Teorie dimenzí (algebra) - Dimension theory (algebra)

v matematika, teorie dimenzí je studie z hlediska komutativní algebra pojmu rozměr algebraické odrůdy (a rozšířením, že a systém ). Potřeba a teorie protože taková zdánlivě jednoduchá představa vyplývá z existence mnoha definic dimenze, které jsou ekvivalentní pouze v těch nejběžnějších případech (viz Dimenze algebraické odrůdy ). Velká část teorie dimenzí spočívá ve studiu podmínek, za nichž je několik dimenzí stejných, a v mnoha důležitých třídách komutativní prsteny mohou být definovány jako prstence tak, že dva rozměry jsou stejné; například a pravidelné zvonění je komutativní kruh takový, že homologická dimenze se rovná Dimenze Krull.

Teorie je pro ni jednodušší komutativní prsteny to jsou konečně generované algebry nad polem, které také jsou kvocientové kroužky z polynomiální kroužky v konečném počtu neurčitých nad polem. V tomto případě, což je algebraický protějšek případu afinní algebraické množiny, většina definic dimenze je ekvivalentní. U obecných komutativních kruhů je nedostatek geometrické interpretace překážkou rozvoje teorie; zejména je velmi málo známo o neteetheranských kruzích. (Kaplansky Komutativní prsteny poskytuje dobrý popis případu, který není netheretherský.)

V celém článku ${displaystyle operatorname {dim}}$ označuje Dimenze Krull prstenu a ${displaystyle operatorname {ht}}$ the výška prvotního ideálu (tj. Krullův rozměr lokalizace v tomto ideálním ideálu). Předpokládá se, že prstence jsou komutativní, s výjimkou poslední části o rozměrech nekomutativních prstenců.

Základní výsledky

Nechat R být noetherian prsten nebo oceňovací prsten. Pak

${displaystyle operatorname {dim} R [x] = operatorname {dim} R + 1.}$

Li R je noetherian, vyplývá to z níže uvedené základní věty (zejména Krullova hlavní ideální věta ), ale je to také důsledek přesnějšího výsledku. Pro jakýkoli ideální ideál ${displaystyle {mathfrak {p}}}$ v R,

${displaystyle operatorname {ht} ({mathfrak {p}} R [x]) = operatorname {ht} ({mathfrak {p}})}$.

${displaystyle operatorname {ht} ({mathfrak {q}}) = operatorname {ht} ({mathfrak {p}}) + 1}$ pro jakýkoli hlavní ideál ${displaystyle {mathfrak {q}} supsetneq {mathfrak {p}} R [x]}$ v ${displaystyle R [x]}$ které uzavírají smlouvy ${displaystyle {mathfrak {p}}}$.

To lze ukázat na základní teorii prstenů (srov. Kaplansky, komutativní prstence). Kromě toho v každém vláknu ${displaystyle operatorname {Spec} R [x] o operatorname {Spec} R}$, člověk nemůže mít řetězec připravených ideálů délky ${displaystyle geq 2}$.

Protože artinianský prsten (např. Pole) má dimenzi nula, získá se indukcí vzorec: pro artinianský prsten R,

${displaystyle operatorname {dim} R [x_ {1}, tečky, x_ {n}] = n.}$

Místní prsteny

Základní věta

Nechat ${displaystyle (R, {mathfrak {m}})}$ být noetherianským místním kruhem a Já A ${displaystyle {mathfrak {m}}}$-primární ideál (tj. sedí mezi určitou mocí ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ a ${displaystyle {mathfrak {m}}}$). Nechat ${displaystyle F (t)}$ být Poincaré série z přidružený odstupňovaný prsten ${displaystyle operatorname {gr} _ {I} R = oplus _ {0} ^ {infty} I ^ {n} / I ^ {n + 1}}$. To znamená,

${displaystyle F (t) = součet _ {0} ^ {infty} ell (I ^ {n} / I ^ {n + 1}) t ^ {n}}$

kde ${displaystyle ell}$ Odkazuje na délka modulu (přes artinianský prsten ${displaystyle (operatorname {gr} _ {I} R) _ {0} = R / I}$). Li ${displaystyle x_ {1}, tečky, x_ {s}}$ generovat Já, pak jejich obraz v ${displaystyle I / I ^ {2}}$ mít stupeň 1 a generovat ${displaystyle operatorname {gr} _ {I} R}$ tak jako ${displaystyle R / I}$-algebra. Podle Věta Hilbert – Serre, F je racionální funkce s přesně jedním pólem v ${displaystyle t = 1}$ řádu ${displaystyle dleq s}$. Od té doby

