Betti číslo - Betti number
v algebraická topologie, Betti čísla se používají k rozlišení topologické prostory na základě konektivity n-dimenzionální zjednodušené komplexy. Pro nejrozumnější konečně-dimenzionální mezery (jako kompaktní rozdělovače konečný zjednodušené komplexy nebo CW komplexy ), posloupnost Betti čísel je od určitého bodu 0 (čísla Betti zmizí nad dimenzí mezery) a všechna jsou konečná.
The nth Číslo Betti představuje hodnost nth homologická skupina, označeno Hn, což nám říká maximální počet řezů, které lze provést před rozdělením povrchu na dva kusy nebo 0 cyklů, 1 cykly atd.[1] Například pokud pak , pokud pak , pokud pak , pokud pak atd. Pamatujte, že jsou brány v úvahu pouze řady nekonečných skupin, například pokud , kde je konečná cyklická skupina řádu 2, tedy . Tyto konečné komponenty skupin homologie jsou jejich torzní podskupiny, a jsou označeny torzní koeficienty.
Termín „Betti čísla“ vytvořil Henri Poincaré po Enrico Betti. Moderní formulace je způsobena Emmy Noetherová. Betti čísla se dnes používají v oblastech, jako je zjednodušená homologie, počítačová věda, digitální obrázky, atd.
Geometrická interpretace

Neformálně kth Betti number odkazuje na počet k-dimenzionální díry na topologické ploše. Ak-dimenzionální otvor" je k-dimenzionální cyklus, který není hranicí a (k+1) -dimenzionální objekt.
Prvních několik čísel Betti má následující definice pro 0-dimenzionální, 1-dimenzionální a 2-dimenzionální zjednodušené komplexy:
- b0 je počet připojených komponent;
- b1 je počet jednorozměrných nebo "kruhových" otvorů;
- b2 je počet dvourozměrných „dutin“ nebo „dutin“.
Například torus má tedy jednu připojenou povrchovou složku b0 = 1, dva "kruhové" otvory (jeden rovníkový a jeden jižní ) tak b1 = 2 a jediná dutina uzavřená uvnitř povrchu tak b2 = 1.
Další interpretace bk je maximální počet k-dimenzionální křivky, které lze odstranit, zatímco objekt zůstane připojen. Například torus zůstává připojen po odstranění dvou jednorozměrných křivek (ekvatoriálních a meridiálních) b1 = 2.[2]
Dvojrozměrná čísla Betti jsou srozumitelnější, protože vidíme svět v 0, 1, 2 a 3 dimenzích; následující čísla Betti však mají vyšší dimenzi než zdánlivý fyzický prostor.
Formální definice
Pro nezáporné celé číslo k, kčíslo Betti bk(X) prostoru X je definován jako hodnost (počet lineárně nezávislých generátorů) abelianská skupina Hk(X), kth homologická skupina zX. The khomologická skupina je , jsou hraniční mapy zjednodušený komplex a hodnost Hk je kčíslo Betti. Rovnocenně jej lze definovat jako dimenze vektorového prostoru z Hk(X; Q) protože skupina homologie je v tomto případě vektorovým prostoremQ. The věta o univerzálním koeficientu ve velmi jednoduchém případě bez zkroucení ukazuje, že tyto definice jsou stejné.
Obecněji řečeno, vzhledem k pole F lze definovat bk(X, F), kčíslo Betti s koeficienty v F, jako rozměr vektorového prostoru Hk(X, F).
Poincarého polynom
The Poincarého polynom povrchu je definován jako generující funkce jeho Betti čísel. Například Bettiho čísla torusu jsou 1, 2 a 1; tedy jeho Poincarého polynom je . Stejná definice platí pro jakýkoli topologický prostor, který má konečně generovanou homologii.
Vzhledem k topologickému prostoru, který má konečně generovanou homologii, je Poincarého polynom definován jako generující funkce jeho Bettiho čísel, tj. Polynom, kde je koeficient je .
Příklady
Betti čísla grafu
Zvažte a topologický graf G ve kterém je množina vrcholů PROTI, sada hran je Ea sada připojených komponent je C. Jak je vysvětleno na stránce na homologie grafů, jeho homologické skupiny jsou dány:
To může být přímým důkazem matematická indukce na počtu hran. Nová hrana buď zvýší počet 1 cyklů, nebo sníží počet připojených komponent.
Proto „nulté“ číslo Betti b0(G) se rovná |C|, což je jednoduše počet připojených komponent.[3]
První číslo Betti b1(G) se rovná |E|+|C|-|PROTI|. Také se tomu říká cyklomatické číslo —Term zavedený Gustav Kirchhoff před papírem Betti.[4] Vidět cyklomatická složitost pro žádost do softwarové inženýrství.
Všechna ostatní čísla Betti jsou 0.
Betti čísla zjednodušeného komplexu

Zvažte a zjednodušený komplex s 0-simplexy: a, b, c, a d, 1-simplexy: E, F, G, H a I, a jediný 2-simplex je J, což je stínovaná oblast na obrázku. Je zřejmé, že na tomto obrázku je jedna připojená komponenta (b0); jedna díra, což je nestínovaná oblast (b1); a žádné „dutiny“ nebo „dutiny“ (b2).
To znamená, že hodnost je 1, hodnost je 1 a hodnost je 0.
Sekvence čísel Betti pro tento obrázek je 1,1,0,0, ...; Poincarého polynom je .
