Integrální prvek - Integral element
v komutativní algebra prvek b a komutativní prsten B se říká, že je integrál přes A, a podřízený z B, pokud existují n ≥ 1 a Aj v A takhle
To znamená, b je kořenem a monický polynom přes A.[1] Sada prvků B které jsou nedílnou součástí A se nazývá integrální uzávěr z A v B. Je to podřetězec z B obsahující A. Pokud každý prvek B je integrální konec A, pak to říkáme B je integrál přes Anebo ekvivalentně B je integrální rozšíření z A.
Li A, B jsou pole, pak pojmy „integrál nad“ a „integrální přípona“ jsou přesně „algebraické nad“ a „algebraické rozšíření " v teorie pole (protože kořen libovolného polynomu je kořenem monického polynomu).
Případ největšího zájmu o teorie čísel je komplex komplexních čísel integrálních přes Z (např., nebo ); v této souvislosti se obvykle nazývají integrální prvky algebraická celá čísla. Algebraická celá čísla v a konečné pole rozšíření k z racionální Q tvoří podřetězec z k, nazvaný kruh celých čísel z k, ústřední předmět studia v Liberci algebraická teorie čísel.
V tomto článku termín prsten bude rozumět komutativní prsten s multiplikativní identitou.
Příklady
Integrální uzavření v algebraické teorii čísel
Existuje mnoho příkladů integrálního uzavření, které lze nalézt v algebraické teorii čísel, protože je zásadní pro definování kruh celých čísel pro rozšíření algebraického pole (nebo ).
Integrální uzavření celých čísel v racionálních
Celá čísla jsou jedinými prvky Q které jsou nedílnou součástí Z. Jinými slovy, Z je integrální uzavření Z v Q.
Kvadratická rozšíření
The Gaussova celá čísla, jsou komplexní čísla formuláře , a jsou nedílnou součástí Z. je pak integrální uzavření Z v . Tento kruh je obvykle označen .
Integrální uzavření Z v je prsten
tento příklad a ten předchozí jsou příklady kvadratická celá čísla. Integrální uzavření kvadratického prodloužení lze najít vytvořením minimální polynom libovolného prvku a nalezení čísla-teoretického kritéria pro polynom, aby měl integrální koeficienty. Tuto analýzu lze nalézt v článek o kvadratických rozšířeních.
Kořeny jednoty
Nechť ζ být kořen jednoty. Pak integrální uzavření Z v cyklotomické pole Q(ζ) je Z[ζ].[2] To lze zjistit pomocí minimální polynom a pomocí Eisensteinovo kritérium.
Kruh algebraických celých čísel
Integrální uzavření Z v oblasti komplexních čísel Cnebo algebraický uzávěr se nazývá prsten z algebraická celá čísla.
jiný
The kořeny jednoty, nilpotentní prvky a idempotentní prvky v jakémkoli kruhu jsou integrální Z.
Integrální uzavření v geometrii
V geometrii je integrální uzávěr úzce spjat s normalizace a normální schémata. Je to první krok dovnitř rozlišení singularit protože poskytuje postup pro řešení singularit codimension 1.
- Například integrální uzavření je prsten protože geometricky první prsten odpovídá - letadlo sjednocené s -letadlo. Mají codimension 1 singularity podél -osy, kde se protínají.
- Nechť konečná skupina G jednat na prstenu A. Pak A je integrální konec AG sada prvků opravených G. Vidět prsten invarianty.
- Nechat R být prsten a u jednotka v kruhu obsahující R. Pak[3]
- u−1 je integrální konec R kdyby a jen kdyby u−1 ∈ R[u].
- je integrální konec R.
- Integrální uzavření homogenní souřadnicový kruh normální projektivní rozmanitost X je kruh sekcí[4]
Integrita v algebře
- Li je algebraické uzavření pole k, pak je integrální konec
- Integrální uzavření C[[X]] v konečném rozšíření C((X)) má formu (srov. Série Puiseux )[Citace je zapotřebí ]
Ekvivalentní definice
Nechat B být prsten, a nechť A být podřetězcem B. Vzhledem k prvku b v B, ekvivalentní jsou následující podmínky:
- (i) b je integrální konec A;
- ii) podřetězce A[b] z B generováno uživatelem A a b je definitivně generováno A-modul;
- (iii) existuje podřetězec C z B obsahující A[b] a který je definitivně generován A-modul;
- (iv) existuje věřící A[b]-modul M takhle M je definitivně vygenerován jako A-modul.
