Seznam uniformních mnohostěnů Schwarzovým trojúhelníkem - List of uniform polyhedra by Schwarz triangle

Coxeter Seznam uživatele degenerovat Wythoffian uniformní mnohostěn, který dává Wythoffovým symbolům, vrcholům a popisům použití Schläfliho symboly. V tomto článku jsou uvedeny všechny jednotné mnohostěny a všechny zdegenerované wythoffovské jednotné mnohostěny.

Existuje mnoho vztahů mezi jednotná mnohostěna. The Wythoffova konstrukce je schopen postavit téměř všechny jednotné mnohostěny z akutního a tupého Schwarzovy trojúhelníky. Čísla, která lze použít pro stranyvzepětí akutní nebo tupý Schwarzův trojúhelník, který nemusí nutně vést pouze k degenerovaným uniformním mnohostěnům, jsou 2, 3, 3/2, 4, 4/3, 5, 5/2, 5/3 a 5/4 (ale čísla s čitatelem 4 a ty s čitatelem 5 se nemusí vyskytovat společně). (Lze použít i 4/2, ale vede to jen k degeneraci uniformních mnohostěnů, protože 4 a 2 mají společný faktor.) Existuje 44 takových Schwarzových trojúhelníků (5 s čtyřboká symetrie, 7 s oktaedrická symetrie a 32 s ikosahedrální symetrie ), který spolu s nekonečnou rodinou vzepětí Schwarzovy trojúhelníky, mohou tvořit téměř všechnydegenerovat jednotná mnohostěna. Mnoho degenerovaných uniformních mnohostěnů se zcela shodnými vrcholy, hranami nebo plochami může být také generováno Wythoffovou konstrukcí a ty, které vznikají ze Schwarzových trojúhelníků, které nepoužívají 4/2, jsou také uvedeny v následujících tabulkách spolu s jejich nedegenerovanými protějšky . Reflexní Schwarzovy trojúhelníky nebyly zahrnuty, protože jednoduše vytvářejí duplikáty nebo degenerují; několik je však zmíněno mimo tabulky kvůli jejich aplikaci na tři z nich potlačit mnohostěn.

Existuje několik neythoffovských uniformních mnohostěnů, které žádné Schwarzovy trojúhelníky nevygenerují; většinu z nich však lze generovat pomocí Wythoffovy konstrukce jako dvojité kryty (neyythoffovský mnohostěn je zakryt dvakrát místo jednou) nebo s několika dalšími shodnými plochami, které je třeba zahodit, aby na každé hraně nezůstaly více než dvě plochy (viz Omnitruncated polyhedron # Další rovnoměrné nekonvexní mnohostěny ). Takové mnohostěny jsou v tomto seznamu označeny hvězdičkou. Jediné jednotné mnohostěny, které Wythoffova konstrukce stále nevytváří, jsou velký dirhombicosidodecahedron a velký disnub dirhombidodecahedron.

Každá dlažba Schwarzových trojúhelníků na kouli může kouli pokrýt pouze jednou, nebo se může místo toho otočit kolem koule několikrát a protáhnout se v procesu. Počet obkladových větrů kolem koule je hustota obkladu a označuje se μ.

Namísto celých názvů mnohostěnů se kvůli úspoře místa používají krátké názvy Jonathana Bowerse pro mnohostěn, známé jako Bowersovy zkratky. Uvádí se také Maederův index. Kromě dihedrálních Schwarzových trojúhelníků jsou Schwarzovy trojúhelníky seřazeny podle jejich hustoty.

Möbius a Schwarz trojúhelníky

Existují 4 sférické trojúhelníky s úhly π / p, π / q, π / r, kde (p q r) jsou celá čísla: (Coxeter „Uniform polyhedra“, 1954)

1. (2 2 r) - Dihedral
2. (2 3 3) - čtyřboká
3. (2 3 4) - Octahedral
4. (2 3 5) - Ikosahedrální

Říká se jim Möbiovy trojúhelníky.

Kromě toho Schwarzovy trojúhelníky uvažujme (p q r), což jsou racionální čísla. Každý z nich lze klasifikovat do jedné ze 4 sad výše.

Ačkoli mnohostěn má obvykle stejnou hustotu jako Schwarzův trojúhelník, ze kterého je generován, není tomu tak vždy. Za prvé, mnohostěny, které mají plochy procházející středem modelu (včetně hemipolyhedra, velký dirhombicosidodecahedron, a velký disnub dirhombidodecahedron ) nemají přesně definovanou hustotu. Za druhé, zkreslení nutné k obnovení uniformity při změně sférického mnohostěnu na jeho rovinný protějšek může tlačit tváře středem mnohostěnu a zpět na druhou stranu, čímž mění hustotu. K tomu dochází v následujících případech:

