací jazyky mohou mít funkci nazvanou set_difference, i když nemají žádnou datovou strukturu pro sady.

Viz také

Poznámky

^ ^A ^b ^C ^d „Kompendium matematických symbolů“. Matematický trezor. 2020-03-01. Citováno 2020-09-04.
^ „Doplňte a nastavte rozdíl“. web.mnstate.edu. Citováno 2020-09-04.
^ ^A ^b „Doplněk (sada) Definice (Ilustrovaný slovník matematiky)“. www.mathsisfun.com. Citováno 2020-09-04.
^ Soubor, ve kterém se uvažuje o doplňku, je tedy implicitně zmíněn v absolutním doplňku a výslovně zmíněn v relativním doplňku.
^ Bourbaki 1970, str. E II.6.
^ ^A ^b ^C Halmos 1960, str. 17.
^ Devlin 1979, str. 6.
^ [1] Komplexní seznam symbolů LaTeXu

Reference

Bourbaki, N. (1970). Théorie des ensembles (francouzsky). Paris: Hermann. ISBN 978-3-540-34034-8.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Devlin, Keith J. (1979). Základy současné teorie množin. Universitext. Springer. ISBN 0-387-90441-7. Zbl 0407.04003.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Halmos, Paul R. (1960). Naivní teorie množin. Univerzitní série v pregraduální matematice. van Nostrand Company. Zbl 0087.04403.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

externí odkazy

[:0-1] A ^b ^C ^d „Kompendium matematických symbolů“. Matematický trezor. 2020-03-01. Citováno 2020-09-04.

[2] „Doplňte a nastavte rozdíl“. web.mnstate.edu. Citováno 2020-09-04.

[:1-3] A ^b „Doplněk (sada) Definice (Ilustrovaný slovník matematiky)“. www.mathsisfun.com. Citováno 2020-09-04.

[4] Soubor, ve kterém se uvažuje o doplňku, je tedy implicitně zmíněn v absolutním doplňku a výslovně zmíněn v relativním doplňku.

[Bou-5] Bourbaki 1970, str. E II.6.

[Halmos-1960-6] A ^b ^C Halmos 1960, str. 17.

[7] Devlin 1979, str. 6.

[The_Comprehensive_LaTeX_Symbol_List-8] [1] Komplexní seznam symbolů LaTeXu

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

Teorie množin
Přehled	Sada (matematika)
Axiomy	Adjunkce Výběr počitatelný závislý globální Konstrukčnost (V = L) Odhodlání Roztažnost Nekonečno Omezení velikosti Párování Napájecí sada Pravidelnost svaz Martinův axiom Schéma axiomu výměna, nahrazení Specifikace
Operace	kartézský součin Doplněk De Morganovy zákony Nespojitá unie Průsečík Napájecí sada Nastavit rozdíl Symetrický rozdíl svaz
Koncepty Metody	Mohutnost Základní číslovka (velký ) Třída Konstruktivní vesmír Hypotéza kontinua Diagonální argument Živel objednaný pár n-tice Rodina Nutit Osobní korespondence Pořadové číslo Transfinitní indukce Vennův diagram
Soubor typy	Počitatelný Prázdný Konečný (dědičně ) Fuzzy Nekonečný (Dedekind-nekonečný ) Rekurzivní Podmnožina· Nadmnožina Tranzitivní Nespočet Univerzální
Teorie	Alternativní Axiomatický Naivní Cantorova věta Zermelo Všeobecné Principia Mathematica Nové základy Zermelo – Fraenkel von Neumann – Bernays – Gödel Morse – Kelley Kripke – Platek Tarski – Grothendieck
Paradoxy Problémy	Russellův paradox Suslinův problém Paradox Burali-Forti
Set teoretiků	Abraham Fraenkel Bertrand Russell Ernst Zermelo Georg Cantor John von Neumann Kurt Gödel Paul Bernays Paul Cohen Richard Dedekind Thomas Jech Thoralf Skolem Willard Quine