Betti čísla projektivní roviny
Skupiny homologie skupiny projektivní rovina P jsou:[5]
Tady, Z2 je cyklická skupina pořadí 2. 0. Bettiho číslo je opět 1. První Bettiho číslo je však 0. Je to proto H1(P) je konečná skupina - nemá žádnou nekonečnou složku. Konečná složka skupiny se nazývá torzní koeficient z P. (Racionální) čísla Betti bk(X) neberou v úvahu žádné kroucení ve skupinách homologie, ale jsou to velmi užitečné základní topologické invarianty. V nejintuitivnějších pojmech umožňují jednomu spočítat počet díry různých rozměrů.
Vlastnosti
Eulerova charakteristika
Pro konečný CW komplex K. my máme
kde označuje Eulerova charakteristika z K. a jakékoli poleF.
kartézský součin
Pro libovolné dva prostory X a Y my máme
kde označuje Poincarého polynom z X, (obecněji Série Hilbert – Poincaré, pro nekonečně rozměrné prostory), tj generující funkce Bettiho čísel X:
vidět Künneth věta.
Symetrie
Li X je n-dimenzionální potrubí, dochází k záměně symetrie a , pro všechny :
za podmínek (a Zavřeno a orientované potrubí); vidět Poincaré dualita.
Různé koeficienty
Závislost na poli F je pouze prostřednictvím jeho charakteristický. Pokud jsou homologické skupiny bez kroucení, čísla Betti jsou nezávislá na F. Spojení p-torze a číslo Betti pro charakteristickýp, pro p prvočíslo, je podrobně dáno věta o univerzálním koeficientu (na základě Tor funktory, ale v jednoduchém případě).
Další příklady
- Sekvence čísel Betti pro kruh je 1, 1, 0, 0, 0, ...;
- Poincarého polynom je
- .
- Poincarého polynom je
- Sekvence čísel Betti pro tří-torus je 1, 3, 3, 1, 0, 0, 0, ....
- Poincarého polynom je
- .
- Poincarého polynom je
- Podobně pro n-torus,
- Poincarého polynom je
- (podle Künneth věta ), takže čísla Betti jsou binomické koeficienty.
- Poincarého polynom je
Je možné, aby prostory, které jsou nekonečně dimenzionální, měly v zásadě nekonečnou sekvenci nenulových Betti čísel. Příkladem je nekonečno-dimenzionální složitý projektivní prostor, se sekvencí 1, 0, 1, 0, 1, ... to je periodické, s délka období 2. V tomto případě Poincaréova funkce není polynomem, ale spíše nekonečnou řadou
- ,
kterou lze jako geometrickou řadu vyjádřit jako racionální funkci
Obecněji lze každou sekvenci, která je periodická, vyjádřit jako součet geometrických řad, zobecňující výše uvedené (např má generující funkci
a obecněji lineární rekurzivní sekvence jsou přesně sekvence generované racionální funkce; série Poincaré je tedy vyjádřitelná jako racionální funkce právě tehdy, když posloupnost Betti čísel je lineární rekurzivní posloupnost.
Poincarého polynomy kompaktní jednoduché Lež skupiny jsou:
Vztah k rozměrům prostorů diferenciálních forem
V geometrických situacích, kdy je uzavřené potrubí, význam čísel Betti může vzniknout z jiného směru, konkrétně z toho, že předpovídají rozměry vektorových prostorů uzavřené diferenciální formy modulo přesné diferenciální formy. Souvisí s výše uvedenou definicí prostřednictvím tří základních výsledků, de Rhamova věta a Poincaré dualita (pokud se použijí) a věta o univerzálním koeficientu z teorie homologie.
Existuje alternativní čtení, konkrétně to, že čísla Betti udávají rozměry prostorů harmonické tvary. To vyžaduje také použití některých výsledků Hodgeova teorie, o Hodge Laplacian.
V tomto nastavení Morseova teorie dává množinu nerovností pro střídavé součty Bettiho čísel, pokud jde o odpovídající střídavý součet počtu kritické body a Morseova funkce daného index:
Edward Witten vysvětlil tyto nerovnosti pomocí funkce Morse k úpravě vnější derivace v komplex de Rham.[6]
Viz také
Reference
- ^ Barile a Weisstein, Margherita a Eric. „Betti number“. From MathWorld - A Wolfram Web Resource.
- ^ Albin, Pierre (2019). "Historie algebraické topologie".
- ^ Per Hage (1996). Island Networks: komunikační, příbuzenské a klasifikační struktury v Oceánii. Cambridge University Press. str. 49. ISBN 978-0-521-55232-5.
- ^ Peter Robert Kotiuga (2010). Oslava matematického odkazu Raoula Botta. American Mathematical Soc. str. 20. ISBN 978-0-8218-8381-5.
- ^ Wildberger, Norman J. (2012). "Delta komplexy, čísla Betti a kroucení".
- ^ Witten, Edward (1982), „Supersymetry and Morse theory“, Journal of Differential Geometry, 17 (4): 661–692, doi:10,4310 / jdg / 1214437492
- Warner, Frank Wilson (1983), Základy rozlišitelných potrubí a Lieových skupin, New York: Springer, ISBN 0-387-90894-3.
- Roe, John (1998), Eliptické operátory, topologie a asymptotické metodyPoznámky k výzkumu v matematických sériích, 395 (Druhé vydání), Boca Raton, FL: Chapman and Hall, ISBN 0-582-32502-1.