Topologická K-teorie - Topological K-theory

v matematika, topologické K.-teorie je pobočkou algebraická topologie. Bylo založeno ke studiu vektorové svazky na topologické prostory, prostřednictvím myšlenek nyní uznávaných jako (obecně) K-teorie které byly zavedeny Alexander Grothendieck. Počáteční práce na topologii K.- teorie je způsobena Michael Atiyah a Friedrich Hirzebruch.

Definice

Nechat X být kompaktní Hausdorffův prostor a ${ displaystyle k = mathbb {R}}$ nebo ${ displaystyle mathbb {C}}$. Pak ${ displaystyle K_ {k} (X)}$ je definován jako Grothendieckova skupina z komutativní monoid z třídy izomorfismu konečně-dimenzionální k-vektorové svazky X pod Whitney součet. Tenzorový produkt svazků dává K.-teorie a komutativní prsten struktura. Bez indexů, ${ displaystyle K (X)}$ obvykle označuje komplexní K.-theorie, zatímco skutečná K.-teorie je někdy psána jako ${ displaystyle KO (X)}$. Zbývající diskuse je zaměřena na komplexní K.-teorie.

Jako první příklad si všimněte, že K.-teorie bodu jsou celá čísla. Je to proto, že vektorové svazky nad bodem jsou triviální, a proto jsou klasifikovány podle jejich pořadí a Grothendieckova skupina přirozených čísel jsou celá čísla.

K dispozici je také snížená verze K.-teorie, ${ displaystyle { widetilde {K}} (X)}$, definované pro X kompaktní špičatý prostor (srov. snížená homologie ). Tato redukovaná teorie je intuitivní K.(X) modulo triviální svazky. Je definována jako skupina stabilních tříd ekvivalence svazků. Dva svazky E a F se říká, že jsou stabilně izomorfní pokud existují triviální svazky ${ displaystyle varepsilon _ {1}}$ a ${ displaystyle varepsilon _ {2}}$, aby ${ displaystyle E oplus varepsilon _ {1} cong F oplus varepsilon _ {2}}$. Tento vztah ekvivalence vede ke skupině, protože každý vektorový svazek lze doplnit do triviálního svazku sečtením jeho ortogonálního doplňku. Alternativně, ${ displaystyle { widetilde {K}} (X)}$ lze definovat jako jádro mapy ${ displaystyle K (X) až K (x_ {0}) cong mathbb {Z}}$ vyvolané zahrnutím základního bodu X₀ do X.

K.-teorie tvoří multiplikativní (zobecněný) teorie cohomologie jak následuje. The krátká přesná sekvence dvojice špičatých prostorů (X, A)

${ displaystyle { widetilde {K}} (X / A) do { widetilde {K}} (X) do { widetilde {K}} (A)}$

sahá do a dlouhá přesná sekvence

${ displaystyle cdots to { widetilde {K}} (SX) to { widetilde {K}} (SA) to { widetilde {K}} (X / A) to { widetilde {K }} (X) to { widetilde {K}} (A).}$

Nechat Sⁿ být n-th snížené zavěšení prostoru a poté definovat

${ displaystyle { widetilde {K}} ^ {- n} (X): = { widetilde {K}} (S ^ {n} X), qquad n geq 0.}$

Záporné indexy jsou voleny tak, aby hranice mapy zvětšují rozměr.

Často je užitečné mít neredukovanou verzi těchto skupin jednoduše definováním:

${ displaystyle K ^ {- n} (X) = { widetilde {K}} ^ {- n} (X _ {+}).}$

Tady ${ displaystyle X _ {+}}$ je ${ displaystyle X}$ s disjunktním základním bodem označeným jako „+“.^[1]

Nakonec Bottova věta o periodicitě jak je formulováno níže, rozšiřuje teorie na kladná celá čísla.

Vlastnosti

• ${ displaystyle K ^ {n}}$ (respektive ${ displaystyle { widetilde {K}} ^ {n}}$) je kontravariantní funktor z kategorie homotopy (špičatých) mezer do kategorie komutativních kruhů. Tak například K.-teorie skončila smluvní prostory je vždy ${ displaystyle mathbb {Z}.}$

• The spektrum z K.-teorie je ${ displaystyle BU times mathbb {Z}}$ (se zapnutou diskrétní topologií ${ displaystyle mathbb {Z}}$), tj. ${ displaystyle K (X) cong left [X ^ {+}, mathbb {Z} krát BU right],}$ kde [ , ] označuje špičaté třídy homotopy a BU je colimit klasifikačních prostorů unitární skupiny: ${ displaystyle BU (n) cong operatorname {Gr} left (n, mathbb {C} ^ { infty} right).}$ Podobně,

${ displaystyle { widetilde {K}} (X) cong [X, mathbb {Z} krát BU].}$

Opravdu K.- teoretické použití BO.

