Zbytkové pole - Residue field
v matematika, zbytkové pole je základní konstrukce v komutativní algebra. Li R je komutativní prsten a m je maximální ideál, pak pole zbytku je kvocientový kroužek k = R/m, což je pole.[1] Často, R je místní prsten a m je pak jeho jedinečným maximálním ideálem.
Tato konstrukce je použita v algebraická geometrie, kam do každého bodu X a systém X jeden spojuje své zbytkové pole k(X).[2] Dá se trochu volně říci, že zbytkové pole bodu abstraktu algebraická rozmanitost je „přirozená doména“ pro souřadnice bodu.[je zapotřebí objasnění ]
Definice
Předpokládejme to R je komutativní místní prsten, s maximálním ideálem m. Pak zbytkové pole je kvocient prstenců R/m.
Nyní předpokládejme, že X je systém a X je bod X. Podle definice schématu můžeme najít afinní sousedství U = Spec (A), s A nějaký komutativní prsten. Zvažováno v sousedství U, bod X odpovídá a hlavní ideál p ⊂ A (vidět Zariski topologie ). The místní prsten z X v X je podle definice lokalizace R = Ap, s maximálním ideálem m = p · Ap. Použitím výše uvedené konstrukce získáme zbytkové pole bodu X:
- k(X) := Ap / p·Ap.
Lze dokázat, že tato definice nezávisí na volbě afinního sousedství U.[3]
Bod se nazývá K.-Racionální pro určité pole K., pokud k(X) = K..[4]
Příklad
Zvažte afinní linie A1(k) = Spec (k[t]) přes pole k. Li k je algebraicky uzavřeno, existují přesně dva typy hlavních ideálů, a to
- (t − A), A ∈ k
- (0), nulový ideál.
Pole zbytku jsou
- , funkční pole skončilo k v jedné proměnné.
Li k není algebraicky uzavřeno, vznikne více typů, například pokud k = R, pak hlavní ideál (X2 + 1) má zbytkové pole izomorfní s C.
Vlastnosti
- Pro schéma místně z konečný typ přes pole k, bod X je uzavřen právě tehdy k(X) je konečné rozšíření základního pole k. Toto je geometrická formulace Hilbertův Nullstellensatz. Ve výše uvedeném příkladu jsou body prvního druhu uzavřeny a mají pole zbytku kzatímco druhý bod je obecný bod, které mají stupeň transcendence 1 nad k.
- Specifikace morfismu (K.) → X, K. nějaké pole, je ekvivalentní s udáním bodu X ∈ X a rozšíření K./k(X).
- The dimenze schématu konečného typu nad polem se rovná stupni transcendence zbytkového pole obecného bodu.
Reference
- ^ Dummit, D. S .; Foote, R. (2004). Abstraktní algebra (3. vyd.). Wiley. ISBN 9780471433347.
- ^ David Mumford (1999). Červená kniha odrůd a schémat: Zahrnuje Michiganské přednášky (1974) o křivkách a jejich Jacobians (2. vyd.). Springer-Verlag. doi:10.1007 / b62130. ISBN 3-540-63293-X.
- ^ Intuitivně je zbytkové pole bodu lokálním invariantem. Axiomy schémat jsou nastaveny tak, aby byla zajištěna kompatibilita mezi různými afinními otevřenými sousedstvími bodu, což implikuje tvrzení.
- ^ Görtz, Ulrich a Wedhorn, Torsten. Algebraická geometrie: Část 1: Schémata (2010) Vieweg + Teubner Verlag.
Další čtení
- Hartshorne, Robine (1977), Algebraická geometrie, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, PAN 0463157, oddíl II.2