v matematika , zvláště funkční analýza , a Fréchetská algebra , pojmenoval podle Maurice René Fréchet , je asociativní algebra A {displaystyle A} přes nemovitý nebo komplex čísla, která je zároveň také (lokálně konvexní ) Fréchetový prostor . Operace násobení ( A , b ) ↦ A ∗ b {displaystyle (a, b) mapsto a * b} pro A , b ∈ A {displaystyle a, bin A} musí být společně kontinuální .Li { ‖ ⋅ ‖ n } n = 0 ∞ {displaystyle {| cdot | _ {n}} _ {n = 0} ^ {infty}} je vzrůstající rodina[A] z semináře pro topologie z A {displaystyle A} , společná kontinuita násobení je ekvivalentní existenci konstanty C n > 0 {displaystyle C_ {n}> 0} a celé číslo m ≥ n {displaystyle mgeq n} pro každého n {displaystyle n} takhle ‖ A b ‖ n ≤ C n ‖ A ‖ m ‖ b ‖ m {displaystyle | ab | _ {n} leq C_ {n} | a | _ {m} | b | _ {m}} pro všechny A , b ∈ A {displaystyle a, bin A} .[b] Fréchetské algebry se také nazývají B 0 -algebry (Mitiagin, Rolewicz a Żelazko 1962 , Żelazko 2001 chyba harvnb: žádný cíl: CITEREFŻelazko2001 (Pomoc) ).
Fréchetská algebra je m {displaystyle m} -konvexní -li tady existuje taková rodina polo-norem, pro které m = n {displaystyle m = n} . V takovém případě můžeme také provést změnu měřítka seminářů C n = 1 {displaystyle C_ {n} = 1} pro každého n {displaystyle n} a semináře se říká, že jsou submultiplikativní : ‖ A b ‖ n ≤ ‖ A ‖ n ‖ b ‖ n {displaystyle | ab | _ {n} leq | a | _ {n} | b | _ {n}} pro všechny A , b ∈ A . {displaystyle a, bin A.} [C] m {displaystyle m} -konvexní Fréchetovy algebry lze také nazývat Fréchetovy algebry (Husain 1991 , Żelazko 2001 chyba harvnb: žádný cíl: CITEREFŻelazko2001 (Pomoc) ).
Fréchetská algebra může nebo nesmí mít identita živel 1 A {displaystyle 1_ {A}} . Li A {displaystyle A} je unital , to nevyžadujeme ‖ 1 A ‖ n = 1 , {displaystyle | 1_ {A} | _ {n} = 1,} jak se často dělá Banachovy algebry .
Vlastnosti Spojitost násobení. Násobení je samostatně kontinuální -li A k b → A b {displaystyle a_ {k} b o ab} a b A k → b A {displaystyle ba_ {k} o ba} pro každého A , b ∈ A {displaystyle a, bin A} a sekvence A k → A {displaystyle a_ {k} o a} konvergující v Fréchetově topologii A {displaystyle A} . Násobení je společně kontinuální -li A k → A {displaystyle a_ {k} o a} a b k → b {displaystyle b_ {k} o b} naznačit A k b k → A b {displaystyle a_ {k} b_ {k} o ab} . Společná kontinuita násobení je součástí definice fréchetské algebry. Pokud je u prostoru Fréchet se strukturou algebry násobení samostatně spojité, pak je automaticky spojitě spojité (Waelbroeck 1971 Kapitola VII, návrh 1, Palmer 1994 , § {displaystyle S} 2.9).Skupina invertibilních prvků. Li i n proti A {displaystyle invA} je sada invertibilní prvky z A {displaystyle