Obvyklý důkaz toho používá následující variantu Cayley-Hamiltonova věta na determinanty:
- Teorém Nechat u být endomorfismus z A-modul M generováno uživatelem n prvky a Já ideál A takhle . Pak existuje vztah:
Tato věta (s Já = A a u násobení b) dává (iv) ⇒ (i) a zbytek je snadný. Shodou okolností, Nakayamovo lemma je také bezprostředním důsledkem této věty.
Základní vlastnosti
Integrovaný uzávěr tvoří prsten
Z výše uvedených čtyř ekvivalentních tvrzení vyplývá, že množina prvků které jsou nedílnou součástí tvoří podřetězec obsahující . (Důkaz: Pokud X, y jsou prvky které jsou nedílnou součástí , pak jsou nedílnou součástí protože se stabilizují , což je konečně generovaný modul a je zničena pouze nulou.)[5] Tento prsten se nazývá integrální uzávěr z v .
Přechodnost celistvosti
Dalším důsledkem výše uvedené ekvivalence je to, že „integrita“ je přechodná v následujícím smyslu. Nechat být prsten obsahující a . Li je integrální konec a integrál přes , pak je integrální konec . Zejména pokud je sám o sobě nedílnou součástí a je integrální konec , pak je také nedílnou součástí .
Integrál uzavřený v poli zlomku
Li stane se integrálním uzavřením v , pak A se říká, že je integrálně uzavřeno v . Li je celkový kruh zlomků z , (např. pole zlomků, když je integrální doménou), pak člověk někdy upustí od kvalifikace "in "a jednoduše říká" integrální uzavření " a " je integrálně uzavřeno."[6] Například kruh celých čísel je integrálně uzavřen v terénu .
Přechodnost integrálního uzávěru s integrálně uzavřenými doménami
Nechat A být integrální doménou s polem zlomků K. a A' integrální uzavření A v rozšíření algebraického pole L z K.. Pak pole zlomků A' je L. Zejména, A' je integrálně uzavřená doména.
Tranzitivita v algebraické teorii čísel
Tato situace je použitelná v algebraické teorii čísel, když se týká kruhu celých čísel a rozšíření pole. Zejména vzhledem k rozšíření pole integrální uzavření v je kruh celých čísel .
Poznámky
Všimněte si, že výše uvedená tranzitivita integrity znamená, že pokud je integrální konec , pak je unie (rovnocenně indukční limit ) podřetězců, které jsou definitivně generovány - moduly.
Li je noetherian, tranzitivitu integrity lze oslabit na tvrzení:
- Existuje konečně vygenerovaný -modul z který obsahuje .
Vztah s podmínkami konečnosti
Nakonec předpoklad, že být podřetězcem lze trochu upravit. Li je kruhový homomorfismus, pak jeden říká je integrální -li je integrální konec . Stejným způsobem se říká je konečný ( definitivně generováno -module) nebo konečný typ ( definitivně generováno -algebra). Z tohoto hlediska to jeden má
- je konečný právě tehdy je integrální a konečného typu.
Nebo přesněji
- je definitivně generován -module právě tehdy je generován jako -algebra o konečný počet prvků integrálně přes .
Integrální rozšíření
Cohen-Seidenbergovy věty
Integrální rozšíření A ⊆ B má počáteční nemovitost, ležet majetek a nesrovnatelnost vlastnictví (Cohen – Seidenbergovy věty ). Výslovně, vzhledem k řetězci ideálů v A existuje a v B s (jít nahoru a ležet) a dva odlišné hlavní ideály s inkluzním vztahem nemohou uzavřít smlouvu se stejným hlavním ideálem (neporovnatelnost). Zejména Rozměry Krull z A a B jsou stejní. Kromě toho, pokud A je integrálně uzavřená doména, pak jde dolů (viz níže).
Obecně platí, že nástup znamená implicitně ležet.[7] V následujícím textu tedy jednoduše řekneme „stoupající“, což znamená „stoupající“ a „ležící“.
Když A, B jsou domény takové, že B je integrální konec A, A je pole právě tehdy, když B je pole. Důsledkem je: daný hlavní ideál z B, je maximální ideál z B kdyby a jen kdyby je maximálním ideálem A. Další důsledek: pokud L/K. je algebraické rozšíření, pak libovolný podřetězec z L obsahující K. je pole.
Aplikace
Nechat B být prsten, který je nedílnou součástí podřetězce A a k algebraicky uzavřené pole. Li je tedy homomorfismus F sahá až k homomorfismu B → k.[8] To vyplývá z chystání.