• The velký zkrácený cuboctahedron, 2 3 4/3 |. Zatímco Schwarzův trojúhelník (2 3 4/3) má hustotu 7, obnovení uniformity tlačí osm šestiúhelníků středem, čímž se získá hustota | 7 - 8 | = 1, stejné jako u kruhového trojúhelníku Schwarz (2 3 4), který sdílí stejné velké kruhy.
• The zkrácený dodecadodecahedron, 2 5/3 5 |. Zatímco Schwarzův trojúhelník (2 5/3 5) má hustotu 9, zotavení uniformity tlačí dvanáct dekagonů středem, čímž se získá hustota | 9 - 12 | = 3, stejné jako u kruhového Schwarzova trojúhelníku (2 5/2 5), který sdílí stejné velké kruhy.
• Tři urážlivé mnohostěny: velký dvacetistěn | 2 3/2 3/2, the malý retrosnub icosicosidodecahedron | 3/2 3/2 5/2 a velký retrosnub icosidodecahedron | 2 3/2 5/3. Zde byly hodnoty vrcholů zkresleny spíše na pentagramy nebo hexagramy než na pětiúhelníky nebo šestiúhelníky, čímž se všechny středicí trojúhelníky protlačily středem a poskytly hustoty | 5 - 12 | = 7, | 22 - 60 | = 38 a | 23 - 60 | = 37 v tomto pořadí. Tyto hustoty jsou stejné jako hustoty colunaru reflex- zapletené Schwarzovy trojúhelníky, které nejsou zahrnuty výše. Velký ikosahedron lze tedy považovat za pocházející z (2/3 3 3) nebo (2 3 3/4), malého retrosnubského ikosikosidodekahedronu z (3 3 5/8) nebo (3 3/4 5/3) a velký retrosnub icosidodecahedron z (2/3 3 5/2), (2 3/4 5/3) nebo (2 3 5/7). (Coxeter, „Uniform polyhedra“, 1954)

Souhrnná tabulka

Osm forem pro Wythoffovy konstrukce z obecného trojúhelníku (p q r). Částečné urážky lze také vytvořit (nezobrazuje se v tomto článku).

Devět reflexivních forem pro Wythoffovy konstrukce z obecného čtyřúhelníku (p q r s).

Existuje sedm generátorových bodů s každou sadou p, q, r (a několik speciálních forem):

Všeobecné				Pravý trojúhelník (r = 2)
Popis	Wythoff symbol	Vrchol konfigurace	Coxeter diagram	Wythoff symbol	Vrchol konfigurace	Schläfli symbol	Coxeter diagram
pravidelný a quasiregular	q | p r	(p.r)q		q | p 2	pq	{p, q}
	p | q r	(qr)p		p | q 2	qp	{q, p}
	r | p q	(qp)r		2 | p q	(qp) ²	t1{p, q}
zkrácen a rozšířený	q r | p	q.2p.r.2p		q 2 | p	q.2p. 2p	t0,1{p, q}
	p r | q	p.2q.r.2q		p 2 | q	p. 2q. 2q	t0,1{q, p}
	p q | r	2r.q.2r.p		p q | 2	4.q.4.p	t0,2{p, q}
vyrovnaný	p q r |	2r. 2q. 2p		p q 2 |	4,2q. 2p	t0,1,2{p, q}
	p q r s |	2p. 2q.-2p.-2q	-	p 2 r s |	2 s. 4. - 2 s.4/3		-
urážet	| p q r	3.r.3.q.3.p		| p q 2	3.3.q.3.p	sr {p, q}
	| p q r s	(4.p.4.q.4.r.4.s) / 2	-	-	-		-

Existují čtyři speciální případy:

• p q ^r
  _s | - Toto je směs p q r | a p q s |. Oba symboly p q r | a p q s | generovat společný základní mnohostěn s několika extra plochami. Zápis p q ^r
  _s | pak představuje základní mnohostěn, složený z ploch společných pro oba p q r | a p q s |.
• | p q r - Snubní formy (střídané) dostávají tento jinak nepoužívaný symbol.
• | p q r s - Unikátní forma urážky pro U75 to není Wythoff-konstruovatelné pomocí trojúhelníkových základních domén. Čtyři čísla jsou zahrnuta v tomto symbolu Wythoff, protože tento mnohostěn má čtyřúhelníkovou sférickou základní doménu.
• | (p) q (r) s - Unikátní forma urážky pro Schopnost postavy to není Wythoff-konstruovatelné.

Tato převodní tabulka ze symbolu Wythoff na konfiguraci vrcholů selhala u výjimečných pěti mnohostěnů uvedených výše, jejichž hustoty neodpovídají hustotám jejich generujících schwarzových trojúhelníkových mozaikování. V těchto případech je vrcholný obrazec velmi zkreslený, aby se dosáhlo uniformity s plochými plochami: v prvních dvou případech je to tupý trojúhelník místo akutního trojúhelníku a v posledních třech je to pentagram nebo hexagram místo pětiúhelníku nebo šestiúhelníku, vinutí kolem středu dvakrát. To má za následek, že některé tváře jsou protlačeny přes mnohostěn ve srovnání s topologicky ekvivalentními formami bez zkreslení vrcholné postavy a vycházejí retrográdně na druhé straně.^[1]

Dihedral (hranolové)

V dihedrálních Schwarzových trojúhelnících jsou dvě čísla 2 a třetí může být libovolné racionální číslo přísně větší než 1.

1. (2 2 n/d) - zdegenerovat, pokud gcd (n, d) > 1.

Mnoho mnohostěnů s dvojitou symetrií má digon tváře, které z nich způsobují degeneraci mnohostěnů (např. dihedra a hosohedra ). Sloupce tabulky, které dávají pouze degenerované jednotné mnohostěny, nejsou zahrnuty: speciální degenerované případy (pouze v (2 2 2) Schwarzově trojúhelníku) jsou označeny velkým křížkem. Jednotný zkřížené antiprismy se základnou {p} kde p <3/2 nemohou existovat jako jejich vrcholové postavy by porušil trojúhelníková nerovnost; ty jsou také označeny velkým křížem. 3/2 zkřížený antiprism (trirp) je zdegenerovaný, je plochý v euklidovském prostoru a je také označen velkým křížem. Schwarzovy trojúhelníky (2 2 n/d) jsou zde uvedeny pouze v případě, že gcd (n, d) = 1, protože by jinak vedly pouze k degeneraci uniformních mnohostěnů.

