Vzestupný stav řetězu - Ascending chain condition
v matematika, vzestupný stav řetězu (ACC) a sestupný stav řetězu (DCC) jsou vlastnosti konečnosti uspokojené některými algebraické struktury nejdůležitější ideály v některých komutativní prsteny.[1][2][3] Tyto podmínky hrály důležitou roli při vývoji teorie struktury komutativních kruhů v pracích David Hilbert, Emmy Noetherová, a Emil Artin Samotné podmínky lze vyjádřit abstraktně, aby pro všechny měly smysl částečně objednaná sada. Tento úhel pohledu je užitečný v teorii abstraktní algebraické dimenze kvůli Gabrielovi a Rentschlerovi.
Definice
A částečně objednaná sada (poset) P prý uspokojuje vzestupný stav řetězu (ACC), pokud žádná (nekonečná) striktně vzestupná sekvence
prvků P existuje.[4] Ekvivalentně[poznámka 1] každou slabě vzestupnou sekvenci
prvků P nakonec se stabilizuje, což znamená, že existuje kladné celé číslo n takhle
Podobně, P prý uspokojuje sestupný stav řetězu (DCC), pokud neexistuje nekonečný sestupný řetězec prvků P.[4] Ekvivalentně každá slabě sestupná sekvence
prvků P nakonec se stabilizuje.
Komentáře
- Za předpokladu, že axiom závislé volby, sestupná podmínka řetězu na (možná nekonečné) poset P je ekvivalentní k P bytost opodstatněný: každá neprázdná podmnožina P má minimální prvek (také nazývaný minimální stav nebo minimální podmínka). A úplně objednaná sada to je opodstatněné je a dobře uspořádaná sada.
- Podobně je podmínka vzestupného řetězce ekvivalentní P hovořit opodstatněně (opět za předpokladu závislé volby): každá neprázdná podmnožina P má maximální prvek ( maximální stav nebo maximální stav).
- Každý konečný poset splňuje podmínky vzestupného i sestupného řetězce, a je tedy opodstatněný i konverzovaný.
Příklad
Zvažte prsten
celých čísel. Každý ideál se skládá ze všech násobků nějakého čísla . Například ideální
se skládá ze všech násobků . Nechat
být ideál skládající se ze všech násobků . Ideál je obsažen uvnitř ideálu , protože každý násobek je také násobkem . Na druhé straně ideální je obsažen v ideálu , protože každý násobek je násobkem . V tomto okamžiku však neexistuje žádný větší ideál; jsme "topped" na .
Obecně, pokud jsou ideály takhle je obsažen v , je obsažen v , a tak dále, pak tam jsou některé pro které všechny . To znamená, že po určitém okamžiku jsou všechny ideály stejné. Proto ideály uspokojit vzestupnou podmínku řetězce, kde jsou ideály seřazené podle zahrnutí sady. Proto je Noetherian ring.
Viz také
Poznámky
- ^ Důkaz: zaprvé, přísně rostoucí sekvence se samozřejmě nemůže stabilizovat. Naopak, předpokládejme, že existuje vzestupná posloupnost, která se nestabilizuje; pak jasně obsahuje přísně rostoucí (nutně nekonečnou) subsekvenci. Všimněte si, že důkaz nepoužívá plnou sílu zvoleného axiomu.[je zapotřebí objasnění ]
Reference
- Atiyah, M. F. a I. G. MacDonald, Úvod do komutativní algebry Knihy Perseus, 1969, ISBN 0-201-00361-9
- Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, V. V. Kirichenko. Algebry, prsteny a moduly. Kluwer Academic Publishers, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
- John B. Fraleigh, Victor J. Katz. První kurz abstraktní algebry. Vydavatelství Addison-Wesley. 5. vydání, 1967. ISBN 0-201-53467-3
- Nathan Jacobson. Základní algebra I. Dover, 2009. ISBN 978-0-486-47189-1