• Tady je přírodní kruhový homomorfismus ${ displaystyle K ^ {0} (X) až H ^ {2 *} (X, mathbb {Q}),}$ the Chern charakter, takový, že ${ displaystyle K ^ {0} (X) otimes mathbb {Q} až H ^ {2 *} (X, mathbb {Q})}$ je izomorfismus.

• Ekvivalent Steenrodovy operace v K.-theorie jsou Adamsovy operace. Mohou být použity k definování charakteristických tříd v topologické K.-teorie.

• The Princip rozdělení topologické K.-theory umožňuje omezit výroky o libovolných vektorových svazcích na výroky o součtech řádkových svazků.

• The Věta o izomorfismu Thoma v topologické K.-teorie je

${ displaystyle K (X) cong { widetilde {K}} (T (E)),}$

kde T(E) je Thomův prostor vektorového svazku E přes X. To platí kdykoli E je spin-bundle.

• The Atiyah-Hirzebruchova spektrální sekvence umožňuje výpočet K.-skupiny z běžných kohomologických skupin.

• Topologické K.-teorie může být obrovsky zobecněna na funktora C * -algebry viz operátor K-teorie a Teorie KK.

Bottova periodicita

Fenomén periodicita pojmenoval podle Raoul Bott (vidět Bottova věta o periodicitě ) lze formulovat takto:

• ${ displaystyle K (X times mathbb {S} ^ {2}) = K (X) otimes K ( mathbb {S} ^ {2}),}$ a ${ displaystyle K ( mathbb {S} ^ {2}) = mathbb {Z} [H] / (H-1) ^ {2}}$ kde H je třída tautologický svazek na ${ displaystyle mathbb {S} ^ {2} = mathbb {P} ^ {1} ( mathbb {C}),}$ tj Riemannova koule.

• ${ displaystyle { widetilde {K}} ^ {n + 2} (X) = { widetilde {K}} ^ {n} (X).}$

• ${ displaystyle Omega ^ {2} BU cong BU times mathbb {Z}.}$

Ve skutečnosti K.-torie existuje obdobná periodicita, ale modulo 8.

Aplikace

Dvě nejznámější aplikace topologie K.-theorie jsou oba kvůli Frank Adams. Nejprve vyřešil Hopf invariantní jeden problém provedením výpočtu s jeho Adamsovy operace. Pak prokázal horní hranici počtu lineárně nezávislých vektorová pole na koulích.

Chern charakter

Michael Atiyah a Friedrich Hirzebruch prokázal teorém týkající se topologické K-teorie komplexu CW ${ displaystyle X}$ s jeho racionální kohomologií. Ukázali zejména, že existuje homomorfismus

${ displaystyle ch: K _ { text {top}} ^ {*} (X) otimes mathbb {Q} až H ^ {*} (X; mathbb {Q})}$

takhle

${ displaystyle { begin {aligned} K _ { text {top}} ^ {0} (X) otimes mathbb {Q} & cong bigoplus _ {k} H ^ {2k} (X; mathbb {Q}) K _ { text {top}} ^ {1} (X) otimes mathbb {Q} & cong bigoplus _ {k} H ^ {2k + 1} (X; mathbb { Q}) end {zarovnáno}}}$

Existuje algebraický analog vztahující se k Grothendieckově skupině koherentních snopů a Chowovu kruhu hladké projektivní odrůdy ${ displaystyle X}$.

Viz také

• Spektrální sekvence Atiyah – Hirzebruch (výpočetní nástroj pro hledání skupin K-teorie)
• KR-teorie
• Atiyah – Singerova věta o indexu
• Snaithova věta
• Algebraická K-teorie

Reference

• Atiyah, Michael Francis (1989). K-teorie. Advanced Book Classics (2. vydání). Addison-Wesley. ISBN  978-0-201-09394-0. PAN  1043170.
• Friedlander, Eric; Grayson, Daniel, eds. (2005). Příručka teorie K. Berlín, New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-27855-9. ISBN  978-3-540-30436-4. PAN  2182598.
• Karoubi, Max (1978). K-teorie: úvod. Klasika z matematiky. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-79890-3. ISBN  0-387-08090-2.
• Karoubi, Max (2006). „K-teorie. Elementární úvod“. arXiv:matematika / 0602082.
• Hatcher, Allen (2003). „Vector Bundles & K-Theory“.
• Stykow, Maxim (2013). „Spojení K-teorie s geometrií a topologií“.