A} , pak inverzní mapa { i n proti A → i n proti A u ↦ u − 1 {displaystyle {egin {cases} invA o invA umapsto u ^ {- 1} end {cases}}} je kontinuální kdyby a jen kdyby i n proti A {displaystyle invA} je G δ {displaystyle G_ {delta}} soubor (Waelbroeck 1971 , Kapitola VII, návrh 2). Na rozdíl od pro Banachovy algebry , i n proti A {displaystyle invA} nemusí být otevřená sada . Li i n proti A {displaystyle invA} je tedy otevřený A {displaystyle A} se nazývá a Q {displaystyle Q} -algebra . (Li A {displaystyle A} stane se nejednotný , pak můžeme sousedit a jednotka na A {displaystyle A} [d] a pracovat s i n proti A + {displaystyle invA ^ {+}} nebo množina kvazi invertiblů[E] může nahradit i n proti A {displaystyle invA} .) Podmínky pro m {displaystyle m} -konvexnost. Fréchetská algebra je m {displaystyle m} -konvexní, pokud a jen pokud pro každého , právě když pro jednoho , rozšiřování rodiny { ‖ ⋅ ‖ n } n = 0 ∞ {displaystyle {| cdot | _ {n}} _ {n = 0} ^ {infty}} seminářů, které topologizují A {displaystyle A} , pro každého m ∈ N {displaystyle min mathbb {N}} tady existuje p ≥ m {displaystyle pgeq m} a C m > 0 {displaystyle C_ {m}> 0} takhle ‖ A 1 A 2 ⋯ A n ‖ m ≤ C m n ‖ A 1 ‖ p ‖ A 2 ‖ p ⋯ ‖ A n ‖ p , {displaystyle | a_ {1} a_ {2} cdots a_ {n} | _ {m} leq C_ {m} ^ {n} | a_ {1} | _ {p} | a_ {2} | _ {p} cdots | a_ {n} | _ {p},} pro všechny A 1 , A 2 , … A n ∈ A {displaystyle a_ {1}, a_ {2}, tečky a_ {n} v A} a n ∈ N {displaystyle nin mathbb {N}} (Mitiagin, Rolewicz a Żelazko 1962 , Lemma 1.2). A komutativní Fréchet Q {displaystyle Q} -algebra je m {displaystyle m} -konvexní (Żelazko 1965 , Věta 13.17). Existují však příklady nekomutativního Frécheta Q {displaystyle Q} -algebry, které nejsou m {displaystyle m} -konvexní (Żelazko 1994 ). Vlastnosti m {displaystyle m} -konvexní Fréchetovy algebry. Fréchetská algebra je m {displaystyle m} -konvexní právě tehdy, pokud se jedná o a počitatelný projektivní limit Banachových algeber (Michael 1952 , Věta 5.1). Prvek A {displaystyle A} je invertibilní právě tehdy, je-li jeho obraz v každé Banachově algebře projektivního limitu invertible (Michael 1952 , Věta 5.2).[F] Viz také (Palmer 1994 , Věta 2.9.6).Příklady Nulové násobení. Li E {displaystyle E} je libovolný prostor Fréchet, můžeme vytvořit strukturu Fréchetovy algebry nastavením E ∗ F = 0 {displaystyle e * f = 0} pro všechny E , F ∈ E {displaystyle e, fin E} .Hladké funkce v kruhu. Nechat S 1 {displaystyle S ^ {1}} být 1 koule . Toto je 1-dimenzionální kompaktní diferencovatelné potrubí , s žádná hranice . Nechat A = C ∞ ( S 1 ) {displaystyle A = C ^ {infty} (S ^ {1})} být množinou nekonečně diferencovatelné funkce s komplexními hodnotami S 1 {displaystyle S ^ {1}} . Toto je jasně algebra nad komplexními čísly, pro bodově násobení. (Použijte produktové pravidlo pro diferenciace .) Je komutativní a konstantní funkce 1 {displaystyle 1} působí jako identita. Definujte spočítatelnou sadu seminářů A {displaystyle A} podle ‖ φ ‖ n = ‖ φ ( n ) ‖ ∞ , φ ∈ A , {displaystyle | varphi | _ {n} = left | varphi ^ {(n)} ight | _ {infty}, qquad varphi v A,} kde ‖ φ ( n ) ‖ ∞ = sup X ∈ S 1 | φ ( n ) ( X ) | {displaystyle left | varphi ^ {(n)} ight | _ {infty} = sup _ {xin {S ^ {1}}} vlevo | varphi ^ {(n)} (x) ight |} označuje nadřazenost absolutní hodnoty n {displaystyle n} th derivát φ ( n ) {displaystyle varphi ^ {(n)}} .[G] Pak podle pravidla produktu pro diferenciaci máme ‖ φ ψ ‖ n = ‖ ∑ i = 0 n ( n i ) φ ( i ) ψ ( n − i ) ‖ ∞ ≤ ∑ i = 0 n ( n i ) ‖ φ ‖ i ‖ ψ ‖ n − i ≤ ∑ i = 0 n ( n i ) ‖ φ ‖ n ′ ‖ ψ ‖ n ′ = 2 n ‖ φ ‖ n ′ ‖ ψ ‖ n ′ , {displaystyle {egin {aligned} | varphi psi | _ {n} & = left | sum _ {i = 0} ^ {n} {n choose i} varphi ^ {(i)} psi ^ {(ni)} ight | _ {infty} & leq sum _ {i = 0} ^ {n} {n vyberte i} | varphi | _ {i} | psi | _ {ni} & leq sum _ {i = 0} ^ {n} {n choose i} | varphi | '_ {n} | psi |' _ {n} & = 2 ^ {n} | varphi | '_ {n} | psi |' _ {n}, konec {zarovnáno} }} kde ( n i ) = n ! i ! ( n − i ) ! , {displaystyle {n choose i} = {frac {n!} {i! (n-i)!}},} označuje binomický koeficient a ‖ ⋅ ‖ n ′ = max k ≤ n ‖ ⋅ ‖ k . {displaystyle | cdot | '_ {n} = max _ {kleq n} | cdot | _ {k}.} Připravené semináře jsou submultiplikativní po změně měřítka pomocí C n = 2 n {displaystyle C_ {n} = 2 ^ {n}} . Sekvence na N {displaystyle mathbb {N}} . Nechat C N {displaystyle mathbb {C} ^ {mathbb {N}}} být prostor komplexně oceněných sekvencí na přirozená čísla N {displaystyle mathbb {N}} . Definujte rostoucí rodinu seminářů na C N {displaystyle mathbb {C} ^ {mathbb {N}}} podle ‖ φ ‖ n = max k ≤ n | φ ( k ) | . {displaystyle | varphi | _ {n} = max _ {kleq n} | varphi (k) |.} S bodovým násobením C N {displaystyle mathbb {C} ^ {mathbb {N}}} je komutativní Fréchetova algebra. Ve skutečnosti je každý seminář submultiplikativní ‖ φ ψ ‖ n ≤ ‖ φ ‖ n ‖ ψ ‖ n {displaystyle | varphi psi | _ {n} leq | varphi | _ {n} | psi | _ {n}} pro φ , ψ ∈ A {displaystyle varphi, psi v A} . Tento m {displaystyle m} -konvexní Fréchetova algebra je od konstantní posloupnosti jednotná 1 ( k ) = 1 , k ∈ N {displaystyle 1 (k) = 1, příbuzný mathbb {N}} je v A {displaystyle A} . ⋃ n = 0 ∞ U n = G . {displaystyle igcup _ {n = 0} ^ {infty} U ^ {n} = G.} Bez ztráty obecnosti můžeme také předpokládat, že prvek identity E {displaystyle e} z G {displaystyle G} je obsažen v U {displaystyle U} . Definujte funkci ℓ : G → [ 0 , ∞ ) {displaystyle ell: G o [0, infty)} podle ℓ ( G ) = min { n ∣ G ∈ U n } . {displaystyle ell (g) = min {nmid gin U ^ {n}}.} Pak ℓ ( G h ) ≤ ℓ ( G ) + ℓ ( h ) {displaystyle ell (gh) leq ell (g) + ell (h)} , a ℓ ( E ) = 0 {displaystyle ell (e) = 0} , protože definujeme U 0 = { E } {displaystyle U ^ {0} = {e}} .[h] Nechat A {displaystyle A} být C {displaystyle mathbb {C}} -vektorový prostor S ( G ) = { φ : G → C | ‖ φ ‖ d < ∞ , d = 0 , 1 , 2 , … } , {displaystyle S (G) = {iggr {} varphi: G o mathbb {C} ,, {iggl |} ,, | varphi | _ {d} kde se konají semináře ‖ ⋅ ‖ d {displaystyle | cdot | _ {d}} jsou definovány ‖ φ ‖ d = ‖ ℓ d φ ‖ 1 = ∑ G ∈ G ℓ ( G ) d | φ ( G ) | . {displaystyle | varphi | _ {d} = | ell ^ {d} varphi | _ {1} = součet _ {gin G} ell (g) ^ {d} | varphi (g) |.} [i] A {displaystyle A} je m {displaystyle m} -konvexní Fréchetova algebra pro konvoluce násobení φ ∗ ψ ( G ) = ∑ h ∈ G φ ( h ) ψ ( h − 1 G ) , {displaystyle varphi * psi (g) = součet _ {hin G} varphi (h) psi (h ^ {- 1} g),} [j] A {displaystyle A} je jednotný, protože G {displaystyle G} je diskrétní a A {displaystyle A} je komutativní právě tehdy G {displaystyle G} je Abelian .Ne m {displaystyle m} -konvexní Fréchetovy algebry. Arenova algebra A = L ω [ 0 , 1 ] = ⋃ p ≥ 1 L p [ 0 , 1 ] {displaystyle A = L ^ {omega} [0,1] = igcup _ {pgeq 1} L ^ {p} [0,1]} je příklad komutativního non- m {displaystyle m} -konvexní Fréchetova algebra s diskontinuální inverzí. Topologie je dána vztahem L p {displaystyle L ^ {p}} normy ‖ F ‖ p = ( ∫ 0 1 | F ( t ) | p d t ) 1 p , F ∈ A , {displaystyle | f | _ {p} = left (int _ {0} ^ {1} | f (t) | ^ {p} dtight) ^ {frac {1} {p}}, qquad fin A,} a násobení je dáno konvoluce funkcí s ohledem na Lebesgueovo opatření na [ 0 , 1 ] {displaystyle [0,1]} (Fragoulopoulou 2005 , Příklad 6.13 (2)). Zobecnění Můžeme upustit od požadavku, aby algebra byla lokálně konvexní, ale přesto úplný metrický prostor. V tomto případě může být podkladový prostor nazýván Fréchetovým prostorem (Waelbroeck 1971 ) nebo F-prostor (Rudin 1973 1,8 (e)).
Je-li požadavek, aby bylo možné spočítat počet seminárních seminářů, algebra se stane lokálně konvexní (LC) nebo lokálně multiplikativně konvexní (LMC) (Michael 1952 , Husain 1991 ). Kompletní LMC algebra se nazývá algebra Arens-Michael (Fragoulopoulou 2005 , Kapitola 1).
Otevřené problémy Snad nejslavnějším, dosud otevřeným problémem teorie topologických algeber je, zda jsou všechny lineární multiplikativní funkcionály na m {displaystyle m} -konvexní Frechetova algebra jsou spojité. Prohlášení, že tomu tak je, je známé jako Michaelova domněnka (Michael 1952 , § {displaystyle S} 12, otázka 1, Palmer 1994 , § {displaystyle S} 3.1).
