Tečný kužel - Tangent cone

v geometrie, tečný kužel je zobecněním pojmu tečný prostor do a potrubí v případě určitých prostorů se singularitami.

Definice v nelineární analýze

V nelineární analýze existuje mnoho definic pro tečný kužel, včetně sousední kužel, Bouligand je kontingent kužel a Clarke tangens kužel. Tyto tři kužele se shodují pro konvexní množinu, ale u obecnějších množin se mohou lišit.

Clarke tangens kužel

Nechat ${ displaystyle A}$ být neprázdnou uzavřenou podmnožinou Banachův prostor ${ displaystyle X}$ . Clarkův tečný kužel k ${ displaystyle A}$ v ${ displaystyle x_ {0} v A}$ , označeno ${ displaystyle { widehat {T}} _ {A} (x_ {0})}$ se skládá ze všech vektorů ${ displaystyle v v X}$ , tak, že pro jakoukoli sekvenci ${ displaystyle {t_ {n} } _ {n geq 1} podmnožina mathbb {R}}$ inklinující k nule a libovolná sekvence ${ displaystyle {x_ {n} } _ {n geq 1} podmnožina A}$ inklinovat k ${ displaystyle x_ {0}}$ , existuje sekvence ${ displaystyle {v_ {n} } _ {n geq 1} podmnožina X}$ inklinovat k ${ displaystyle v}$ , tak, že pro všechny ${ displaystyle n geq 1}$ drží ${ displaystyle x_ {n} + t_ {n} v_ {n} v A}$

Clarkův tangenta kužel je vždy podmnožinou odpovídající kontingent kužel (a shoduje se s ním, když je dotyčná množina konvexní). Má důležitou vlastnost být uzavřený konvexní kužel.

Definice v konvexní geometrii

Nechat K. být Zavřeno konvexní podmnožina skutečné vektorový prostor PROTI a ∂K. být hranice z K.. The plný tečný kužel na K. v určitém okamžiku X ∈ ∂K. je uzavření kužele tvořeného všemi polovičními čarami (nebo paprsky) vycházejícími z X a protínající se K. alespoň v jednom bodě y odlišný od X. Je to konvexní kužel v PROTI a lze jej také definovat jako průsečík uzavřeného poloprostory z PROTI obsahující K. a ohraničen podpůrné hyperplány z K. v X. Hranice T_K. pevného tečného kužele je tečný kužel na K. a ∂K. v X. Pokud se jedná o afinní podprostor z PROTI pak bod X se nazývá a hladký bod z ∂K. a ∂K. se říká, že je rozlišitelný v X a T_K. je obyčejný tečný prostor do ∂K. v X.

Definice v algebraické geometrii

y² = x³ + x² (červená) s kuželem tečny (modrá)

Nechat X být afinní algebraická odrůda vložené do afinního prostoru ${ displaystyle k ^ {n}}$ , s definováním ideálu ${ displaystyle I podmnožina k [x_ {1}, ldots, x_ {n}]}$ . Pro libovolný polynom F, nechť ${ displaystyle operatorname {in} (f)}$ být homogenní složkou F nejnižšího stupně, počáteční termín z Fa nechte

{ displaystyle operatorname {in} (I) podmnožina k [x_ {1}, ldots, x_ {n}]}

být homogenním ideálem, který je tvořen počátečními pojmy ${ displaystyle operatorname {in} (f)}$ pro všechny ${ displaystyle f v I}$ , počáteční ideál z Já. The tečný kužel na X na počátku je Zariski uzavřená podmnožina ${ displaystyle k ^ {n}}$ definované ideálem ${ displaystyle operatorname {in} (I)}$ . Posunutím souřadnicového systému se tato definice rozšíří na libovolný bod ${ displaystyle k ^ {n}}$ místo původu. Tečný kužel slouží jako rozšíření pojmu tečného prostoru k X v pravidelném bodě, kde X nejvíce se podobá a diferencovatelné potrubí všem X. (Tečný kužel v bodě ${ displaystyle k ^ {n}}$ to není obsaženo v X je prázdný.)

Například uzlová křivka

{ displaystyle C: y ^ {2} = x ^ {3} + x ^ {2}}

je v původu singulární, protože obojí částečné derivace z F(X, y) = y² − X³ − X² zmizet v (0, 0). Tak Zariski tečný prostor na C na počátku je celá rovina a má vyšší rozměr než samotná křivka (dva proti jedné). Na druhé straně je tečný kužel spojením tečných linií se dvěma větvemi C na počátku,

{ displaystyle x = y, quad x = -y.}

Jeho definující ideál je hlavním ideálem k[X] generované počátečním termínem F, jmenovitě y² − X² = 0.

Definici kuželu tečny lze rozšířit na abstraktní algebraické odrůdy a dokonce i na obecné Noetherian schémata. Nechat X být algebraická rozmanitost, X bod X, a (Ó_X,X, m) být místní prsten z X v X. Pak tečný kužel na X v X je spektrum z přidružený odstupňovaný prsten z Ó_X,X s respektem k m-adická filtrace: