Neredukovatelný prvek - Irreducible element

v abstraktní algebra, nenulová non-jednotka prvek v integrální doména se říká, že je neredukovatelné pokud nejde o produkt dvou necelkových jednotek.

Vztah s hlavními prvky

Nesmí se zaměňovat s neredukovatelnými prvky hlavní prvky. (Nenulový nejednotný prvek ${ displaystyle a}$ v komutativní prsten ${ displaystyle R}$ se nazývá prime, kdykoli ${ displaystyle a | bc}$ pro některé ${ displaystyle b}$ a ${ displaystyle c}$ v ${ displaystyle R,}$ pak ${ displaystyle a | b}$ nebo ${ displaystyle a | c.}$ ) V an integrální doména, každý primární prvek je neredukovatelný,^[1]^[2] ale konverzace není obecně platná. Opak platí pro jedinečné faktorizační domény^[2] (nebo obecněji GCD domény.)

Navíc, zatímco ideál generovaný prvkem prvkem je a hlavní ideál, obecně neplatí, že ideál generovaný neredukovatelným prvkem je neredukovatelný ideál. Pokud však ${ displaystyle D}$ je doména GCD a ${ displaystyle x}$ je neredukovatelný prvek ${ displaystyle D}$ , jak je uvedeno výše ${ displaystyle x}$ je prvočíslo, a tedy ideál generovaný ${ displaystyle x}$ je hlavní ideál ${ displaystyle D}$ .^[3]

Příklad

V kvadratický celočíselný kruh ${ displaystyle mathbf {Z} [{ sqrt {-5}}],}$ lze zobrazit pomocí norma argumenty, že číslo 3 je neredukovatelné. Nejedná se však o primární prvek v tomto kruhu, protože například

{ displaystyle 3 mid left (2 + { sqrt {-5}} right) left (2 - { sqrt {-5}} right) = 9,}

ale 3 nerozděluje žádný ze dvou faktorů.^[4]

Viz také

Neredukovatelný polynom

Reference

^ Zvážit ${ displaystyle p}$ hlavní prvek ${ displaystyle R}$ a předpokládejme ${ displaystyle p = ab.}$ Pak ${ displaystyle p | ab Rightarrow p | a}$ nebo ${ displaystyle p | b.}$ Říci ${ displaystyle p | a Rightarrow a = pc,}$ pak máme ${ displaystyle p = ab = pcb Rightarrow p (1-cb) = 0.}$ Protože ${ displaystyle R}$ je integrální doménou, kterou máme ${ displaystyle cb = 1.}$ Tak ${ displaystyle b}$ je jednotka a ${ displaystyle p}$ je neredukovatelný.
^ ^A ^b Sharpe (1987), str
^ „Archivovaná kopie“. Archivovány od originál dne 2010-06-20. Citováno 2009-03-18.CS1 maint: archivovaná kopie jako titul (odkaz)
^ William W. Adams a Larry Joel Goldstein (1976), Úvod do teorie čísel, str. 250, Prentice-Hall, Inc., ISBN 0-13-491282-9

Sharpe, David (1987). Kroužky a faktorizace. Cambridge University Press. ISBN 0-521-33718-6. Zbl 0674.13008.

[1] Zvážit ${ displaystyle p}$ hlavní prvek ${ displaystyle R}$ a předpokládejme ${ displaystyle p = ab.}$ Pak ${ displaystyle p | ab Rightarrow p | a}$ nebo ${ displaystyle p | b.}$ Říci ${ displaystyle p | a Rightarrow a = pc,}$ pak máme ${ displaystyle p = ab = pcb Rightarrow p (1-cb) = 0.}$ Protože ${ displaystyle R}$ je integrální doménou, kterou máme ${ displaystyle cb = 1.}$ Tak ${ displaystyle b}$ je jednotka a ${ displaystyle p}$ je neredukovatelný.

[Sha54-2] A ^b Sharpe (1987), str

[3] „Archivovaná kopie“. Archivovány od originál dne 2010-06-20. Citováno 2009-03-18.CS1 maint: archivovaná kopie jako titul (odkaz)

[4] William W. Adams a Larry Joel Goldstein (1976), Úvod do teorie čísel, str. 250, Prentice-Hall, Inc., ISBN 0-13-491282-9

[1]

[2]

[3]

[4]