${displaystyle (1-t) ^ {- d} = součet _ {0} ^ {infty} {jiné {d-1 + j} {d-1}} t ^ {j}}$,

zjistíme, že koeficient ${displaystyle t ^ {n}}$ v ${displaystyle F (t) = (1-t) ^ {d} F (t) (1-t) ^ {- d}}$ je ve formě

${displaystyle sum _ {0} ^ {N} a_ {k} {jin {d-1 + nk} {d-1}} = (1-t) ^ {d} F (t) | _ {t = 1 } {n ^ {d-1} nad {d-1}!} + O (n ^ {d-2}).}$

To znamená, ${displaystyle ell (I ^ {n} / I ^ {n + 1})}$ je polynom ${displaystyle P}$ v n stupně ${displaystyle d-1}$. P se nazývá Hilbertův polynom z ${displaystyle operatorname {gr} _ {I} R}$.

Jsme si stanovili ${displaystyle d (R) = d}$. Také jsme nastavili ${displaystyle delta (R)}$ být minimální počet prvků R který může generovat ${displaystyle {mathfrak {m}}}$-primární ideál R. Naší ambicí je dokázat základní věta:

${displaystyle delta (R) = d (R) = dim R}$.

Protože můžeme vzít s být ${displaystyle delta (R)}$, již máme ${displaystyle delta (R) geq d (R)}$ z výše uvedeného. Dále dokazujeme ${displaystyle d (R) geq operatorname {dim} R}$ indukcí dne ${displaystyle d (R)}$. Nechat ${displaystyle {mathfrak {p}} _ {0} subsetneq cdots subsetneq {mathfrak {p}} _ {m}}$ být řetězem hlavních ideálů v R. Nechat ${displaystyle D = R / {mathfrak {p}} _ {0}}$ a X nenulový prvek jednotky v jednotce D. Od té doby X není nulovým dělitelem, máme přesnou posloupnost

${displaystyle 0 o D {overset {x} {o}} D o D / xD o 0}$.

Stupeň vázanosti Hilbert-Samuelova polynomu to nyní naznačuje ${displaystyle d (D)> d (D / xD) geq d (R / {mathfrak {p}} _ {1})}$. (To v zásadě vyplývá z Artin-Reesovo lemma; vidět Funkce Hilbert-Samuel za prohlášení a důkaz.) V ${displaystyle R / {mathfrak {p}} _ {1}}$, řetěz ${displaystyle {mathfrak {p}} _ {i}}$ se stává řetězem délky ${displaystyle m-1}$ a tak indukční hypotézou a opět odhadem stupně,

${displaystyle m-1leq operatorname {dim} (R / {mathfrak {p}} _ {1}) leq d (R / {mathfrak {p}} _ {1}) leq d (D) -1leq d (R) -1}$.

Tvrzení následuje. Nyní zbývá ukázat ${displaystyle operatorname {dim} Rgeq delta (R).}$ Přesněji ukážeme:

Lemma: Maximální ideál ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ obsahuje prvky ${displaystyle x_ {1}, tečky, x_ {d}}$, d = Krullův rozměr R, tak, že pro všechny i, jakýkoli hlavní ideál obsahující ${displaystyle (x_ {1}, tečky, x_ {i})}$ má výšku ${displaystyle geq i}$.

(Oznámení: ${displaystyle (x_ {1}, tečky, x_ {d})}$ je tedy ${displaystyle {mathfrak {m}}}$-primární.) Důkaz je vynechán. Objevuje se například v Atiyah – MacDonald. Lze jej však dodat i soukromě; myšlenkou je použít hlavní vyhýbání se.

Důsledky základní věty

Nechat ${displaystyle (R, {mathfrak {m}})}$ být noetherian místní prsten a dát ${displaystyle k = R / {mathfrak {m}}}$. Pak

• ${displaystyle operatorname {dim} Rleq operatorname {dim} _ {k} {mathfrak {m}} / {mathfrak {m}} ^ {2}}$, protože základem ${displaystyle {mathfrak {m}} / {mathfrak {m}} ^ {2}}$ výtahy na generující sadu ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ Nakayama. Pokud rovnost platí, pak R se nazývá a pravidelný místní kruh.
• ${displaystyle operatorname {dim} {widehat {R}} = operatorname {dim} R}$, od té doby ${displaystyle operatorname {gr} R = operatorname {gr} {widehat {R}}}$.
• (Krullova hlavní ideální věta ) Výška ideálu generovaného prvky ${displaystyle x_ {1}, tečky, x_ {s}}$ v noetherianském kruhu je nanejvýš s. Naopak, ideální ideál výšky s je minimální nad ideál generovaný s elementy. (Důkaz: Let ${displaystyle {mathfrak {p}}}$ být dokonalým minimem ideálu nad takovým ideálem. Pak ${displaystyle sgeq operatorname {dim} R_ {mathfrak {p}} = operatorname {ht} {mathfrak {p}}}$. Konverzace byla ukázána v průběhu důkazu základní věty.)

Důkaz: Let ${displaystyle x_ {1}, tečky, x_ {n}}$ generovat a ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {A}}$-primární ideál a ${displaystyle y_ {1}, tečky, y_ {m}}$ být takové, aby jejich obrázky generovaly a ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {B} / {mathfrak {m}} _ {A} B}$-primární ideál. Pak ${displaystyle {{mathfrak {m}} _ {B}} ^ {s} podmnožina (y_ {1}, tečky, y_ {m}) + {mathfrak {m}} _ {A} B}$ pro některé s. Zvyšujeme obě strany na vyšší síly a vidíme určitou sílu ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {B}}$ je obsažen v ${displaystyle (y_ {1}, tečky, y_ {m}, x_ {1}, tečky, x_ {n})}$; tj. druhý ideál je ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {B}}$-hlavní; tím pádem, ${displaystyle m + ngeq dim B}$. Rovnost je přímá aplikace vlastnosti jít dolů. ${squarestyle square}$

Důkaz: Pokud ${displaystyle {mathfrak {p}} _ {0} subsetneq {mathfrak {p}} _ {1} subsetneq cdots subsetneq {mathfrak {p}} _ {n}}$ jsou řetězcem hlavních ideálů R, pak ${displaystyle {mathfrak {p}} _ {i} R [x]}$ jsou řetězcem hlavních ideálů ${displaystyle R [x]}$ zatímco ${displaystyle {mathfrak {p}} _ {n} R [x]}$ není maximálním ideálem. Tím pádem, ${displaystyle dim R + 1leq dim R [x]}$. Pro obrácenou nerovnost nechte ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ být maximálním ideálem ${displaystyle R [x]}$ a ${displaystyle {mathfrak {p}} = Rcap {mathfrak {m}}}$. Jasně, ${displaystyle R [x] _ {mathfrak {m}} = R_ {mathfrak {p}} [x] _ {mathfrak {m}}}$.Od té doby ${displaystyle R [x] _ {mathfrak {m}} / {mathfrak {p}} R_ {mathfrak {p}} R [x] _ {mathfrak {m}} = (R_ {mathfrak {p}} / {mathfrak {p}} R_ {mathfrak {p}}) [x] _ {mathfrak {m}}}$ je pak lokalizací hlavní ideální domény a má dimenzi maximálně jedné, dostaneme ${displaystyle 1 + operatorname {dim} Rgeq 1 + operatorname {dim} R_ {mathfrak {p}} geq operatorname {dim} R [x] _ {mathfrak {m}}}$ předchozí nerovností. Od té doby ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ je libovolný, z toho vyplývá ${displaystyle 1 + operatorname {dim} Rgeq operatorname {dim} R [x]}$. ${squarestyle square}$

Nagatův výškový vzorec

Důkaz:^[2] Nejprve předpokládejme ${displaystyle R '}$ je polynomiální kruh. Indukcí počtu proměnných stačí zvážit případ ${displaystyle R '= R [x]}$. Od té doby R' je naplocho R,

${displaystyle dim R '_ {mathfrak {p'}} = dim R_ {mathfrak {p}} + dim kappa ({mathfrak {p}}) otimes _ {R} {R '} _ {{mathfrak {p}} '}}$.

Podle Noetherovo normalizační lemma, druhý člen na pravé straně je:

${displaystyle dim kappa ({mathfrak {p}}) otimes _ {R} R'-dim kappa ({mathfrak {p}}) otimes _ {R} R '/ {mathfrak {p}}' = 1-operatorname { tr.deg} _ {kappa ({mathfrak {p}})} kappa ({mathfrak {p}} ') = operatorname {tr.deg} _ {R} R'-operatorname {tr.deg} kappa ({mathfrak {p}} ').}$

Dále předpokládejme ${displaystyle R '}$ je generován jediným prvkem; tím pádem, ${displaystyle R '= R [x] / I}$. Li Já = 0, pak jsme již hotovi. Předpokládejme, že ne. Pak ${displaystyle R '}$ je algebraické R a tak ${displaystyle operatorname {tr.deg} _ {R} R '= 0}$. Od té doby R je podřetězec z R', ${displaystyle Icap R = 0}$ a tak ${displaystyle operatorname {ht} I = dim R [x] _ {I} = dim Q (R) [x] _ {I} = 1-operatorname {tr.deg} _ {Q (R)} kappa (I) = 1}$od té doby ${displaystyle kappa (I) = Q (R ')}$ je algebraické ${displaystyle Q (R)}$. Nechat ${displaystyle {mathfrak {p}} ^ {prime c}}$ označuje předobraz v ${displaystyle R [x]}$ z ${displaystyle {mathfrak {p}} '}$. Pak jako ${displaystyle kappa ({mathfrak {p}} ^ {prime c}) = kappa ({mathfrak {p}})}$, polynomiálním případem,

${displaystyle operatorname {ht} {{mathfrak {p}} '} = operatorname {ht} {{mathfrak {p}} ^ {prime c} / I} leq operatorname {ht} {{mathfrak {p}} ^ {prime c}} - operatorname {ht} {I} = dim R_ {mathfrak {p}} - operatorname {tr.deg} _ {kappa ({mathfrak {p}})}} kappa ({mathfrak {p}} '). }$

Zde si všimněte, že nerovnost je rovnost, pokud R' je řetězovka. Nakonec, při práci s řetězcem prvotřídních ideálů, je jednoduché redukovat obecný případ na výše uvedený případ. ${squarestyle square}$

Viz také: Kvazi-nesmíšený prsten.

Homologické metody

Pravidelné kroužky

Nechat R být noetherianským prstenem. The projektivní rozměr konečný R-modul M je nejkratší délka jakéhokoli projektivního rozlišení M (možná nekonečný) a je označen ${displaystyle operatorname {pd} _ {R} M}$. Jsme si stanovili ${displaystyle operatorname {gl.dim} R = sup {operatorname {pd} _ {R} M | {ext {M je konečný modul}}}}$; nazývá se to globální dimenze z R.

Převzít R je místní se zbytkovým polem k.

Důkaz: Tvrdíme: pro jakoukoli konečnou R-modul M,

${displaystyle operatorname {pd} _ {R} Mleq nLeftrightarrow operatorname {Tor} _ {n + 1} ^ {R} (M, k) = 0}$.

Posunutím dimenze (srov. Důkaz Serreovy věty níže) to stačí prokázat ${displaystyle n = 0}$. Ale pak, tím místní kritérium pro rovinnost, ${displaystyle operatorname {Tor} _ {1} ^ {R} (M, k) = 0Rightarrow M {ext {flat}} Rightarrow M {ext {free}} Rightarrow operatorname {pd} _ {R} (M) leq 0 .}$Nyní,

${displaystyle operatorname {gl.dim} Rleq nRightarrow operatorname {pd} _ {R} kleq nRightarrow operatorname {Tor} _ {n + 1} ^ {R} (-, k) = 0Rightarrow operatorname {pd} _ {R} - leq nRightarrow operatorname {gl.dim} Rleq n,}$

vyplňování důkazu. ${squarestyle square}$

Poznámka: Dokazuje to také důkaz ${displaystyle operatorname {pd} _ {R} K = operatorname {pd} _ {R} M-1}$ -li M není zdarma a ${displaystyle K}$ je jádro nějakého surjekce z volného modulu do M.

Důkaz: Pokud ${displaystyle operatorname {pd} _ {R} M = 0}$, pak M je R- zdarma a tedy ${displaystyle Motimes R_ {1}}$ je ${displaystyle R_ {1}}$-volný, uvolnit. Dále předpokládejme ${displaystyle operatorname {pd} _ {R} M> 0}$. Pak máme: ${displaystyle operatorname {pd} _ {R} K = operatorname {pd} _ {R} M-1}$ jako v poznámce výše. Indukcí tedy stačí zvážit případ ${displaystyle operatorname {pd} _ {R} M = 1}$. Pak existuje projektivní rozlišení: ${displaystyle 0 o P_ {1} o P_ {0} o M o 0}$, který dává:

${displaystyle operatorname {Tor} _ {1} ^ {R} (M, R_ {1}) o P_ {1} další R_ {1} o P_ {0} další R_ {1} o Motimes R_ {1} o 0 }$.

