Primární ideální - Primary ideal - Wikipedia

v matematika konkrétně komutativní algebra, řádný ideál Q a komutativní prsten A se říká, že je hlavní pokud kdykoli xy je prvek Q pak X nebo yⁿ je také prvkem Q, pro některé n > 0. Například v kruh celých čísel Z, (pⁿ) je primárním ideálem, pokud p je prvočíslo.

Pojem primárních ideálů je v komutativní prstencové teorii důležitý, protože každý ideál a Noetherian ring má primární rozklad, to znamená, že lze psát jako průsečík konečně mnoha primárních ideálů. Tento výsledek je znám jako Lasker-Noetherova věta. Tudíž,^[1] an neredukovatelný ideál noetherianského kruhu je primární.

Existují různé metody zevšeobecňování primárních ideálů na nekomutativní prsteny,^[2] ale téma je nejčastěji studováno pro komutativní kruhy. Proto se kroužky v tomto článku považují za komutativní prstence s identitou.

Příklady a vlastnosti

• Definici lze přeformulovat symetrickěji: ideál ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$ je primární, pokud kdykoli ${ displaystyle xy in { mathfrak {q}}}$, my máme ${ displaystyle x in { mathfrak {q}}}$ nebo ${ displaystyle y in { mathfrak {q}}}$ nebo ${ displaystyle x, y in { sqrt { mathfrak {q}}}}$. (Tady ${ displaystyle { sqrt { mathfrak {q}}}}$ označuje radikální z ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$.)
• Ideál Q z R je primární právě tehdy, když každý nulový dělitel v R/Q je nilpotentní. (Srovnejte to s případem ideálů, kde P je prvočíslo právě tehdy, když každý nulový dělitel dovnitř R/P je ve skutečnosti nula.)
• Žádný hlavní ideál je primární a navíc ideál je prvočíslo právě tehdy, když je primární a semiprime.
• Každý primární ideál je původní.^[3]
• Li Q je primární ideál, pak radikální z Q je nutně hlavním ideálem Pa tomuto ideálu se říká související prvotní ideál z Q. V této situaci, Q se říká, že je P-hlavní.
  • Na druhou stranu, ideál, jehož radikál je hlavní, nemusí být nutně primární: například pokud ${ displaystyle R = k [x, y, z] / (xy-z ^ {2})}$, ${ displaystyle { mathfrak {p}} = ({ overline {x}}, { overline {z}})}$, a ${ displaystyle { mathfrak {q}} = { mathfrak {p}} ^ {2}}$, pak ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ je hlavní a ${ displaystyle { sqrt { mathfrak {q}}} = { mathfrak {p}}}$, ale máme ${ displaystyle { overline {x}} { overline {y}} = { overline {z}} ^ {2} in { mathfrak {p}} ^ {2} = { mathfrak {q}} }$, ${ displaystyle { overline {x}} ne v { mathfrak {q}}}$, a ${ displaystyle { overline {y}} ^ {n} ne in { mathfrak {q}}}$ pro všechna n> 0, tak ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$ není primární. Primární rozklad ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$ je ${ displaystyle ({ overline {x}}) cap ({ overline {x}} ^ {2}, { overline {x}} { overline {z}}, { overline {y}}) }$; tady ${ displaystyle ({ overline {x}})}$ je ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$-primární a ${ displaystyle ({ overline {x}} ^ {2}, { overline {x}} { overline {z}}, { overline {y}})}$ je ${ displaystyle ({ overline {x}}, { overline {y}}, { overline {z}})}$-hlavní.
    • Ideál, jehož radikál je maximálníje však primární.
    • Každý ideál Q s radikálem P je obsažené v nejmenším P-primární ideál: všechny prvky A takhle sekera ∈ Q pro některé X ∉ P. Nejmenší P-primární ideální obsahující Pⁿ se nazývá nth symbolická síla z P.
• Li P je maximální primární ideál, pak jakýkoli ideál obsahující sílu P je P-hlavní. Ne vše P- primární ideály musí být pravomocí P; například ideální (X, y²) je P-primární pro ideální P = (X, y) v kruhu k[X, y], ale není mocí P.
• Li A je Noetherian ring a P hlavní ideál, pak jádro ${ displaystyle A až A_ {P}}$, mapa z A do lokalizace z A v P, je křižovatkou všech P- primární ideály.^[4]
• Konečný neprázdný produkt ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$-primární ideály jsou ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$- primární, ale nekonečný produkt ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$- primární ideály nemusí být ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$-hlavní; protože například v noetherianském místním kruhu s maximálním ideálem ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$, ${ displaystyle cap _ {n> 0} { mathfrak {m}} ^ {n} = 0}$ (Věta o křižovatce Krull ) kde každý ${ displaystyle { mathfrak {m}} ^ {n}}$ je ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$-hlavní. Ve skutečnosti, v noetherianském kruhu, neprázdný produkt z ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$- primární ideály ${ displaystyle Q_ {i}}$ je ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$-primární právě tehdy, pokud existuje nějaké celé číslo ${ displaystyle n> 0}$ takhle ${ displaystyle { mathfrak {p}} ^ {n} podmnožina cap _ {i} Q_ {i}}$.^[5]

Poznámky pod čarou

Reference

• Atiyah, Michael Francis; Macdonald, I.G. (1969), Úvod do komutativní algebry, Westview Press, str. 50, ISBN  978-0-201-40751-8
• Bourbaki, Algèbre komutativní.
• Chatters, A. W .; Hajarnavis, C. R. (1971), „Nekomutativní prstence s primárním rozkladem“, Kvart. J. Math. Oxford Ser. (2), 22: 73–83, doi:10.1093 / qmath / 22.1.73, ISSN  0033-5606, PAN  0286822
• Goldman, Oscar (1969), „Prsteny a moduly kvocientů“, J. Algebra, 13: 10–47, doi:10.1016/0021-8693(69)90004-0, ISSN  0021-8693, PAN  0245608
• Gorton, Christine; Heatherly, Henry (2006), „Zobecněné primární kruhy a ideály“, Matematika. Pannon., 17 (1): 17–28, ISSN  0865-2090, PAN  2215638
• O prvotních ideálech Ladislas Fuchs
• Lesieur, L .; Croisot, R. (1963), Algèbre noethérienne nekomutativní (ve francouzštině), Mémor. Sci. Math., Fasc. CLIV. Gauthier-Villars & Cie, Editeur -Imprimeur-Libraire, Paříž, str. 119, PAN  0155861

externí odkazy

• Primární ideální na Encyclopaedia of Mathematics