Poznámky ^ Rostoucí rodina to znamená pro každého A ∈ A , {displaystyle ain A,} ‖ A ‖ 0 ≤ ‖ A ‖ 1 ≤ ⋯ ≤ ‖ A ‖ n ≤ ⋯ {displaystyle | a | _ {0} leq | a | _ {1} leq cdots leq | a | _ {n} leq cdots} . ^ Společná kontinuita množení znamená, že pro každého naprosto konvexní sousedství PROTI {displaystyle V} nuly, existuje naprosto konvexní sousedství U {displaystyle U} nula, pro které U 2 ⊆ PROTI , {displaystyle U ^ {2} subseteq V,} ze kterého vyplývá nerovnost semináře. Naopak, ‖ A k b k − A b ‖ n = ‖ A k b k − A b k + A b k − A b ‖ n ≤ ‖ A k b k − A b k ‖ n + ‖ A b k − A b ‖ n ≤ C n ( ‖ A k − A ‖ m ‖ b k ‖ m + ‖ A ‖ m ‖ b k − b ‖ m ) ≤ C n ( ‖ A k − A ‖ m ‖ b ‖ m + ‖ A k − A ‖ m ‖ b k − b ‖ m + ‖ A ‖ m ‖ b k − b ‖ m ) . {displaystyle {egin {aligned} | a_ {k} b_ {k} -ab | _ {n} & = | a_ {k} b_ {k} -ab_ {k} + ab_ {k} -ab | _ {n } & leq | a_ {k} b_ {k} -ab_ {k} | _ {n} + | ab_ {k} -ab | _ {n} & leq C_ {n} {iggl (} | a_ {k} -a | _ {m} | b_ {k} | _ {m} + | a | _ {m} | b_ {k} -b | _ {m} {iggr)} & leq C_ {n} {iggl ( } | a_ {k} -a | _ {m} | b | _ {m} + | a_ {k} -a | _ {m} | b_ {k} -b | _ {m} + | a | _ {m} | b_ {k} -b | _ {m} {iggr)}. konec {zarovnáno}}} ^ Jinými slovy, an m {displaystyle m} -konvexní Fréchetova algebra je a topologická algebra , ve kterém je topologie dána početnou rodinou submultiplikativních seminářů: p ( F G ) ≤ p ( F ) p ( G ) , {displaystyle p (fg) leq p (f) p (g),} a algebra je kompletní. ^ Li A {displaystyle A} je algebra nad polem k {displaystyle k} , unitizace A + {displaystyle A ^ {+}} z A {displaystyle A} je přímý součet A ⊕ k 1 {displaystyle Aoplus k1} , s násobením definovaným jako ( A + μ 1 ) ( b + λ 1 ) = A b + μ b + λ A + μ λ 1. {displaystyle (a + mu 1) (b + lambda 1) = ab + mu b + lambda a + mu lambda 1.} ^ Li A ∈ A {displaystyle ain A} , pak b ∈ A {displaystyle bin A} je kvazi inverzní pro A {displaystyle a} -li A + b − A b = 0 {displaystyle a + b-ab = 0} . ^ Li A {displaystyle A} je non-unital, nahraďte invertible quasi-invertible. ^ Chcete-li vidět úplnost, dovolte φ k {displaystyle varphi _ {k}} být Cauchyova sekvence. Pak každá derivace φ k ( l ) {displaystyle varphi _ {k} ^ {(l)}} je Cauchyova sekvence v sup normě S 1 {displaystyle S ^ {1}} , a proto konverguje rovnoměrně na spojitou funkci ψ l {displaystyle psi _ {l}} na S 1 {displaystyle S ^ {1}} . Stačí to zkontrolovat ψ l {displaystyle psi _ {l}} je l {displaystyle l} th derivát ψ 0 {displaystyle psi _ {0}} . Ale pomocí základní věta o počtu , a převzetí limitu uvnitř integrálu (pomocí jednotná konvergence ), my máme ψ l ( X ) − ψ l ( X 0 ) = lim k → ∞ ( φ k ( l ) ( X ) − φ k ( l ) ( X 0 ) ) = lim k → ∞ ∫ X 0 X φ k ( l + 1 ) ( t ) d t = ∫ X 0 X ψ l + 1 ( t ) d t . {displaystyle psi _ {l} (x) -psi _ {l} (x_ {0}) = lim _ {k o infty} left (varphi _ {k} ^ {(l)} (x) -varphi _ { k} ^ {(l)} (x_ {0}) ight) = lim _ {k o infty} int _ {x_ {0}} ^ {x} varphi _ {k} ^ {(l + 1)} ( t) dt = int _ {x_ {0}} ^ {x} psi _ {l + 1} (t) dt.