Níže uvedený seznam uvádí všechny možné případy, kdy n ≤ 6.

(p q r)	q r | p q.2p.r.2p	p r | q p. 2q.r.2q	p q r | 2r. 2q. 2p	| p q r 3.r.3.q.3.p
(2 2 2) (μ = 1)	X	X	4.4.4 krychle 4-p	3.3.3 tet 2-ap
(2 2 3) (μ = 1)	4.3.4 výlet 3-str	4.3.4 výlet 3-str	6.4.4 boky 6-p	3.3.3.3 okt 3-ap
(2 2 3/2) (μ = 2)	4.3.4 výlet 3-str	4.3.4 výlet 3-str	6/2.4.4 2trip 6/2-p	X
(2 2 4) (μ = 1)	4.4.4 krychle 4-p	4.4.4 krychle 4-p	8.4.4 op 8-p	3.4.3.3 lusknout 4-ap
(2 2 4/3) (μ = 3)	4.4.4 krychle 4-p	4.4.4 krychle 4-p	8/3.4.4 stop 8/3-p	X
(2 2 5) (μ = 1)	4.5.4 pip 5-p	4.5.4 pip 5-p	10.4.4 dip 10-p	3.5.3.3 pap 5-ap
(2 2 5/2) (μ = 2)	4.5/2.4 stip 5/2-p	4.5/2.4 stip 5/2-p	10/2.4.4 2pip 10/2-p	3.5/2.3.3 sešít 5/2-ap
(2 2 5/3) (μ = 3)	4.5/2.4 stip 5/2-p	4.5/2.4 stip 5/2-p	10/3.4.4 stiddip 10/3-str	3.5/3.3.3 starp 5/3-ap
(2 2 5/4) (μ = 4)	4.5.4 pip 5-p	4.5.4 pip 5-p	10/4.4.4 – 10/4-p	X
(2 2 6) (μ = 1)	4.6.4 boky 6-p	4.6.4 boky 6-p	12.4.4 twip 12-str	3.6.3.3 hap 6-ap
(2 2 6/5) (μ = 5)	4.6.4 boky 6-p	4.6.4 boky 6-p	12/5.4.4 stwip 12/5-p	X
(2 2 n) (μ = 1)	4.n.4 n-p	4.n.4 n-p	2n.4.4 2n-p	3.n.3.3 n-ap
(2 2 n/d) (μ =d)	4.n/d.4 n/d-p	4.n/d.4 n/d-p	2n/d.4.4 2n/d-p	3.n/d.3.3 n/d-ap

Čtyřboká

V čtyřbokých Schwarzových trojúhelnících je maximální povolený čitatel 3.

#	(p q r)	q | p r (p.r)q	p | q r (qr)p	r | p q (qp)r	q r | p q.2p.r.2p	p r | q p. 2q.r.2q	p q | r 2r.q.2r.p	p q r | 2r. 2q. 2p	| p q r 3.r.3.q.3.p
1	(3 3 2) (µ = 1)	3.3.3 tet U1	3.3.3 tet U1	3.3.3.3 okt U5	3.6.6 tut U2	3.6.6 tut U2	4.3.4.3 co U7	4.6.6 prst U8	3.3.3.3.3 ike U22
2	(3 3 3/2) (µ = 2)	(3.3.3.3.3.3)/2 2tet –	(3.3.3.3.3.3)/2 2tet –	(3.3.3.3.3.3)/2 2tet –	3.6.3/2.6 oho U3	3.6.3/2.6 oho U3	2(6/2.3.6/2.3) 2 okt –	2(6/2.6.6) 2tut –	2(3.3/2.3.3.3.3) 2 okt + 8 {3} –
3	(3 2 3/2) (µ = 3)	3.3.3.3 okt U5	3.3.3 tet U1	3.3.3 tet U1	3.6.6 tut U2	2(3/2.4.3.4) 2thah U4 *	3(3.6/2.6/2) 3tet –	2(6/2.4.6) cho + 4 {6/2} U15 *	3(3.3.3) 3tet –
4	(2 3/2 3/2) (µ = 5)	3.3.3 tet U1	3.3.3.3 okt U5	3.3.3 tet U1	3.4.3.4 co U7	3(6/2.3.6/2) 3tet –	3(6/2.3.6/2) 3tet –	4(6/2.6/2.4) 2 okt + 6 {4} –	(3.3.3.3.3)/2 jako U53
5	(3/2 3/2 3/2) (µ = 6)	(3.3.3.3.3.3)/2 2tet –	(3.3.3.3.3.3)/2 2tet –	(3.3.3.3.3.3)/2 2tet –	2(6/2.3.6/2.3) 2 okt –	2(6/2.3.6/2.3) 2 okt –	2(6/2.3.6/2.3) 2 okt –	6(6/2.6/2.6/2) 6tet –	?

Osmistěn

V oktaedrických Schwarzových trojúhelnících je maximální povolený čitatel 4. Existují také oktaedrické Schwarzovy trojúhelníky, které používají jako číslo 4/2, ale ty vedou pouze k degenerované jednotné mnohostěně, protože 4 a 2 mají společný faktor.

#	(p q r)	q | p r (p.r)q	p | q r (qr)p	r | p q (qp)r	q r | p q.2p.r.2p	p r | q p. 2q.r.2q	p q | r 2r.q.2r.p	p q r | 2r. 2q. 2p	| p q r 3.r.3.q.3.p
1	(4 3 2) (µ = 1)	4.4.4 krychle U6	3.3.3.3 okt U5	3.4.3.4 co U7	3.8.8 tic U9	4.6.6 prst U8	4.3.4.4 sirco U10	4.6.8 girco U11	3.3.3.3.4 snic U12
2	(4 4 3/2) (µ = 2)	(3/2.4)4 říj + 6 {4} –	(3/2.4)4 říj + 6 {4} –	(4.4.4.4.4.4)/2 2 kostka –	3/2.8.4.8 socco U13	3/2.8.4.8 socco U13	2(6/2.4.6/2.4) 2co –	2(6/2.8.8) 2tic –	?
3	(4 3 4/3) (µ = 4)	(4.4.4.4.4.4)/2 2 kostka –	(3/2.4)4 říj + 6 {4} –	(3/2.4)4 říj + 6 {4} –	3/2.8.4.8 socco U13	2(4/3.6.4.6) 2cho U15 *	3.8/3.4.8/3 gocco U14	6.8.8/3 cotco U16	?
4	(4 2 3/2) (µ = 5)	3.4.3.4 co U7	3.3.3.3 okt U5	4.4.4 krychle U6	3.8.8 tic U9	4.4.3/2.4 querco U17	4(4.6/2.6/2) 2 okt + 6 {4} –	2(4.6/2.8) sroh + 8 {6/2} U18 *	?
5	(3 2 4/3) (µ = 7)	3.4.3.4 co U7	4.4.4 krychle U6	3.3.3.3 okt U5	4.6.6 prst U8	4.4.3/2.4 querco U17	3.8/3.8/3 Quith U19	4.6/5.8/3 quitco U20	?
6	(2 3/2 4/3) (µ = 11)	4.4.4 krychle U6	3.4.3.4 co U7	3.3.3.3 okt U5	4.3.4.4 sirco U10	4(4.6/2.6/2) 2 okt + 6 {4} –	3.8/3.8/3 Quith U19	2(4.6/2.8/3) groh + 8 {6/2} U21 *	?
7	(3/2 4/3 4/3) (µ = 14)	(3/2.4)4 = (3.4)4/3 říj + 6 {4} –	(4.4.4.4.4.4)/2 2 kostka –	(3/2.4)4 = (3.4)4/3 říj + 6 {4} –	2(6/2.4.6/2.4) 2co –	3.8/3.4.8/3 gocco U14	3.8/3.4.8/3 gocco U14	2(6/2.8/3.8/3) 2quith –	?

Icosahedral

V ikosahedrálních Schwarzových trojúhelnících je maximální povolený čitatel 5. Kromě toho nelze čitatele 4 vůbec použít v ikosahedrálních Schwarzových trojúhelnících, i když jsou povoleny čitatelé 2 a 3. (Pokud by se 4 a 5 mohly vyskytovat společně v nějakém Schwarzově trojúhelníku, musely by to dělat také v nějakém Möbiově trojúhelníku; ale to je nemožné, protože (2 4 5) je hyperbolický trojúhelník, ne sférický.)