Geometrická interpretace nástupu
Nechat být integrálním prodloužením kroužků. Pak indukovaná mapa
je uzavřená mapa; ve skutečnosti, pro jakýkoli ideál Já a je surjektivní, pokud F je injekční. Toto je geometrická interpretace postupu.
Geometrická interpretace integrálních rozšíření
Nechat B být prsten a A podřetězec, který je noetherianskou integrálně uzavřenou doménou (tj. je normální schéma.) Pokud B je integrální konec A, pak je ponorný; tj. topologie je kvocient topologie.[9] Důkaz používá pojem konstruovatelné sady. (Viz také: torzor (algebraická geometrie).)
Integrita, změna základny, univerzální uzavření a geometrie
Li je integrální konec , pak je integrální konec R pro všechny A-algebra R.[10] Zejména, je zavřený; tj. integrální rozšíření indukuje „všeobecně uzavřené"mapa. To vede k geometrická charakterizace integrálního rozšíření. Jmenovitě B být prsten s konečně mnoha minimální hlavní ideály (např. integrální doména nebo noetherovský kruh). Pak B je integrál nad (podřetězec) A kdyby a jen kdyby je uzavřen pro všechny A-algebra R.[11] Zejména každý správná mapa je všeobecně uzavřený.[12]
Galoisovy akce na integrálních rozšířeních integrálně uzavřených domén
- Tvrzení. Nechat A být integrálně uzavřenou doménou s polem zlomků K., L konečný normální rozšíření z K., B integrální uzavření A v L. Pak skupina působí přechodně na každé vlákno .
Důkaz. Předpokládat pro všechny v G. Pak, tím hlavní vyhýbání se, existuje prvek X v takhle pro všechny . G opravuje prvek a tudíž y je čistě neoddělitelné přes K.. Pak nějaká síla patří K.; od té doby A je integrálně uzavřeno, máme: Tak jsme našli je v ale ne v ; tj., .
Aplikace na algebraickou teorii čísel
Skupina galois pak působí na všechny hlavní ideály ležet nad pevně daným ideálem ideálu .[13] To je, pokud
pak je na scéně akce Galois . Tomu se říká Rozdělení hlavních ideálů v rozšířeních Galois.
Poznámky
Stejná myšlenka v důkazu ukazuje, že pokud je tedy čistě neoddělitelné rozšíření (nemusí být normální) je bijektivní.
Nechat A, K.atd. jako dříve, ale předpokládejme L je pouze konečné pole rozšíření K.. Pak
- (i) má konečná vlákna.
- (ii) sestupné držení mezi A a B: dané , tady existuje že se s tím uzavře.
Ve skutečnosti, v obou prohlášeních, rozšířením L, můžeme předpokládat L je normální přípona. Pak (i) je okamžitý. Pokud jde o bod (ii), při cestě najdeme řetězec které uzavírají smlouvy . Transitivitou je takhle a pak jsou požadovaný řetězec.
Integrální uzavření
Nechat A ⊂ B být prsteny a A' integrální uzavření A v B. (Definici viz výše.)
Integrální uzávěry se chovají pěkně pod různými konstrukcemi. Konkrétně pro a multiplikativně uzavřená podmnožina S z A, lokalizace S−1A' je integrální uzavření S−1A v S−1B, a je integrální uzavření v .[14] Li jsou podřetězce prstenů , pak integrální uzavření v je kde jsou integrální uzávěry v .[15]
Integrované uzavření místního kruhu A v, řekněme, B, nemusí být místní. (V takovém případě se zavolá prsten jednobodový.) To je například případ, kdy A je Henselian a B je rozšíření pole pole zlomků A.
Li A je podřetězec pole K., pak integrální uzavření A v K. je křižovatkou všech oceňovací prsteny z K. obsahující A.
Nechat A být - klasifikovaný podřetězec an -odstupňovaný prsten B. Pak integrální uzavření A v B je - klasifikovaný podřetězec z B.[16]
Existuje také koncept integrální uzavření ideálu. Integrální uzavření ideálu , obvykle označeno , je množina všech prvků takové, že existuje monický polynom
s s jako kořen. Všimněte si, že toto je definice, která se objevuje například v Eisenbudu a liší se od definice Bourbakiho a Atiyah – MacDonalda.
Pro noetherian prsteny existují také alternativní definice.
- pokud existuje není obsažen v žádném minimálním prime, takový pro všechny .
- pokud je v normalizovaném nafouknutí Já, odtáhnout r je obsažen v inverzním obrazu Já. Nafouknutí ideálu je operace schémat, která nahradí daný ideál hlavním ideálem. Normalizace schématu je jednoduše schéma odpovídající integrálnímu uzavření všech jeho kruhů.
