Hloubka (prstencová teorie) - Depth (ring theory)

v komutativní a homologický algebra, hloubka je důležitým invariantem prsteny a moduly. Ačkoli hloubku lze definovat obecněji, nejběžnějším uvažovaným případem je případ modulů nad komutativem Noetherian místní prsten. V tomto případě hloubka modulu souvisí s jeho projektivní rozměr podle Auslander – Buchsbaumův vzorec. Elementárnější vlastností hloubky je nerovnost

${ displaystyle mathrm {hloubka} (M) leq dim (M),}$

kde dim M označuje Dimenze Krull modulu M. Hloubka se používá k definování tříd prstenců a modulů s dobrými vlastnostmi, například Cohen-Macaulayovy prsteny a moduly, pro které platí rovnost.

Definice

Nechat R být komutativní prsten, Já ideál R a M A konečný R-module s vlastností, která IM je správně obsažen v M. Pak Já-hloubka z M, také běžně nazývaný školní známka z M, je definován jako

${ displaystyle mathrm {depth} _ {I} (M) = min {i: operatorname {Ext} ^ {i} (R / I, M) neq 0 }.}$

Podle definice hloubka místního kruhu R s maximálním ideálem ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ je jeho ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$-hloubka jako modul nad sebou. Li R je Cohen-Macaulay místní prsten, pak hloubka R se rovná dimenzi R.

Věta o David Rees, hloubku lze také charakterizovat pomocí pojmu a pravidelná sekvence.

Věta (Rees)

Předpokládejme to R je komutativní Noetherian místní prsten s maximem ideál ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ a M je definitivně generován R-modul. Pak vše maximální pravidelné sekvence X₁,..., X_n pro M, kde každý X_i patří ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$, mají stejnou délku n rovná se ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$-hloubka M.

Hloubka a projektivní rozměr

The projektivní rozměr a hloubka modulu nad komutativním netherianským místním prstencem se navzájem doplňují. Toto je obsah vzorce Auslander-Buchsbaum, který má nejen zásadní teoretický význam, ale také poskytuje efektivní způsob výpočtu hloubky modulu. Předpokládejme to R je komutativní Noetherian místní prsten s maximem ideál ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ a M je definitivně generován R-modul. Pokud je projektivní rozměr M je konečný, pak Auslander – Buchsbaumův vzorec státy

${ displaystyle mathrm {pd} _ {R} (M) + mathrm {depth} (M) = mathrm {depth} (R).}$

Hloubky nulové kroužky

Komutativní netherianský místní kruh R má hloubku nula právě tehdy, je-li její maximální ideální ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ je sdružený prime, nebo ekvivalentně, když existuje nenulový prvek X z R takhle ${ displaystyle x { mathfrak {m}} = 0}$ (to znamená, X ničí ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$). To v podstatě znamená, že uzavřený bod je vložená součást.

Například prsten ${ displaystyle k [x, y] / (x ^ {2}, xy)}$ (kde k je pole), což představuje řádek (${ displaystyle x = 0}$) s vloženým dvojitým bodem v počátcích, má v počátcích nulovou hloubku, ale kóta jedna: dává příklad prstence, který není Cohen – Macaulay.

Reference

• Eisenbud, David (1995), Komutativní algebra s pohledem na algebraickou geometrii, Postgraduální texty z matematiky, 150, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94269-8, PAN  1322960
• Winfried Bruns; Jürgen Herzog, Cohen – Macaulayovy prsteny. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii + 403 pp. ISBN  0-521-41068-1