Ale ${displaystyle operatorname {Tor} _ {1} ^ {R} (M, R_ {1}) = {} _ {f} M = {min M | fm = 0} = 0.}$ Proto, ${displaystyle operatorname {pd} _ {R} (Motimes R_ {1})}$ je maximálně 1. ${squarestyle square}$

Důkaz:^[3] Li R je pravidelné, můžeme psát ${displaystyle k = R / (f_ {1}, tečky, f_ {n})}$, ${displaystyle f_ {i}}$ pravidelný systém parametrů. Přesná sekvence ${displaystyle 0 o M {overset {f} {o}} M o M_ {1} o 0}$, někteří F v maximálním ideálu konečných modulů, ${displaystyle operatorname {pd} _ {R} M$, nám dává:

${displaystyle 0 = operatorname {Tor} _ {i + 1} ^ {R} (M, k) o operatorname {Tor} _ {i + 1} ^ {R} (M_ {1}, k) o operatorname {Tor } _ {i} ^ {R} (M, k) {přesahující {f} {o}} operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} (M, k), quad igeq operatorname {pd} _ {R } M.}$

Ale F tady je nula, protože to zabíjí k. Tím pádem, ${displaystyle operatorname {Tor} _ {i + 1} ^ {R} (M_ {1}, k) simeq operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} (M, k)}$ a následně ${displaystyle operatorname {pd} _ {R} M_ {1} = 1 + operatorname {pd} _ {R} M}$. Pomocí toho získáme:

${displaystyle operatorname {pd} _ {R} k = 1 + operatorname {pd} _ {R} (R / (f_ {1}, dots, f_ {n-1})) = cdots = n.}$

Důkaz konverzace je indukcí na ${displaystyle operatorname {dim} R}$. Začínáme s indukčním krokem. Soubor ${displaystyle R_ {1} = R / f_ {1} R}$, ${displaystyle f_ {1}}$ mezi soustavou parametrů. Ukázat R je pravidelný, stačí ukázat ${displaystyle R_ {1}}$ je pravidelný. Ale od ${displaystyle dim R_ {1}$, indukční hypotézou a předchozím lemmatem s ${displaystyle M = {mathfrak {m}}}$,

${displaystyle operatorname {gl.dim} R$

Základní krok zůstává. Předpokládat ${displaystyle operatorname {dim} R = 0}$. Tvrdíme ${displaystyle operatorname {gl.dim} R = 0}$ pokud je konečný. (To by znamenalo, že R je polojediný místní kruh; tj. pole.) Pokud tomu tak není, pak existuje nějaký konečný modul ${displaystyle M}$ s ${displaystyle 0$ a tak ve skutečnosti můžeme najít M s ${displaystyle operatorname {pd} _ {R} M = 1}$. Podle Nakayamova lemmatu existuje překvapení ${displaystyle F o M}$ z bezplatného modulu F na M jehož jádro K. je obsažen v ${displaystyle {mathfrak {m}} F}$. Od té doby ${displaystyle operatorname {dim} R = 0}$, maximální ideál ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ je sdružený prime z R; tj., ${displaystyle {mathfrak {m}} = operatorname {ann} (s)}$ pro nenulovou s v R. Od té doby ${displaystyle Ksubset {mathfrak {m}} F}$, ${displaystyle sK = 0}$. Od té doby K. není nula a je zdarma, to znamená ${displaystyle s = 0}$, což je absurdní. ${squarestyle square}$

Důkaz: Let R být pravidelným místním kruhem. Pak ${displaystyle operatorname {gr} Rsimeq k [x_ {1}, tečky, x_ {d}]}$, což je integrálně uzavřená doména. Jedná se o standardní cvičení algebry, které to ukazuje R je integrálně uzavřená doména. Nyní musíme ukázat všechny dělicí ideál je hlavní; tj. skupina dělitele třídy R zmizí. Ale podle Bourbakiho Algèbre komutativní, kapitola 7, §. 4. Důsledek 2 k Proposition 16, dělicí ideál je zásadní, pokud připouští konečné volné rozlišení, což je skutečně případ věty. ${squarestyle square}$

Hloubka

Nechat R být prsten a M modul nad ním. Posloupnost prvků ${displaystyle x_ {1}, tečky, x_ {n}}$ v ${displaystyle R}$ se nazývá M-pravidelná sekvence -li ${displaystyle x_ {1}}$ není dělitelem nuly ${displaystyle M}$ a ${displaystyle x_ {i}}$ není nulovým dělitelem ${displaystyle M / (x_ {1}, tečky, x_ {i-1}) M}$ pro každého ${displaystyle i = 2, tečky, n}$. A priori, není zřejmé, zda je nějaká permutace pravidelné posloupnosti stále pravidelná (pozitivní odpověď naleznete v následující části).

Nechat R být místním noetherianským prstenem s maximálním ideálem ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ a dal ${displaystyle k = R / {mathfrak {m}}}$. Podle definice pak hloubka konečný R-modul M je supremum délky všech M-pravidelné sekvence v ${displaystyle {mathfrak {m}}}$. Například máme ${displaystyle operatorname {depth} M = 0Leftrightarrow {mathfrak {m}}}$ Skládá se z nulových rozdělení na M ${displaystyle Leftrightarrow {mathfrak {m}}}$ Je spojená s M. Indukcí zjistíme

${displaystyle operatorname {depth} Mleq dim R / {mathfrak {p}}}$

pro všechna související prvočísla ${displaystyle {mathfrak {p}}}$ z M. Zejména, ${displaystyle operatorname {depth} Mleq operatorname {dim} M}$. Pokud platí rovnost M = R, R se nazývá a Cohen – Macaulayův prsten.

Příklad: Pravidelným netherianským místním kruhem je Cohen – Macaulay (protože pravidelný systém parametrů je R-pravidelná posloupnost.)

Obecně se noetherovský prsten nazývá Cohen-Macaulayův prsten, pokud jsou lokalizace všech maximálních ideálů Cohen-Macaulay. Poznamenáváme, že prsten Cohen-Macaulay je všeobecně řetězovka. To například znamená, že polynomiální kruh ${displaystyle k [x_ {1}, tečky, x_ {d}]}$ je všeobecně řetězovka, protože je pravidelná, a tedy Cohen – Macaulay.

Důkaz: Nejprve dokážeme indukcí dne n následující prohlášení: pro všechny R-modul M a každý M-pravidelná posloupnost ${displaystyle x_ {1}, tečky, x_ {n}}$ v ${displaystyle {mathfrak {m}}}$,

(*) ${displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {n} (N, M) simeq operatorname {Hom} _ {R} (N, M / (x_ {1}, dots, x_ {n}) M).}$

Základní krok n = 0 je triviální. Dále indukční hypotézou ${displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {n-1} (N, M) simeq operatorname {Hom} _ {R} (N, M / (x_ {1}, dots, x_ {n-1}) M)}$. Ale to druhé je nula, protože anihilátor z N obsahuje určitou moc ${displaystyle x_ {n}}$. Tedy z přesné sekvence ${displaystyle 0 o M {overset {x_ {1}} {o}} M o M_ {1} o 0}$ a skutečnost, že ${displaystyle x_ {1}}$ zabíjí Npomocí opětovné indukční hypotézy dostaneme

${displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {n} (N, M) simeq operatorname {Ext} _ {R} ^ {n-1} (N, M / x_ {1} M) simeq operatorname {Hom} _ {R} (N, M / (x_ {1}, tečky, x_ {n}) M)}$,

dokazování (*). Teď když ${displaystyle n$, pak můžeme najít M-pravidelná posloupnost délky větší než n a tak (*) vidíme ${displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {n} (N, M) = 0}$. Zbývá ukázat ${displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {n} (N, M) ekv. 0}$ -li ${displaystyle n = operatorname {depth} M}$. Do (*) můžeme předpokládat n = 0. Potom ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ Je spojená s M; je tedy na podporu M. Na druhou stranu, ${displaystyle {mathfrak {m}} v operatorname {Supp} (N).}$ Z lineární algebry vyplývá, že existuje nenulový homomorfismus z N na M modulo ${displaystyle {mathfrak {m}}}$; tedy jeden z N na M Nakayamovým lemmatem. ${squarestyle square}$

The Auslander – Buchsbaumův vzorec souvisí hloubka a projektivní rozměr.

Důkaz: Argumentujeme indukcí dne ${displaystyle operatorname {pd} _ {R} M}$, základní případ (tj. M zdarma) být triviální. Podle Nakayamova lematu máme přesnou sekvenci ${displaystyle 0 o K {overset {f} {o}} F o M o 0}$ kde F je zdarma a obraz uživatele F je obsažen v ${displaystyle {mathfrak {m}} F}$. Od té doby ${displaystyle operatorname {pd} _ {R} K = operatorname {pd} _ {R} M-1,}$ to, co musíme ukázat, je ${displaystyle operatorname {depth} K = operatorname {depth} M + 1}$.Od té doby F zabíjí k, výnosy přesné sekvence: pro všechny i,

${displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (k, F) o operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (k, M) o operatorname {Ext} _ {R} ^ {i + 1} (k, K) o 0.}$

Všimněte si, že termín nejvíce vlevo je nula, pokud ${displaystyle i$. Li ${displaystyle i$, od té doby ${displaystyle operatorname {depth} Kleq operatorname {depth} R}$ indukční hypotézou, jak vidíme ${displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (k, M) = 0.}$ Li ${displaystyle i = operatorname {depth} K-1}$, pak ${displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {i + 1} (k, K) eq 0}$ a musí být ${displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (k, M) ekv. 0.}$ ${squarestyle square}$