Pojem integrálního uzavření ideálu se používá v některých důkazech věta o sestupu.
Dirigent
Nechat B být prsten a A podřetězec z B takhle B je integrální konec A. Pak zničit z A-modul B/A se nazývá dirigent z A v B. Protože ta představa má původ algebraická teorie čísel, je vodič označen . Výslovně, sestává z prvků A v A takhle . (srov. idealista v abstraktní algebře.) Je největší ideál z A to je také ideál B.[17] Li S je multiplikativně uzavřená podmnožina A, pak
- .
Li B je podřetězec celkový kruh zlomků z A, pak můžeme identifikovat
- .
Příklad: Let k být pole a nechat (tj., A je souřadnicový kruh afinní křivky .) B je integrální uzavření A v . Dirigent A v B je ideální . Obecněji řečeno, dirigent , A, b relativně prime, je s .[18]
Předpokládat B je integrální uzavření integrální domény A v oblasti zlomků A takové, že A-modul je definitivně generován. Pak dirigent z A je ideální definicí podpora ; tím pádem, A se shoduje s B v doplňku v . Zejména sada , doplněk , je otevřená sada.
Konečnost integrálního uzavření
Důležitou, ale obtížnou otázkou je konečnost integrálního uzavření konečně generované algebry. Existuje několik známých výsledků.
Integrální uzavření Dedekindovy domény v konečném rozšíření pole zlomků je Dedekindova doména; zejména noetherian ring. To je důsledek Krull – Akizukiho věta. Obecně platí, že integrální uzavření noetherovské domény dimenze nejvýše 2 je noetherian; Nagata uvedl příklad noetherianské domény dimenze 3, jejíž integrální uzavření není noetherian.[19] Pěknější prohlášení je toto: integrální uzavření noetherovské domény je a Krull doména (Mori – Nagatova věta ). Nagata také uvedl příklad dimenze 1 noetherian místní domény tak, že integrální uzávěr není konečný přes tuto doménu.[Citace je zapotřebí ]
Nechat A být noetherian integrálně uzavřenou doménou s polem zlomků K.. Li L/K. je konečné oddělitelné prodloužení, pak integrální uzávěr z A v L je definitivně generován A-modul.[20] To je snadné a standardní (využívá skutečnost, že stopa definuje nedegenerovanou bilineární formu.)
Nechat A být konečně generovanou algebrou nad polem k to je integrální doména s polem zlomků K.. Li L je konečné rozšíření K., pak integrální uzávěr z A v L je definitivně generován A-module a je také definitivně generován k-algebra.[21] Výsledkem je Noether a lze jej zobrazit pomocí Noetherovo normalizační lema jak následuje. Je jasné, že stačí ukázat tvrzení kdy L/K. je buď oddělitelný, nebo čistě neoddělitelný. Oddělitelný případ je uveden výše; tedy předpokládejme L/K. je čistě neoddělitelný. Normalizačním lemmatem A je integrální přes polynomiální kruh . Od té doby L/K. je konečné čistě neoddělitelné rozšíření, existuje síla q prvočísla takového, že každý prvek L je q-tý kořen prvku v K.. Nechat být konečným rozšířením k obsahující vše q-té kořeny koeficientů konečně mnoha racionálních funkcí, které generují L. Pak máme: Prsten vpravo je pole zlomků , což je integrální uzavření S; tedy obsahuje . Proto, je konečný S; tím spíše, přes A. Výsledek zůstane pravdivý, pokud ho vyměníme k podle Z.
Integrální uzavření kompletní místní noetherian domény A v konečném rozšíření pole zlomků A je konečný A.[22] Přesněji řečeno, pro místní noetherianský prsten R, máme následující řetězce implikací:[23]
- (i) A kompletní A je Nagata prsten
- ii) A je doména Nagata A analyticky unramified integrální uzavření dokončení je konečný integrální uzavření A je konečný nad A.
Noetherovo normalizační lemma
Noetherovo normalizační lema je teorémem komutativní algebra. Dáno pole K. a konečně vygenerovaný K.-algebra Avěta říká, že je možné najít prvky y1, y2, ..., ym v A to jsou algebraicky nezávislý přes K. takhle A je konečný (a tedy integrální) konec B = K.[y1,..., ym]. Tedy rozšíření K. ⊂ A lze psát jako složený K. ⊂ B ⊂ A kde K. ⊂ B je čistě transcendentální rozšíření a B ⊂ A je konečný.[24]
Integrální morfismy
v algebraická geometrie morfismus z schémata je integrální Pokud to je afinní a pokud pro některé (ekvivalentně všechny) afinní otevřený kryt z Y, každá mapa je ve formě kde A je integrál B-algebra. Třída integrálních morfismů je obecnější než třída konečné morfismy protože existují integrální rozšíření, která nejsou konečná, jako je v mnoha případech algebraické uzavření pole nad polem.
