Tečný kužel - Tangent cone

v geometrie, tečný kužel je zobecněním pojmu tečný prostor do a potrubí v případě určitých prostorů se singularitami.

Definice v nelineární analýze

V nelineární analýze existuje mnoho definic pro tečný kužel, včetně sousední kužel, Bouligand je kontingent kužel a Clarke tangens kužel. Tyto tři kužele se shodují pro konvexní množinu, ale u obecnějších množin se mohou lišit.

Clarke tangens kužel

Nechat být neprázdnou uzavřenou podmnožinou Banachův prostor . Clarkův tečný kužel k v , označeno se skládá ze všech vektorů , tak, že pro jakoukoli sekvenci inklinující k nule a libovolná sekvence inklinovat k , existuje sekvence inklinovat k , tak, že pro všechny drží

Clarkův tangenta kužel je vždy podmnožinou odpovídající kontingent kužel (a shoduje se s ním, když je dotyčná množina konvexní). Má důležitou vlastnost být uzavřený konvexní kužel.

Definice v konvexní geometrii

Nechat K. být Zavřeno konvexní podmnožina skutečné vektorový prostor PROTI a ∂K. být hranice z K.. The plný tečný kužel na K. v určitém okamžiku X ∈ ∂K. je uzavření kužele tvořeného všemi polovičními čarami (nebo paprsky) vycházejícími z X a protínající se K. alespoň v jednom bodě y odlišný od X. Je to konvexní kužel v PROTI a lze jej také definovat jako průsečík uzavřeného poloprostory z PROTI obsahující K. a ohraničen podpůrné hyperplány z K. v X. Hranice TK. pevného tečného kužele je tečný kužel na K. a ∂K. v X. Pokud se jedná o afinní podprostor z PROTI pak bod X se nazývá a hladký bod z ∂K. a ∂K. se říká, že je rozlišitelný v X a TK. je obyčejný tečný prostor do ∂K. v X.

Definice v algebraické geometrii

y2 = x3 + x2 (červená) s kuželem tečny (modrá)

Nechat X být afinní algebraická odrůda vložené do afinního prostoru , s definováním ideálu . Pro libovolný polynom F, nechť být homogenní složkou F nejnižšího stupně, počáteční termín z Fa nechte

být homogenním ideálem, který je tvořen počátečními pojmy pro všechny , počáteční ideál z . The tečný kužel na X na počátku je Zariski uzavřená podmnožina definované ideálem . Posunutím souřadnicového systému se tato definice rozšíří na libovolný bod místo původu. Tečný kužel slouží jako rozšíření pojmu tečného prostoru k X v pravidelném bodě, kde X nejvíce se podobá a diferencovatelné potrubí všem X. (Tečný kužel v bodě to není obsaženo v X je prázdný.)

Například uzlová křivka

je v původu singulární, protože obojí částečné derivace z F(X, y) = y2X3X2 zmizet v (0, 0). Tak Zariski tečný prostor na C na počátku je celá rovina a má vyšší rozměr než samotná křivka (dva proti jedné). Na druhé straně je tečný kužel spojením tečných linií se dvěma větvemi C na počátku,

Jeho definující ideál je hlavním ideálem k[X] generované počátečním termínem F, jmenovitě y2X2 = 0.

Definici kuželu tečny lze rozšířit na abstraktní algebraické odrůdy a dokonce i na obecné Noetherian schémata. Nechat X být algebraická rozmanitost, X bod X, a (ÓX,X, m) být místní prsten z X v X. Pak tečný kužel na X v X je spektrum z přidružený odstupňovaný prsten z ÓX,X s respektem k m-adická filtrace:

Podíváme-li se na náš předchozí příklad, pak vidíme, že odstupňované kousky obsahují stejné informace. Tak ať

pak pokud rozšíříme přidružený odstupňovaný prsten

vidíme, že polynom definující naši odrůdu

v

Viz také

Reference

  • M. I. Voitsekhovskii (2001) [1994], "Tečný kužel", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS