Nespojitá unie - Disjoint union - Wikipedia

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Disjunktní unie“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Květen 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, a disjunktní unie (nebo diskriminovaná unie) rodiny ${ displaystyle (A_ {i} dvojtečka i v I)}$ sad je sada ${ displaystyle A = bigsqcup _ {i in I} A_ {i},}$ s injekční funkce každého ${ displaystyle A_ {i}}$ do A, tak, že svaz obrázků těchto injekcí tvoří a rozdělit z A (tj. každý prvek A patří přesně k jednomu z těchto obrázků).

Nesouvislé spojení rodiny párové disjunktní sady je jejich nastavená unie.

Ve smyslu teorie kategorií, disjunktní unie je koprodukt z kategorie sad.

Takto je definována disjunktní unie až do bijection.

Standardní způsob budování disjunktní unie je definovat A jako soubor objednané páry (X, i) takhle ${ displaystyle x v A_ {i},}$ a injektivní funkce ${ displaystyle A_ {i} do A}$ podle ${ displaystyle x mapsto (x, i).}$

Příklad

Zvažte sady ${ displaystyle A_ {0} = {5,6,7 }}$ a ${ displaystyle A_ {1} = {5,6 }}$. Můžeme indexovat prvky sady podle původu sady vytvořením přidružených sad

${ displaystyle { begin {aligned} A_ {0} ^ {*} & = {(5,0), (6,0), (7,0) } A_ {1} ^ {*} & = {(5,1), (6,1) }, end {zarovnáno}}}$

kde druhý prvek v každé dvojici odpovídá dolnímu indexu množiny počátků (např ${ displaystyle 0}$ v ${ displaystyle (5,0)}$ odpovídá indexu v ${ displaystyle A_ {0}}$, atd.). Nesouvislá unie ${ displaystyle A_ {0} sqcup A_ {1}}$ pak lze vypočítat takto:

${ displaystyle A_ {0} sqcup A_ {1} = A_ {0} ^ {*} pohár A_ {1} ^ {*} = {(5,0), (6,0), (7, 0), (5,1), (6,1) }.}$

Definice teorie množin

Formálně nechť {A_i : i ∈ Já} být rodina sad indexováno podle Já. The disjunktní unie této rodiny je sada

${ displaystyle bigsqcup _ {i v I} A_ {i} = bigcup _ {i v I} {(x, i): x v A_ {i} }.}$

Prvky nesouvislého spojení jsou objednané páry (X, i). Tady i slouží jako pomocný index, který označuje který A_i prvek X přišel z.

Každá ze sad A_i je kanonicky izomorfní s množinou

${ displaystyle A_ {i} ^ {*} = {(x, i): x v A_ {i} }.}$

Prostřednictvím tohoto izomorfismu lze o tom uvažovat A_i je kanonicky zakotven v disjunktní unii i ≠ j, sady A_i* a A_j* jsou disjunktní, i když jsou sady A_i a A_j nejsou.

V extrémním případě, kdy každý z A_i se rovná nějaké pevné sadě A pro každého i ∈ Já, disjunktní unie je kartézský součin z A a Já:

${ displaystyle bigsqcup _ {i in I} A_ {i} = A krát I.}$

Jeden může občas vidět notaci

${ displaystyle sum _ {i v I} A_ {i}}$

pro disjunktní spojení rodiny množin nebo notaci A + B pro disjunktní spojení dvou sad. Tento zápis má naznačovat skutečnost, že mohutnost disjunktní unie je součet kardinálnosti výrazů v rodině. Porovnejte to s notací pro kartézský součin rodiny sad.

Někdy se také píší disjunktní odbory ${ displaystyle biguplus _ {i in I} A_ {i}}$ nebo ${ displaystyle cdot ! ! ! ! ! bigcup _ {i in I} A_ {i}}$.

V jazyce teorie kategorií, disjunktní unie je koprodukt v kategorie sad. Proto uspokojuje související univerzální vlastnictví. To také znamená, že disjunktní unie je kategorický duální z kartézský součin konstrukce. Vidět koprodukt Více podrobností.

Z mnoha důvodů je konkrétní volba pomocného indexu nedůležitá a zjednodušující zneužití notace, indexovanou rodinu lze považovat jednoduše za kolekci sad. V tomto případě ${ displaystyle A_ {i} ^ {*}}$ se označuje jako a kopírovat z ${ displaystyle A_ {i}}$ a zápis ${ displaystyle { underset {A in C} {, , bigcup nolimits ^ {*} !}} A}$ se někdy používá.

Hledisko teorie kategorií

v teorie kategorií disjunktní unie je definována jako a koprodukt v kategorii souprav.

Jako takové je disjunktní unie definována až do izomorfismu a výše uvedená definice je mimo jiné pouze jednou realizací koproduktu. Když jsou sady párově disjunktní, je obvyklým spojením další realizace koproduktu. To ospravedlňuje druhou definici v čele.

Tento kategorický aspekt nesouvislé unie vysvětluje proč ${ displaystyle coprod}$ se často používá místo ${ displaystyle bigsqcup}$, označit koprodukt.

Viz také

• Koprodukt
• Nespojené spojení (topologie)
• Nespojené spojení grafů
• Rozdělení sady
• Typ součtu
• Označená unie
• Union (počítačová věda)

Reference

• Lang, Serge (2004), Algebra, Postgraduální texty z matematiky, 211 (Opravený čtvrtý tisk, přepracované třetí vydání), New York: Springer-Verlag, s. 60, ISBN  978-0-387-95385-4
• Weisstein, Eric W. „Nespojitá unie“. MathWorld.