#	(p q r)	q | p r (p.r)q	p | q r (qr)p	r | p q (qp)r	q r | p q.2p.r.2p	p r | q p. 2q.r.2q	p q | r 2r.q.2r.p	p q r | 2r. 2q. 2p	| p q r 3.r.3.q.3.p
1	(5 3 2) (µ = 1)	5.5.5 srna U23	3.3.3.3.3 ike U22	3.5.3.5 id U24	3.10.10 příliv U26	5.6.6 ti U25	4.3.4.5 srid U27	4.6.10 mřížka U28	3.3.3.3.5 Snid U29
2	(3 3 5/2) (µ = 2)	3.5/2.3.5/2.3.5/2 sidtid U30	3.5/2.3.5/2.3.5/2 sidtid U30	(310)/2 2ike –	3.6.5/2.6 siid U31	3.6.5/2.6 siid U31	2(10/2.3.10/2.3) 2id –	2(10/2.6.6) 2ti –	3.5/2.3.3.3.3 podél U32
3	(5 5 3/2) (µ = 2)	(5.3/2)5 cid –	(5.3/2)5 cid –	(5.5.5.5.5.5)/2 2doe –	5.10.3/2.10 smutný U33	5.10.3/2.10 smutný U33	2(6/2.5.6/2.5) 2id –	2(6/2.10.10) 2tid –	2(3.3/2.3.5.3.5) 2id + 40 {3} –
4	(5 5/2 2) (µ = 3)	(5.5.5.5.5)/2 gad U35	5/2.5/2.5/2.5/2.5/2 sissid U34	5/2.5.5/2.5 dělal U36	5/2.10.10 tigidní U37	5.10/2.10/2 3doe –	4.5/2.4.5 raded U38	2(4.10/2.10) sird + 12 {10/2} U39 *	3.3.5/2.3.5 siddid U40
5	(5 3 5/3) (µ = 4)	5.5/3.5.5/3.5.5/3 ditdid U41	(3.5/3)5 kyselý –	(3.5)5/3 cid –	3.10.5/3.10 sidditdid U43	5.6.5/3.6 ided U44	10/3.3.10/3.5 gidditdid U42	10/3.6.10 idtid U45	3.5/3.3.3.3.5 oboustranný U46
6	(5/2 5/2 5/2) (µ = 6)	(5/2)10/2 2sissid –	(5/2)10/2 2sissid –	(5/2)10/2 2sissid –	2(5/2.10/2)2 2did –	2(5/2.10/2)2 2did –	2(5/2.10/2)2 2did –	6(10/2.10/2.10/2) 6doe –	3(3.5/2.3.5/2.3.5/2) 3sidtid –
7	(5 3 3/2) (µ = 6)	(3.5.3.5.3.5)/2 gidtid U47	(310)/4 2gike –	(3.5.3.5.3.5)/2 gidtid U47	2(3.10.3/2.10) 2seihid U49 *	5.6.3/2.6 víře U48	5(6/2.3.6/2.5) 3ike + gad –	2(6.6/2.10) siddy + 20 {6/2} U50 *	5(3.3.3.3.3.5)/2 5ike + gad –
8	(5 5 5/4) (µ = 6)	(510)/4 2gad –	(510)/4 2gad –	(510)/4 2gad –	2(5.10.5/4.10) 2sidhid U51 *	2(5.10.5/4.10) 2sidhid U51 *	10/4.5.10/4.5 2did –	2(10/4.10.10) 2 tuhý –	3(3.5.3.5.3.5) 3cid –
9	(3 5/2 2) (µ = 7)	(3.3.3.3.3)/2 jako U53	5/2.5/2.5/2 gissid U52	5/2.3.5/2.3 gid U54	5/2.6.6 tygří U55	3.10/2.10/2 2gad + ike –	3(4.5/2.4.3) sicdatrid –	4.10/2.6 ri + 12 {10/2} U56 *	3.3.5/2.3.3 Bože U57
10	(5 5/2 3/2) (µ = 8)	(5.3/2)5 cid –	(5/3.3)5 kyselý –	5.5/3.5.5/3.5.5/3 ditdid U41	5/3.10.3.10 sidditdid U43	5(5.10/2.3.10/2) ike + 3gad –	3(6/2.5/2.6/2.5) sidtid + gidtid –	4(6/2.10/2.10) id + seihid + sidhid –	? (3|3 5/2) + (3/2|3 5)
11	(5 2 5/3) (µ = 9)	5.5/2.5.5/2 dělal U36	5/2.5/2.5/2.5/2.5/2 sissid U34	(5.5.5.5.5)/2 gad U35	5/2.10.10 tigidní U37	3(5.4.5/3.4) cadditradid –	10/3.5.5 přestat sissid U58	10/3.4.10/9 přestal U59	3.5/3.3.3.5 je U60
12	(3 5/2 5/3) (µ = 10)	(3.5/3)5 kyselý –	(5/2)6/2 2gissid –	(5/2.3)5/3 kyselý –	2(5/2.6.5/3.6) 2sidhei U62 *	3(3.10/2.5/3.10/2) ditdid + gidtid –	10/3.5/2.10/3.3 gaddid U61	10/3.10/2.6 závratný + 12 {10/2} U63 *	3.5/3.3.5/2.3.3 gisdid U64
13	(5 3 5/4) (µ = 10)	(5.5.5.5.5.5)/2 2doe –	(3/2.5)5 cid –	(3.5)5/3 cid –	3/2.10.5.10 smutný U33	2(5.6.5/4.6) 2gidhei U65 *	3(10/4.3.10/4.5) sidtid + ditdid –	2(10/4.6.10) siddy + 12 {10/4} U50 *	?
14	(5 2 3/2) (µ = 11)	5.3.5.3 id U24	3.3.3.3.3 ike U22	5.5.5 srna U23	3.10.10 příliv U26	3(5/4.4.3/2.4) gicdatrid –	5(5.6/2.6/2) 2ike + gad –	2(6/2.4.10) sird + 20 {6/2} U39 *	5(3.3.3.5.3)/2 4ike + gad –
15	(3 2 5/3) (µ = 13)	3.5/2.3.5/2 gid U54	5/2.5/2.5/2 gissid U52	(3.3.3.3.3)/2 jako U53	5/2.6.6 tygří U55	3.4.5/3.4 qrid U67	10/3.10/3.3 ukončete gissida U66	10/3.4.6 gaquatid U68	3.5/3.3.3.3 gisid U69
16	(5/2 5/2 3/2) (µ = 14)	(5/3.3)5 kyselý –	(5/3.3)5 kyselý –	(5/2)6/2 2gissid –	3(5/3.10/2.3.10/2) ditdid + gidtid –	3(5/3.10/2.3.10/2) ditdid + gidtid –	2(6/2.5/2.6/2.5/2) 2gid –	10(6/2.10/2.10/2) 2ike + 4gad –	?
