Dualizační modul - Dualizing module

v abstraktní algebra, a dualizační modul, také nazývaný a kanonický modul, je modul přes komutativní prsten to je analogické s kanonický svazek a hladká odrůda. Používá se v Grothendieck místní dualita.

Definice

Dualizační modul pro a Noetherian ring R je konečně generovaný modul M takový, že pro každého maximální ideál m, R/m vektorový prostor Extn
R(R/m,M) zmizí, pokud n ≠ výška (m) a je 1-rozměrný -li n = výška (m).

Dualizační modul nemusí být jedinečný, protože tenzorový produkt jakéhokoli dualizačního modulu s hodnocením 1 projektivní modul je také dualizační modul. Toto je však jediný způsob, kterým dualizační modul není jedinečný: vzhledem k jakýmkoli dvěma dualizačním modulům je jeden izomorfní s tenzorovým produktem druhého s projektivním modulem hodnosti 1. Zejména pokud je prsten místní, je dualizační modul jedinečný až po izomorfismus.

Noetherian ring nemusí nutně mít dualizační modul. Libovolný prsten s dualizačním modulem musí být Cohen – Macaulay. Naopak, pokud je Cohen – Macaulayův prsten kvocientem a Gorensteinův prsten pak má dualizační modul. Zejména jakýkoli úplný místní prsten Cohen – Macaulay má modul pro vizualizaci. U prstenů bez dualizačního modulu je někdy možné použít komplexizace jako náhrada.

Příklady

Li R je tedy Gorensteinův prsten R za modul nad sebou se považuje dualizační modul.

Li R je Artinian místní prsten pak Matlisův modul z R (injective trup of the resid field) is the dualizing module.

Artinianský místní prsten R = k[X,y]/(X2,y2,xy) má jedinečný dualizační modul, ale není izomorfní R.

Prsten Z[√–5] má dva neizomorfní dualizační moduly, které odpovídají dvěma třídám invertibilních ideálů.

Místní prsten k[X,y]/(y2,xy) není Cohen – Macaulay, takže nemá dualizační modul.

Viz také

Reference

  • Bourbaki, N. (2007), Algèbre komutativní. Kapitola 10, Éléments de mathématique (ve francouzštině), Springer-Verlag, Berlín, ISBN  978-3-540-34394-3, PAN  2333539
  • Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993), Cohen-Macaulayovy prsteny, Cambridge studia pokročilé matematiky, 39, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-41068-7, PAN  1251956