Superalgebra - Superalgebra

v matematika a teoretická fyzika, a superalgebra je Z₂-odstupňovaná algebra.^[1] To znamená, že je algebra přes komutativní prsten nebo pole s rozkladem na „sudé“ a „liché“ kusy a operátor násobení, který respektuje hodnocení.

Předpona super- pochází z teorie supersymetrie v teoretické fyzice. Superalgebry a jejich reprezentace, supermoduly, poskytují algebraický rámec pro formulování supersymetrie. Studium takových objektů se někdy nazývá superlineární algebra. Superalgebry také hrají důležitou roli v související oblasti supergeometrie kde vstupují do definic odstupňované rozdělovače, supermanifolds a superschémata.

Formální definice

Nechat K. být komutativní prsten. Ve většině aplikací K. je pole z charakteristický 0, například R nebo C.

A superalgebra přes K. je K.-modul A s přímý součet rozklad

${ displaystyle A = A_ {0} oplus A_ {1}}$

společně s a bilineární násobení A × A → A takhle

${ displaystyle A_ {i} A_ {j} subseteq A_ {i + j}}$

kde se čtou indexy modulo 2, tj. Jsou považovány za prvky Z₂.

A superringnebo Z₂-odstupňovaný prsten, je superalgebra nad kruhem celá čísla Z.

Prvky každého z A_i se říká, že jsou homogenní. The parita homogenního prvku X, označeno |X|, je 0 nebo 1 podle toho, zda je v A₀ nebo A₁. O prvcích parity 0 se říká, že jsou dokonce a parity 1 zvláštní. Li X a y jsou oba homogenní, stejně tak produkt xy a ${ displaystyle | xy | = | x | + | y ​​|}$.

An asociativní superalgebra je ten, jehož násobení je asociativní a a unital superalgebra je multiplikativní prvek identity. Prvek identity v unitalské superalgebře je nutně rovnoměrný. Pokud není uvedeno jinak, předpokládá se, že všechny superalgebry v tomto článku jsou asociativní a jednotné.

A komutativní superalgebra (nebo supercommutative algebra) je ten, který splňuje odstupňovanou verzi komutativita. Konkrétně A je komutativní, pokud

${ displaystyle yx = (- 1) ^ {| x || y |} xy ,}$

pro všechny homogenní prvky X a y z A. Existují superalgebry, které jsou komutativní v běžném smyslu, ale ne ve smyslu superalgebry. Z tohoto důvodu se komutativní superalgebry často nazývají superkomutativní aby nedošlo k záměně.^[2]

Příklady

• Jakákoli algebra přes komutativní kruh K. lze považovat za čistě rovnoměrnou superalgebru K.; to znamená, že A₁ být triviální.
• Žádný Z- nebo N-odstupňovaná algebra lze považovat za superalgebru čtením klasifikačního modulu 2. To zahrnuje příklady jako tenzorové algebry a polynomiální kroužky přes K..
• Zejména jakékoli vnější algebra přes K. je superalgebra. Vnější algebra je standardním příkladem a supercommutativní algebra.
• The symetrické polynomy a střídavé polynomy společně tvoří superalgebru, přičemž jde o sudou a lichou část. Všimněte si, že se jedná o odlišné hodnocení od hodnocení podle stupně.
• Cliffordské algebry jsou superalgebry. Jsou obecně nekomutativní.
• Sada všech endomorfismy (označeno ${ displaystyle mathbf {End} (V) equiv mathbf {Hom} (V, V)}$, kde je tučně ${ displaystyle mathrm {Hom}}$ se označuje jako vnitřní ${ displaystyle mathrm {Hom}}$, složen z Všechno lineární mapy) a super vektorový prostor tvoří ve složení superalgebru.
• Sada všech čtverců supermatrice se záznamy v K. tvoří superalgebru označenou M_p|q(K.). Tato algebra může být identifikována s algebrou endomorfismů volného supermodulu K. hodnosti p|q a je vnitřní Hom výše pro tento prostor.
• Lež superalgebry jsou odstupňovaným analogem Lež algebry. Leží superalgebry jsou nejednotné a neasociální; lze však zkonstruovat analog a univerzální obalová algebra lži superalgebry, která je unital, asociativní superalgebra.

Další definice a konstrukce

Dokonce i subalgebra

Nechat A být superalgebrou nad komutativním kruhem K.. The submodul A₀, skládající se ze všech sudých prvků, je uzavřen při násobení a obsahuje identitu A a proto tvoří a subalgebra z A, přirozeně nazývaný dokonce subalgebra. Tvoří obyčejný algebra přes K..