17	(3 3 5/4) (µ = 14)	(3.5.3.5.3.5)/2 gidtid U47	(3.5.3.5.3.5)/2 gidtid U47	(3)10/4 2gike –	3/2.6.5.6 víře U48	3/2.6.5.6 víře U48	2(10/4.3.10/4.3) 2gid –	2(10/4.6.6) 2 tygří –	?
18	(3 5/2 5/4) (µ = 16)	(3/2.5)5 cid –	5/3.5.5/3.5.5/3.5 ditdid U41	(5/2.3)5/3 kyselý –	5/3.6.5.6 ided U44	5(3/2.10/2.5.10/2) ike + 3gad –	5(10/4.5/2.10/4.3) 3sissid + gike –	4(10/4.10/2.6) udělal + sidhei + gidhei –	?
19	(5/2 2 3/2) (µ = 17)	3.5/2.3.5/2 gid U54	(3.3.3.3.3)/2 jako U53	5/2.5/2.5/2 gissid U52	5(10/2.3.10/2) 2gad + ike –	5/3.4.3.4 qrid U67	5(6/2.6/2.5/2) 2gike + sissid –	6(6/2.4.10/2) 2gidtid + rhom –	?
20	(5/2 5/3 5/3) (µ = 18)	(5/2)10/2 2sissid –	(5/2)10/2 2sissid –	(5/2)10/2 2sissid –	2(5/2.10/2)2 2did –	2(5/2.10/3.5/3.10/3) 2gidhid U70 *	2(5/2.10/3.5/3.10/3) 2gidhid U70 *	2(10/3.10/3.10/2) 2quitsissid –	?
21	(3 5/3 3/2) (µ = 18)	(310)/2 2ike –	5/2.3.5/2.3.5/2.3 sidtid U30	5/2.3.5/2.3.5/2.3 sidtid U30	5/2.6.3.6 siid U31	2(3.10/3.3/2.10/3) 2heihid U71 *	5(6/2.5/3.6/2.3) sissid + 3gike –	2(6/2.10/3.6) giddy + 20 {6/2} U63 *	?
22	(3 2 5/4) (µ = 19)	3.5.3.5 id U24	5.5.5 srna U23	3.3.3.3.3 ike U22	5.6.6 ti U25	3(3/2.4.5/4.4) gicdatrid –	5(10/4.10/4.3) 2sissid + gike –	2(10/4.4.6) ri + 12 {10/4} U56 *	?
23	(5/2 2 5/4) (µ = 21)	5/2.5.5/2.5 dělal U36	(5.5.5.5.5)/2 gad U35	5/2.5/2.5/2.5/2.5/2 sissid U34	3(10/2.5.10/2) 3doe –	3(5/3.4.5.4) cadditradid –	3(10/4.5/2.10/4) 3gissid –	6(10/4.4.10/2) 2ditdid + rhom –	?
24	(5/2 3/2 3/2) (µ = 22)	5/2.3.5/2.3.5/2.3 sidtid U30	(310)/2 2ike –	5/2.3.5/2.3.5/2.3 sidtid U30	2(3.10/2.3.10/2) 2id –	5(5/3.6/2.3.6/2) sissid + 3gike –	5(5/3.6/2.3.6/2) sissid + 3gike –	10(6/2.6/2.10/2) 4ike + 2gad –	(3.3.3.3.3.5/2)/2 sirsid U72
25	(2 5/3 3/2) (µ = 23)	(3.3.3.3.3)/2 jako U53	5/2.3.5/2.3 gid U54	5/2.5/2.5/2 gissid U52	3(5/2.4.3.4) sicdatrid –	10/3.3.10/3 přestat gissid U66	5(6/2.5/2.6/2) 2gike + sissid –	2(6/2.10/3.4) gird + 20 {6/2} U73 *	(3.3.3.5/2.3)/2 girsid U74
26	(5/3 5/3 3/2) (µ = 26)	(5/2.3)5/3 kyselý –	(5/2.3)5/3 kyselý –	(5/2)6/2 2gissid –	5/2.10/3.3.10/3 gaddid U61	5/2.10/3.3.10/3 gaddid U61	2(6/2.5/2.6/2.5/2) 2gid –	2(6/2.10/3.10/3) 2quitgissid –	?
27	(2 5/3 5/4) (µ = 27)	(5.5.5.5.5)/2 gad U35	5/2.5.5/2.5 dělal U36	5/2.5/2.5/2.5/2.5/2 sissid U34	5/2.4.5.4 raded U38	10/3.5.10/3 přestat sissid U58	3(10/4.5/2.10/4) 3gissid –	2(10/4.10/3.4) gird + 12 {10/4} U73 *	?
28	(2 3/2 5/4) (µ = 29)	5.5.5 srna U23	3.5.3.5 id U24	3.3.3.3.3 ike U22	3.4.5.4 srid U27	2(6/2.5.6/2) 2ike + gad –	5(10/4.3.10/4) 2sissid + gike –	6(10/4.6/2.4/3) 2sidtid + rhom –	?
29	(5/3 3/2 5/4) (µ = 32)	5/3.5.5/3.5.5/3.5 ditdid U41	(3.5)5/3 cid –	(3.5/2)5/3 kyselý –	3.10/3.5.10/3 gidditdid U42	3(5/2.6/2.5.6/2) sidtid + gidtid –	5(10/4.3.10/4.5/2) 3sissid + gike –	4(10/4.6/2.10/3) gid + geihid + gidhid –	?
30	(3/2 3/2 5/4) (µ = 34)	(3.5.3.5.3.5)/2 gidtid U47	(3.5.3.5.3.5)/2 gidtid U47	(3)10/4 2gike –	5(3.6/2.5.6/2) 3ike + gad –	5(3.6/2.5.6/2) 3ike + gad –	2(10/4.3.10/4.3) 2gid –	10(10/4.6/2.6/2) 2sissid + 4gike –	?
31	(3/2 5/4 5/4) (µ = 38)	(3.5)5/3 cid –	(5.5.5.5.5.5)/2 2doe –	(3.5)5/3 cid –	2(5.6/2.5.6/2) 2id –	3(3.10/4.5/4.10/4) sidtid + ditdid –	3(3.10/4.5/4.10/4) sidtid + ditdid –	10(10/4.10/4.6/2) 4sissid + 2gike –	5(3.3.3.5/4.3.5/4) 4ike + 2gad –
32	(5/4 5/4 5/4) (µ = 42)	(5)10/4 2gad –	(5)10/4 2gad –	(5)10/4 2gad –	2(5.10/4.5.10/4) 2did –	2(5.10/4.5.10/4) 2did –	2(5.10/4.5.10/4) 2did –	6(10/4.10/4.10/4) 2gissid –	3(3/2.5.3/2.5.3/2.5) 3cid –

