Kroucená kubická - Twisted cubic
v matematika, a zkroucený kubický je hladký, racionální křivka C z stupeň tři dovnitř projektivní 3prostor P3. Je to zásadní příklad a šikmá křivka. Je to v zásadě jedinečné, až projektivní transformace (the zkroucený kubický, proto). v algebraická geometrie, zkroucená kubika je jednoduchým příkladem a projektivní rozmanitost to není lineární nebo a nadpovrch, ve skutečnosti není úplná křižovatka. Jedná se o trojrozměrný případ racionální normální křivka, a je obraz a Veronese mapa stupně tři na projektivní linie.
Definice
Zkroucený kubický je nejsnadněji daný parametricky jako obrázek mapy
který přiřadí k homogenní souřadnice hodnota
V jednom souřadnicová oprava projektivního prostoru je mapa jednoduše momentová křivka
To znamená, že se jedná o uzavření singlem bod v nekonečnu z afinní křivka .
Zkroucený kubický je a projektivní rozmanitost, definovaný jako průsečík tří kvadrics. V homogenních souřadnicích na P3, zkroucený kubický je uzavřený podsystém definovaný zmizením tří homogenní polynomy
Může být zkontrolováno, že tyto tři kvadratické formy zmizí shodně při použití výše uvedené explicitní parametrizace; to znamená, nahradit X3 pro X, a tak dále.
Ještě silnější je homogenní ideál zkroucené kubické C je generován těmito třemi homogenními polynomy stupně 2.
Vlastnosti
Kroucená kubická má řadu základních vlastností:
- Je to množinově-teoretický úplný průnik a , ale ne schéma-teoretický nebo ideální-teoretický úplný průnik (výsledný ideál není radikální, od té doby je v tom, ale není).
- Jakékoli čtyři body C rozpětí P3.
- Vzhledem k šesti bodům v P3 bez čtyř koplanárních jimi prochází jedinečná zkroucená kubika.
- The svaz z tečna a sekanční linie (dále jen sekaná odrůda ) zkroucené kubické C naplnit P3 a čáry jsou párově disjunktní, kromě bodů samotné křivky. Ve skutečnosti je spojení tečna a sekán řádky jakékoli nerovinné hladké algebraická křivka je trojrozměrný. Dále jakékoli hladké algebraická rozmanitost s vlastností, kterou pokrývá každé podsystémové schéma každé délky P3 má vlastnost, že tečna a sečna jsou párově disjunktní, kromě bodů samotné odrůdy.
- Projekce C do roviny z bodu na tečné přímce C výnosy a vrcholový krychlový.
- Projekce z bodu na sečnanou linii C výnosy a uzlový krychlový.
- Projekce od bodu C výnosy a kuželovitý řez.
Reference
- Harris, Joe (1992), Algebraická geometrie, první kurz, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97716-3.