Sada všech lichých prvků A₁ je A₀-bimodul jehož skalární násobení je pouze násobení v A. Produkt v A vybavuje A₁ s bilineární forma

${ displaystyle mu: A_ {1} mnohokrát _ {A_ {0}} A_ {1} až A_ {0}}$

takhle

${ Displaystyle mu (x ot y) cdot z = x cdot mu (y otimes z)}$

pro všechny X, y, a z v A₁. To vyplývá z asociativity produktu v A.

Stupeň involuce

Existuje kanonický involutivní automorfismus na jakékoli superalgebře zvané stupeň involuce. Na homogenních prvcích je dán

${ displaystyle { hat {x}} = (- 1) ^ {| x |} x}$

a na libovolných prvcích pomocí

${ displaystyle { hat {x}} = x_ {0} -x_ {1}}$

kde X_i jsou homogenní části X. Li A nemá žádný 2-torzní (zejména je-li 2 invertibilní), lze involuci stupně použít k rozlišení sudé a liché části A:

${ displaystyle A_ {i} = {x v A: { hat {x}} = (- 1) ^ {i} x }.}$

Superkomutativita

The superkomutátor na A je binární operátor daný

${ displaystyle [x, y] = xy - (- 1) ^ {| x || y |} yx}$

na homogenních prvcích, rozšířeno na všechny A podle linearity. Elementy X a y z A jsou prý supercommute -li [X, y] = 0.

The supercentrum z A je množina všech prvků A které superkomutují se všemi prvky A:

${ displaystyle mathrm {Z} (A) = {a v A: [a, x] = 0 { text {pro všechny}} x v A }.}$

Supercentrum A se obecně liší od centrum z A jako netříděná algebra. Komutativní superalgebra je ta, jejíž supercentrum je celé A.

Super tenzorový produkt

Hodnocení tenzorový produkt dvou superalgeber A a B lze považovat za superalgebru A ⊗ B s pravidlem násobení určeným:

${ displaystyle (a_ {1} otimes b_ {1}) (a_ {2} otimes b_ {2}) = (- 1) ^ {| b_ {1} || a_ {2} |} (a_ { 1} a_ {2} mnohokrát b_ {1} b_ {2}).}$

Pokud ano A nebo B je čistě rovnoměrné, odpovídá to běžnému negradovanému tenzorovému produktu (kromě toho, že výsledek je odstupňován). Obecně se však supertenzorový produkt liší od tenzorového produktu z A a B považovány za obyčejné, negradované algebry.

Zevšeobecnění a kategorická definice

Lze snadno zobecnit definici superalgebry tak, aby zahrnovala superalgebry přes komutativní superring. Výše uvedená definice je pak specializací na případ, kdy je základní kruh čistě rovnoměrný.

Nechat R být komutativní superring. A superalgebra přes R je R-supermodul A s R-bilineární násobení A × A → A který respektuje hodnocení. Bilinearita zde znamená to

${ Displaystyle r cdot (xy) = (r cdot x) y = (- 1) ^ {| r || x |} x (r cdot y)}$

pro všechny homogenní prvky r ∈ R a X, y ∈ A.

Ekvivalentně lze definovat superalgebru nad R jako superring A společně s homomorphism superring R → A jehož obraz leží v supercentru A.

Lze také definovat superalgebry kategoricky. The kategorie ze všech R-supermoduly tvoří a monoidní kategorie pod super tenzorovým produktem s R sloužící jako jednotkový objekt. Asociativní, jednotná superalgebra R pak lze definovat jako a monoidní v kategorii R- supermodulů. To znamená, že superalgebra je R-supermodul A se dvěma (sudými) morfismy

${ displaystyle { begin {aligned} mu &: A otimes A to A eta &: R to A end {aligned}}}$

pro které dojíždějí obvyklé diagramy.

Poznámky

Reference

• Deligne, P.; Morgan, J. W. (1999). "Poznámky k supersymetrii (po Josephu Bernsteinovi)". Kvantová pole a řetězce: Kurz pro matematiky. 1. Americká matematická společnost. 41–97. ISBN  0-8218-2012-5.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

• Kac, V. G.; Martinez, C .; Zelmanov, E. (2001). Stupňovitě jednoduché Jordanské superalgebry růstové. Monografie série AMS. 711. AMS Bookstore. ISBN  978-0-8218-2645-4.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

• Manin, Y. I. (1997). Teorie pole měřidla a komplexní geometrie ((2. vyd.) Vyd.). Berlín: Springer. ISBN  3-540-61378-1.

• Varadarajan, V. S. (2004). Supersymetrie pro matematiky: Úvod. Courant Přednášky z matematiky. 11. Americká matematická společnost. ISBN  978-0-8218-3574-6.CS1 maint: ref = harv (odkaz)