Absolutní integrální uzavření
Nechat A být integrální doménou a L (nějaký) algebraické uzavření pole zlomků A. Pak integrální uzávěr z A v L se nazývá absolutní integrální uzávěr z A.[25] Je jedinečný až do nekanonického izomorfismu. The kruh všech algebraických celých čísel je příklad (a tedy obvykle není noetherian.)
Viz také
- Normální schéma
- Noetherovo normalizační lema
- Algebraické celé číslo
- Rozdělení hlavních ideálů v rozšířeních Galois
- Torsor (algebraická geometrie)
Poznámky
- ^ Výše uvedená rovnice se někdy nazývá integrální rovnice a b je prý integrálně závislá na A (naproti tomu algebraické závislé.)
- ^ Milne Věta 6.4
- ^ Kaplansky, 1.2. Cvičení 4.
- ^ Hartshorne 1977, Ch. II, cvičení 5.14
- ^ Tento důkaz je způsoben Dedekindem (Milne, ANT). Alternativně lze použít symetrické polynomy k zobrazení integrálních prvků tvořících kruh. (loc cit.)
- ^ Kapitola 2 z Huneke a Swanson 2006
- ^ Kaplansky 1970 Věta 42
- ^ Bourbaki 2006, Ch 5, §2, dodatek 4 k větě 1.
- ^ Matsumura 1970, Ch 2. Věta 7
- ^ Bourbaki 2006, Ch 5, § 1, návrh 5
- ^ Atiyah – MacDonald 1969, Ch 5. Cvičení 35
- ^ „Oddíl 32.14 (05JW): Všeobecně uzavřené morfismy - projekt The Stacks“. stacks.math.columbia.edu. Citováno 2020-05-11.
- ^ Steine. Výpočetní úvod do teorie algebraických čísel (PDF). str. 101.
- ^ Cvičení v Atiyah – MacDonald.
- ^ Bourbaki 2006, Ch 5, § 1, návrh 9
- '^ Důkaz: Let být takovým prstencovým homomorfismem -li je homogenní se stupněm n. Integrální uzavření v je , kde je integrální uzavření A v B. Li b v B je integrální konec A, pak je integrální konec ; tj. je v . To znamená, že každý koeficient v polynomu je v A.
- ^ Kapitola 12 Huneke a Swanson 2006
- ^ Swanson 2006, Příklad 12.2.1
- ^ Swanson 2006 Cvičení 4.9
- ^ Atiyah – MacDonald 1969, Ch 5. Návrh 5.17
- ^ Hartshorne 1977, Ch I. Věta 3.9 A
- ^ Swanson 2006, Věta 4.3.4
- ^ Matsumura 1970, Ch 12
- ^ Kapitola 4 Reida.
- ^ Melvin Hochster, Matematika 711: Přednáška ze dne 7. září 2007
Reference
- M. Atiyah, I.G. Macdonald, Úvod do komutativní algebry, Addison – Wesley, 1994. ISBN 0-201-40751-5
- Nicolas Bourbaki, Algèbre komutativní, 2006.
- Eisenbud, David, Komutativní algebra s pohledem na algebraickou geometrii, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.
- Kaplansky, Irving (září 1974). Komutativní prsteny. Přednášky z matematiky. University of Chicago Press. ISBN 0-226-42454-5.
- Hartshorne, Robine (1977), Algebraická geometrie, Postgraduální texty z matematiky, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, PAN 0463157
- Matsumura, H (1970), Komutativní algebra
- H. Matsumura Komutativní prstencová teorie. Z japonštiny přeložil M. Reid. Druhé vydání. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8.
- J. S. Milne „Algebraická teorie čísel.“ Dostupné v http://www.jmilne.org/math/
- Huneke, Craig; Swanson, Irena (2006), Integrální uzavření ideálů, prstenů a modulů, Série přednášek London Mathematical Society, 336, Cambridge, Velká Británie: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-68860-4, PAN 2266432
- M. Reid, Vysokoškolská komutativní algebra, London Mathematical Society, 29, Cambridge University Press, 1995.
Další čtení
- Irena Swanson, Integrální uzávěry ideálů a prstenů
- Mají DG-algebry nějaký rozumný pojem integrálního uzavření?
- Je vždy integrální rozšíření pro pravidelnou sekvenci ?]