Jako poznámka pro všechny R-modul M, nechali jsme

${displaystyle Gamma _ {mathfrak {m}} (M) = {sin M | operatorname {supp} (s) podmnožina {{mathfrak {m}}}}} = {sin M | {mathfrak {m}} ^ {j} s = 0 {ext {pro některé}} j}.}$

Jeden to bez problémů vidí ${displaystyle Gamma _ {mathfrak {m}}}$ je levý přesný funktor a pak nech ${displaystyle H_ {mathfrak {m}} ^ {j} = R ^ {j} gama _ {mathfrak {m}}}$ být jeho j-th pravý odvozený funktor, volal místní kohomologie z R. Od té doby ${displaystyle Gamma _ {mathfrak {m}} (M) = varinjlim operatorname {Hom} _ {R} (R / {mathfrak {m}} ^ {j}, M)}$prostřednictvím abstraktních nesmyslů,

${displaystyle H_ {mathfrak {m}} ^ {i} (M) = varinjlim operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (R / {mathfrak {m}} ^ {j}, M)}$.

Toto pozorování dokazuje první část věty níže.

Důkaz: 1. je již zaznamenán (kromě toho, že se ukazuje nelakování ve stupni rovném hloubce M; k tomu použijte indukci) a 3. je obecný fakt abstraktním nesmyslem. 2. je důsledkem explicitního výpočtu místní kohomologie pomocí Koszulových komplexů (viz níže). ${squarestyle square}$

Koszul komplex

Nechat R být prsten a X prvek v něm. Tvoříme řetězový komplex K.(X) dána ${displaystyle K (x) _ {i} = R}$ pro i = 0, 1 a ${displaystyle K (x) _ {i} = 0}$ pro jakékoli jiné i s diferenciálem

${displaystyle d: K_ {1} (R) o K_ {0} (R) ,, rmapsto xr.}$

Pro všechny R-modul M, pak dostaneme komplex ${displaystyle K (x, M) = K (x) mnohokrát _ {R} M}$ s diferenciálem ${displaystyle dotimes 1}$ a nechte ${displaystyle operatorname {H} _ {*} (x, M) = operatorname {H} _ {*} (K (x, M))}$ být jeho homologií. Poznámka:

${displaystyle operatorname {H} _ {0} (x, M) = M / xM}$,

${displaystyle operatorname {H} _ {1} (x, M) = {} _ {x} M = {min M | xm = 0}}$.

Obecněji řečeno, vzhledem k konečné posloupnosti ${displaystyle x_ {1}, tečky, x_ {n}}$ prvků v kruhu R, tvoříme tenzorový produkt komplexů:

${displaystyle K (x_ {1}, tečky, x_ {n}) = K (x_ {1}) otimes tečky otimes K (x_ {n})}$

a nechte ${displaystyle operatorname {H} _ {*} (x_ {1}, dots, x_ {n}, M) = operatorname {H} _ {*} (K (x_ {1}, dots, x_ {n}, M ))}$ jeho homologie. Jako dříve,

${displaystyle operatorname {H} _ {0} ({underline {x}}, M) = M / (x_ {1}, dots, x_ {n}) M}$,

${displaystyle operatorname {H} _ {n} ({underline {x}}, M) = operatorname {Ann} _ {M} ((x_ {1}, dots, x_ {n}))}$.

Nyní máme homologickou charakteristiku pravidelné sekvence.

Komplex Koszul je výkonný výpočetní nástroj. Například to vyplývá z věty a následku

${displaystyle operatorname {H} _ {mathfrak {m}} ^ {i} (M) simeq varinjlim operatorname {H} ^ {i} (K (x_ {1} ^ {j}, tečky, x_ {n} ^ { j}; M))}$

(Zde se používá sebestřednost Koszulova komplexu; viz Propozice 17.15. Eisenbud, Komutativní algebra s pohledem na algebraickou geometrii.)

Jiná instance by byla

Poznámka: Věta může být použita pro druhý rychlý důkaz Serreovy věty R je regulární, právě když má konečnou globální dimenzi. Podle výše uvedené věty ${displaystyle operatorname {Tor} _ {s} ^ {R} (k, k) eq 0}$ a tudíž ${displaystyle operatorname {gl.dim} Rgeq s}$. Na druhou stranu jako ${displaystyle operatorname {gl.dim} R = operatorname {pd} _ {R} k}$dává vzorec Auslander – Buchsbaum ${displaystyle operatorname {gl.dim} R = dim R}$. Proto, ${displaystyle dim Rleq sleq operatorname {gl.dim} R = dim R}$.