} ^ Můžeme nahradit generující sadu U {displaystyle U} s U ∪ U − 1 {displaystyle Ucup U ^ {- 1}} , aby U = U − 1 {displaystyle U = U ^ {- 1}} . Pak ℓ {displaystyle ell} uspokojuje další vlastnost ℓ ( G − 1 ) = ℓ ( G ) {displaystyle ell (g ^ {- 1}) = ell (g)} , a je délková funkce na G {displaystyle G} . ^ To vidět A {displaystyle A} je Fréchetův prostor, pojďme φ n {displaystyle varphi _ {n}} být Cauchyova sekvence. Pak pro každého G ∈ G {displaystyle gin G} , φ n ( G ) {displaystyle varphi _ {n} (g)} je Cauchyova sekvence v C {displaystyle mathbb {C}} . Definovat φ ( G ) {displaystyle varphi (g)} být limitem. Pak ∑ G ∈ S ℓ ( G ) d | φ n ( G ) − φ ( G ) | ≤ ∑ G ∈ S ℓ ( G ) d | φ n ( G ) − φ m ( G ) | + ∑ G ∈ S ℓ ( G ) d | φ m ( G ) − φ ( G ) | ≤ ‖ φ n − φ m ‖ d + ∑ G ∈ S ℓ ( G ) d | φ m ( G ) − φ ( G ) | , {displaystyle {egin {aligned} součet _ {gin S} ell (g) ^ {d} | varphi _ {n} (g) -varphi (g) | & leq sum _ {gin S} ell (g) ^ {d } | varphi _ {n} (g) -varphi _ {m} (g) | + součet _ {gin S} ell (g) ^ {d} | varphi _ {m} (g) -varphi (g) | & leq | varphi _ {n} -varphi _ {m} | _ {d} + součet _ {gin S} ell (g) ^ {d} | varphi _ {m} (g) -varphi (g) |, konec {zarovnáno}}} kde součet se pohybuje přes jakoukoli konečnou podmnožinu S {displaystyle S} z G {displaystyle G} . Nechat ϵ > 0 {displaystyle epsilon> 0} a nechte K. ϵ > 0 {displaystyle K_ {epsilon}> 0} být takový, že ‖ φ n − φ m ‖ d < ϵ {displaystyle | varphi _ {n} -varphi _ {m} | _ {d} pro m , n ≥ K. ϵ {displaystyle m, ngeq K_ {epsilon}} . Necháním m {displaystyle m} běž, máme ∑ G ∈ S ℓ ( G ) d | φ n ( G ) − φ ( G ) | < ϵ {displaystyle sum _ {gin S} ell (g) ^ {d} | varphi _ {n} (g) -varphi (g) | pro n ≥ K. ϵ {displaystyle ngeq K_ {epsilon}} . Shrnutí všech G {displaystyle G} , proto máme ‖ φ n − φ ‖ d < ϵ {displaystyle | varphi _ {n} -varphi | _ {d} pro n ≥ K. ϵ {displaystyle ngeq K_ {epsilon}} . Podle odhadu ∑ G ∈ S ℓ ( G ) d | φ ( G ) | ≤ ∑ G ∈ S ℓ ( G ) d | φ n ( G ) − φ ( G ) | + ∑ G ∈ S ℓ ( G ) d | φ n ( G ) | ≤ ‖ φ n − φ ‖ d + ‖ φ n ‖ d , {displaystyle sum _ {gin S} ell (g) ^ {d} | varphi (g) | leq sum _ {gin S} ell (g) ^ {d} | varphi _ {n} (g) -varphi (g ) | + součet _ {gin S} ell (g) ^ {d} | varphi _ {n} (g) | leq | varphi _ {n} -varphi | _ {d} + | varphi _ {n} | _ {d},} získáváme ‖ φ ‖ d < ∞ {displaystyle | varphi | _ {d} . Protože to platí pro každého d ∈ N {displaystyle din mathbb {N}} , my máme φ ∈ A {displaystyle varphi v A} a φ n → φ {displaystyle varphi _ {n} o varphi} v topologii Fréchet, tak A {displaystyle A} je kompletní. ^ ‖ φ ∗ ψ ‖ d ≤ ∑ G ∈ G ( ∑ h ∈ G ℓ ( G ) d | φ ( h ) | | ψ ( h − 1 G ) | ) ≤ ∑ G , h ∈ G ( ℓ ( h ) + ℓ ( h − 1 G ) ) d | φ ( h ) | | ψ ( h − 1 G ) | = ∑ i = 0 d ( d i ) ( ∑ G , h ∈ G | ℓ i φ ( h ) | | ℓ d − i ψ ( h − 1 G ) | ) = ∑ i = 0 d ( d i ) ( ∑ h ∈ G | ℓ i φ ( h ) | ) ( ∑ G ∈ G | ℓ d − i ψ ( G ) | ) = ∑ i = 0 d ( d i ) ‖ φ ‖ i ‖ ψ ‖ d − i ≤ 2 d ‖ φ ‖ d ′ ‖ ψ ‖ d ′ {displaystyle {egin {aligned} | varphi * psi | _ {d} & leq sum _ {gin G} left (sum _ {hin G} ell (g) ^ {d} | varphi (h) || psi (h ^ {-1} g) | ight) & leq součet _ {g, hin G} vlevo (ell (h) + ell left (h ^ {- 1} gight) ight) ^ {d} | varphi (h) || psi (h ^ {- 1} g) | & = součet _ {i = 0} ^ {d} {d zvolte i} vlevo (součet _ {g, hin G} vlevo | ell ^ {i} varphi (h ) ight | left | ell ^ {di} psi (h ^ {- 1} g) ight | ight) & = součet _ {i = 0} ^ {d} {d zvolte i} vlevo (součet _ {hin G } vlevo | ell ^ {i} varphi (h) ight | ight) vlevo (součet _ {gin G} vlevo | ell ^ {di} psi (g) ight | ight) & = součet _ {i = 0} ^ {d} {d vyberte i} | varphi | _ {i} | psi | _ {di} & leq 2 ^ {d} | varphi | '_ {d} | psi |' _ {d} konec {zarovnáno}} } Zdroje Fragoulopoulou, Maria (2005), Topologické algebry s involucí Matematická studia v Severním Holandsku, 200 , Amsterdam: Elsevier B.V., doi :10.1016 / S0304-0208 (05) 80031-3 , ISBN 978-0-444-52025-8 .Husain, Taqdir (1991), Ortogonální Schauderovy základny Čistá a aplikovaná matematika, 143 , New York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-8508-8 .Michael, Ernest A. (1952), Lokálně multiplikativně konvexní topologické algebry Memoáry Americké matematické společnosti 11 , PAN 0051444 .Mitiagin, B .; Rolewicz, S .; Żelazko, W. (1962), „Celá funkce v B 0 -algebry ", Studia Mathematica , 21 : 291–306, doi :10,4064 / sm-21-3-291-306 , PAN 0144222 .Palmer, T.W. (1994), Banachovy algebry a obecná teorie * -algebry, svazek I: Algebry a Banachovy algebry Encyklopedie matematiky a její aplikace, 49 , New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36637-3 .Rudin, Walter (1973), Funkční analýza , Series in Higher Mathematics, New York: McGraw-Hill Book Company, ISBN 978-0-070-54236-5 - přes Internetový archiv .Waelbroeck, Lucien (1971), Topologické vektorové prostory a algebry Přednášky z matematiky, 230 , doi :10.1007 / BFb0061234 , ISBN 978-3-540-05650-8 , PAN 0467234 .Żelazko, W. (2001) [1994], „Fréchetova algebra“ , Encyclopedia of Mathematics , Stiskněte EMS .Żelazko, W. (1965), „Metrické zobecnění Banachových algeber“, Rozprawy Mat. (Dissertationes Math.) , 47 , PAN 0193532 .Żelazko, W. (1994), „Ohledně celých funkcí v B 0 -algebry ", Studia Mathematica , 110 (3): 283–290, doi :10,4064 / sm-110-3-283-290 , PAN 1292849 .