Non-Wythoffian

Hemi formy

Tyto mnohostěny ( hemipolyhedra ) jsou generovány jako dvojité krytiny konstrukcí Wythoff. Pokud se postava generovaná Wythoffovou konstrukcí skládá ze dvou identických komponent, operátor "hemi" vezme pouze jednu. The octahemioctahedron je pro úplnost zahrnut v tabulce, ačkoli není konstrukcí Wythoff generován jako dvojitý kryt.

3/2.4.3.4 thah U4 hemi (3 3/2 | 2)	4/3.6.4.6 cho U15 hemi (4 4/3 | 3)	5/4.10.5.10 sidhid U51 hemi (5 5/4 | 5)	5/2.6.5/3.6 sidhei U62 hemi (5/2 5/3 | 3)	5/2.10/3.5/3.10/3 gidhid U70 hemi (5/2 5/3 | 5/3)
	3/2.6.3.6 oho U3 hemi (?)	3/2.10.3.10 seihid U49 hemi (3 3/2 | 5)	5.6.5/4.6 gidhei U65 hemi (5 5/4 | 3)	3.10/3.3/2.10/3 geihid U71 hemi (3 3/2 | 5/3)

Snížené formy

Tyto mnohostěny jsou generovány s extra plochami konstrukcí Wythoff. Pokud je Wythoffovou konstrukcí vygenerován obrázek sestávající ze dvou nebo tří neidentických komponent, operátor „zmenšený“ odstraní z obrázku další plochy (které je nutné specifikovat) a ponechá pouze jednu komponentu.

Wythoff	Mnohostěn	Extra tváře		Wythoff	Mnohostěn	Extra tváře		Wythoff	Mnohostěn	Extra tváře
3 2 3/2 |	4.6.4/3.6 cho U15	4{6/2}		4 2 3/2 |	4.8.4/3.8/7 sroh U18	8{6/2}		2 3/2 4/3 |	4.8/3.4/3.8/5 groh U21	8{6/2}
5 5/2 2 |	4.10.4/3.10/9 divný U39	12{10/2}		5 3 3/2 |	10.6.10/9.6/5 siddy U50	20{6/2}		3 5/2 2 |	6.4.6/5.4/3 ri U56	12{10/2}
5 5/2 3/2 |	3/2.10.3.10 seihid U49	id + sidhid		5 5/2 3/2 |	5/4.10.5.10 sidhid U51	id + seihid		5 3 5/4 |	10.6.10/9.6/5 siddy U50	12{10/4}
3 5/2 5/3 |	6.10/3.6/5.10/7 závratný U63	12{10/2}		5 2 3/2 |	4.10/3.4/3.10/9 divný U39	20{6/2}		3 5/2 5/4 |	5.6.5/4.6 gidhei U65	udělal + sidhei
3 5/2 5/4 |	5/2.6.5/3.6 sidhei U62	udělal + gidhei		3 5/3 3/2 |	6.10/3.6/5.10/7 závratný U63	20{6/2}		3 2 5/4 |	6.4.6/5.4/3 ri U56	12{10/4}
2 5/3 3/2 |	4.10/3.4/3.10/7 opasek U73	20{6/2}		5/3 3/2 5/4 |	3.10/3.3/2.10/3 geihid U71	gid + gidhid		5/3 3/2 5/4 |	5/2.10/3.5/3.10/3 gidhid U70	gid + geihid
2 5/3 5/4 |	4.10/3.4/3.10/7 opasek U73	12{10/4}

The tetrahemihexahedron (thah, U4) je také zmenšenou verzí {3/2} -kopule (retrográdní trojúhelníková kopule, ratricu) od {6/2}. Jako takový to může být také nazýván zkřížený trojúhelníkový kuploid.