Dále použijeme Koszulovu homologii k definování a studiu kompletní průnikové kroužky. Nechat R být noetherianským místním kruhem. Podle definice je první odchylka z R je dimenze vektorového prostoru

${displaystyle epsilon _ {1} (R) = dim _ {k} operatorname {H} _ {1} ({underline {x}})}$

kde ${displaystyle {underline {x}} = (x_ {1}, dots, x_ {d})}$ je systém parametrů. Podle definice, R je kompletní křižovatka, pokud ${displaystyle dim R + epsilon _ {1} (R)}$ je rozměr tečného prostoru. (Geometrický význam viz Hartshorne.)

Injekční rozměr a rozměry Tor

Nechat R ložisko. The injektivní dimenze z R-modul M označeno ${displaystyle operatorname {id} _ {R} M}$ je definován jako projektivní dimenze: je to minimální délka injektivního rozlišení M. Nechat ${displaystyle operatorname {Mod} _ {R}}$ být kategorií R- moduly.

Důkaz: Předpokládejme ${displaystyle operatorname {gl.dim} Rleq n}$. Nechat M být R-modul a zvažte řešení

${displaystyle 0 o M o I_ {0} {overset {phi _ {0}} {o}} I_ {1} o tečky o I_ {n-1} {overset {phi _ {n-1}} {o} } Ne 0}$

kde ${displaystyle I_ {i}}$ jsou injektivní moduly. Pro každý ideální Já,

${displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {1} (R / I, N) simeq operatorname {Ext} _ {R} ^ {2} (R / I, operatorname {ker} (phi _ {n-1 })) simeq tečky simeq operatorname {Ext} _ {R} ^ {n + 1} (R / I, M),}$

což je od té doby nula ${displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {n + 1} (R / I, -)}$ je počítáno prostřednictvím projektivního rozlišení ${displaystyle R / I}$. Tak, tím Baerovo kritérium, N je injekční. Došli jsme k závěru, že ${displaystyle sup {operatorname {id} _ {R} M | M} leq n}$. V podstatě otočením šipek lze také dokázat implikaci jiným způsobem. ${squarestyle square}$

Věta naznačuje, že uvažujeme o jakémsi duálu globální dimenze:

${displaystyle operatorname {w.gl.dim} = inf {n | operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} (M, N) = 0,, i> n, M, Nin operatorname {Mod} _ {R }}}$.

Původně se tomu říkalo slabá globální dimenze R ale dnes se tomu běžněji říká Tor rozměr z R.

Poznámka: pro jakýkoli prsten R, ${displaystyle operatorname {w.gl.dim} Rleq operatorname {gl.dim} R}$.

Teorie multiplicity

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Květen 2015)

Rozměry nekomutativních kroužků

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Květen 2015)

Nechat A být odstupňovanou algebrou nad polem k. Li PROTI je konečný trojrozměrný generující podprostor A, pak to necháme ${displaystyle f (n) = dim _ {k} V ^ {n}}$ a pak dal

${displaystyle operatorname {gk} (A) = limsup _ {n o infty} {log f (n) over log n}}$.

Říká se tomu Gelfand – Kirillovova dimenze z A. Je snadné to ukázat ${displaystyle operatorname {gk} (A)}$ je nezávislá na výběru z PROTI.

Příklad: Pokud A je konečně-dimenzionální, pak gk (A) = 0. Pokud A je afinní prsten, pak gk (A) = Krullův rozměr A.

Viz také: Zlatá dimenze, Dimenze Krull – Gabriel.

Viz také

• Číslo basy
• Dokonalý komplex
• amplituda

Poznámky

Reference

• Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993), Cohen-Macaulayovy prsteny, Cambridge studia pokročilé matematiky, 39, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-41068-7, PAN  1251956
• Část II Eisenbud, David (1995), Komutativní algebra. S pohledem na algebraickou geometrii, Postgraduální texty z matematiky, 150, New York: Springer-Verlag, ISBN  0-387-94268-8, PAN  1322960.
• Kapitola 10 Atiyah, Michael Francis; Macdonald, I.G. (1969), Úvod do komutativní algebry, Westview Press, ISBN  978-0-201-40751-8.
• Kaplansky, Irving, Komutativní prsteny, Allyn a Bacon, 1970.
• H. Matsumura Komutativní prstencová teorie. Z japonštiny přeložil M. Reid. Druhé vydání. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8.
• Serre, Jean-Pierre (1975), Algèbre národní prostředí. Multiplicita„Cours au Collège de France, 1957–1958, redaktorka Pierre Gabriel. Troisième édition, 1975. Přednášky z matematiky (ve francouzštině), 11, Berlín, New York: Springer-Verlag
• Weibel, Charles A. (1995). Úvod do homologické algebry. Cambridge University Press.