Dělitelnost (prstenová teorie) - Divisibility (ring theory)

v matematika, pojem a dělitel původně vznikly v kontextu aritmetiky celých čísel. S rozvojem abstrakt prsteny, z nichž celá čísla jsou archetyp, původní představa dělitele našla přirozené rozšíření.

Dělitelnost je užitečný koncept pro analýzu struktury komutativní prsteny kvůli jeho vztahu s ideál struktura takových prstenů.

Definice

Nechat R ložisko,^[1] a nechte A a b být prvky R. Pokud existuje prvek X v R s sekera = b, říká to jeden A je levý dělitel z b v R a to b je pravý násobek z A.^[2] Podobně, pokud existuje prvek y v R s ya = b, říká to jeden A je pravý dělitel z b a to b je vlevo více z A. Jeden to říká A je oboustranný dělitel z b pokud je to jak levý dělitel, tak pravý dělitel b; v tomto případě nemusí nutně platit, že (pomocí předchozí notace) X=y, jen že oba někteří X a nějaký y které každý jednotlivě splňuje předchozí rovnice v R existuje v R.

Když R je komutativní, levý dělitel, pravý dělitel a oboustranný dělitel se shodují, takže v této souvislosti se říká, že A je dělitel z bnebo tak b je násobek z Aa jeden píše ${ displaystyle a mid b}$. Elementy A a b z integrální doména jsou spolupracovníci pokud obojí ${ displaystyle a mid b}$ a ${ displaystyle b mid a}$. Přidružený vztah je vztah ekvivalence na R, a tedy dělí R do disjunktní tříd ekvivalence.

Poznámky: Tyto definice mají smysl v každém magma R, ale používají se primárně, když je toto magma multiplikativní monoidní prstenu.

Vlastnosti

Prohlášení o dělitelnosti v komutativním kruhu ${ displaystyle R}$ lze přeložit do prohlášení o hlavní ideály. Například,

• Jeden má ${ displaystyle a mid b}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle (b) subseteq (a)}$.
• Elementy A a b jsou společníky právě tehdy ${ displaystyle (a) = (b)}$.
• Prvek u je jednotka kdyby a jen kdyby u je dělitelem každého prvku R.
• Prvek u je jednotka právě tehdy ${ displaystyle (u) = R}$.
• Li ${ displaystyle a = bu}$ pro nějakou jednotku u, pak A a b jsou společníci. Li R je integrální doména, pak je obrácení pravdivé.
• Nechat R být integrální doménou. Pokud prvky v R jsou tedy zcela nařízeny dělitelností R se nazývá a oceňovací prsten.

Ve výše uvedeném ${ displaystyle (a)}$ označuje hlavní ideál ${ displaystyle R}$ generované prvkem ${ displaystyle a}$.

Nula jako dělitel a nulové dělitele

• Někteří autoři vyžadují A být nenulový v definici dělitele, ale to způsobí selhání některých výše uvedených vlastností.
• Pokud někdo interpretuje definici dělitele doslova, každý A je dělitel 0, protože jeden může brát X = 0. Z tohoto důvodu je tradiční zneužívat terminologii vytvořením výjimky pro nulové dělitele: jeden volá prvek A v komutativním kruhu a nulový dělitel pokud existuje nenulové X takhle sekera = 0.^[3]

Viz také

• Dělitel
• Nulový dělitel
• Doména GCD

Poznámky

Reference

• Bourbaki, N. (1989) [1970], Algebra I, kapitoly 1–3, Springer-Verlag, ISBN  9783540642435

Tento článek včlení materiál z Citizendium článek "Dělitelnost (prstenová teorie) ", který je licencován pod Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License ale ne pod GFDL.