Mnoho výše uvedených případů je odvozeno od degenerovaných všestranný mnohostěn p q r |. V těchto případech dva odlišné degenerované případy p q r | a p q s | lze generovat ze stejných p a q; výsledek má tváře {2p}, {2q} a shodné s {2r} nebo {2s}. Oba poskytují stejný nedegenerovaný jednotný mnohostěn, když jsou shodné plochy zahozeny, což Coxeter symbolizoval p q ^r
_s |. Níže jsou uvedeny tyto případy:

4.6.4/3.6 cho U15 2 3 3/2 3/2 |	4.8.4/3.8/7 sroh U18 2 3 3/2 4/2 |	4.10.4/3.10/9 divný U39 2 3 3/2 5/2 |	6.10/3.6/5.10/7 závratný U63 3 5/3 3/2 5/2 |
6.4.6/5.4/3 ri U56 2 3 5/4 5/2 |	4.8/3.4/3.8/5 groh U21 2 4/3 3/2 4/2 |	4.10/3.4/3.10/7 opasek U73 2 5/3 3/2 5/4 |	10.6.10/9.6/5 siddy U50 3 5 3/2 5/4 |

V malém a velkém kosočtverečku se používá zlomek 4/2, přestože to není v nejnižších hodnotách. Zatímco 2 4 2 | a 2 4/3 2 | představují jediný osmiboký nebo osmiboký hranol, 2 4 4/2 | a 2 4/3 4/2 | představují tři takové hranoly, které sdílejí některé ze svých čtvercových ploch (přesně ty, které se zdvojnásobily, aby vytvořily {8/2}). Tyto {8/2} se objevují se čtyřnásobnou a nikoli dvojnásobnou rotační symetrií, což odůvodňuje použití 4/2 místo 2.^[1]

Jiné formy

Tyto dva jednotné mnohostěny nelze Wythoffovou konstrukcí generovat vůbec. Toto je soubor jednotných mnohostěnů, které se běžně označují jako „neythoffové“. Místo toho trojúhelníkový základní domény wythoffovské uniformní mnohostěny, tyto dvě mnohostěny mají čtyřúhelníkový základní domény.

Skillův údaj nedostává index v seznamu Maeder, protože je to exotický jednotný mnohostěn, s hřebeny (hrany v případě 3D) zcela shodné. To platí také o některých degenerovaných mnohostěnech zahrnutých ve výše uvedeném seznamu, například malý komplexní icosidodecahedron. Tato interpretace shodných hran umožňuje, aby tyto postavy měly na každé hraně dvě tváře: nezdvojení hran by jim poskytlo 4, 6, 8, 10 nebo 12 tváří setkávajících se na hraně, postavy, které jsou obvykle vyloučeny jako uniformní mnohostěny. Skillingova postava má na některých okrajích 4 tváře.

(p q r s)	| p q r s (4.p. 4.q.4.r.4.s) / 2	| (p) q (r) s (str3.4.q.4.r3.4.s.4) / 2
(3/2 5/3 3 5/2)	(4.3/2.4.5/3.4.3.4.5/2)/2 gidrid U75	(3/23.4.5/3.4.33.4.5/2.4)/2 gidisdrid Dovednost

Vrcholová postava | 3 5/3 5/2	Velký urážka dodecicosidodecahedron	Velký dirhombicosidodecahedron	Vrcholová postava | 3/2 5/3 3 5/2
Velký disnub dirhombidodecahedron	Sloučenina dvaceti oktaedrů	Sloučenina dvaceti tetrahemihexahedra	Vrcholová postava |(3/2) 5/3 (3) 5/2

Obě tyto speciální mnohostěny lze odvodit z velký útlum dodecicosidodecahedron, | 3 5/3 5/2 (U64). Jedná se o chirální urážlivý mnohostěn, ale jeho pentagramy se objevují v koplanárních párech. Spojením jedné kopie tohoto mnohostěnu s jeho enantiomorfem se pentagramy shodují a mohou být odstraněny. Jelikož okraje vrcholového obrázku tohoto mnohostěnu zahrnují tři strany čtverce, přičemž čtvrtou stranu přispívá jeho enantiomorf, vidíme, že výsledný mnohostěn je ve skutečnosti sloučenina dvaceti oktaedrů. Každá z těchto osmistěn obsahuje jeden pár rovnoběžných ploch, které pocházejí z plně symetrického trojúhelníku | 3 5/3 5/2, zatímco další tři pocházejí z původního | 3 trojúhelníky 5/3 5/2. Každý osmistěn lze navíc nahradit znakem tetrahemihexahedron se stejnými hranami a vrcholy. Vezmeme-li plně symetrické trojúhelníky v oktaedru, původní shodující se pentagramy ve velkém útlumu dodecicosidodecahedra a rovníkové čtverce tetrahemihexahedra dohromady poskytují velký dirhombicosidodecahedron (Millerovo monstrum).^[1] Vezmeme-li místo toho trojúhelníky oktaedru, získá se velký rozrušující dirhombidodekedr (Skillingova postava).^[2]

Reference

• Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M. S .; Miller, J. C. P. (1954). "Jednotná mnohostěna". Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně. Řada A. Matematické a fyzikální vědy. Královská společnost. 246 (916): 401–450. doi:10.1098 / rsta.1954.0003. ISSN  0080-4614. JSTOR  91532. PAN  0062446.CS1 maint: ref = harv (odkaz) [1]
• Skilling, J. (1974). "Kompletní sada uniformních mnohostěnů". Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně. Řada A. Matematické a fyzikální vědy. Královská společnost. 278 (1278): 111–135. doi:10.1098 / rsta.1975.0022. ISSN  1364-503X.CS1 maint: ref = harv (odkaz) [2]

externí odkazy

Richard Klitzing: Mnohostěn od

• symetrie bodových skupin
• složitost
• Schwarzovy trojúhelníky část 1, část 2

Zvi Har'El:

• Jednotné řešení pro jednotné mnohostěny