Seznam uniformních mnohostěnů podle vrcholného čísla - List of uniform polyhedra by vertex figure
| Mnohostěn | |
| Třída | Počet a vlastnosti |
|---|---|
| Platonické pevné látky | (5, konvexní, pravidelné) |
| Archimédovy pevné látky | (13, konvexní, uniformní) |
| Kepler – Poinsotův mnohostěn | (4, pravidelné, nekonvexní) |
| Jednotná mnohostěna | (75, jednotný) |
| Hranolovitý: hranoly, antiprismy atd. | (4 nekonečné jednotné třídy) |
| Polyhedra obklady | (11 pravidelných, v letadle) |
| Kvazi-pravidelný mnohostěn | (8) |
| Johnson pevné látky | (92, konvexní, nejednotné) |
| Pyramidy a Bipyramidy | (nekonečný) |
| Stellations | Stellations |
| Polyedrické sloučeniny | (5 pravidelných) |
| Deltahedra | (Deltahedra, rovnostranné trojúhelníkové plochy) |
| Utlumit mnohostěn | (12 uniforem, ne zrcadlový obraz) |
| Zonohedron | (Zonohedra, tváře mají 180 ° symetrii) |
| Duální mnohostěn | |
| Self-dual mnohostěn | (nekonečný) |
| Katalánština pevná | (13, Archimédův duální) |
Existuje mnoho vztahů mezi jednotná mnohostěna.[1][2][3]Některé se získají zkrácením vrcholů pravidelného nebo kvazi pravidelného mnohostěnu. Ostatní sdílejí stejné vrcholy a hrany jako ostatní mnohostěn. Níže uvedená skupina vykazuje některé z těchto vztahů.
Vrcholová postava mnohostěnu
Vztahy lze objasnit zkoumáním vrcholové postavy získáno vypsáním ploch sousedících s každým vrcholem (nezapomeňte, že pro jednotné mnohostěny jsou všechny vrcholy stejné, to znamená vrchol-tranzitivní ). Například krychle má vrcholový obrázek 4.4.4, což znamená tři sousední čtvercové plochy. Možné plochy jsou
- 3 - rovnostranný trojúhelník
- 4 - čtvercový
- 5 - pravidelný pětiúhelník
- 6 - pravidelný šestiúhelník
- 8 - pravidelný osmiúhelník
- 10 - pravidelný desetiúhelník
- 5/2 - pentagram
- 8/3 - oktagram
- 10/3 - dekagram
Některé tváře se objeví s obrácenou orientací, která je zde zapsána jako
- -3 - trojúhelník s obrácenou orientací (často se píše jako 3/2)
Jiní procházejí původem, který píšeme jako
- 6 * - šestiúhelník procházející počátkem
The Wythoffův symbol týká mnohostěn sférické trojúhelníky. Symboly Wythoff jsou psány p | q r, p q | r, p q r | kde sférický trojúhelník má úhly π / p, π / q, π / r, sloupec označuje polohu vrcholů ve vztahu k trojúhelníku.
Johnson (2000) klasifikoval uniformní mnohostěn podle následujícího:
- Pravidelné (pravidelné polygonální postavy vrcholů): strq, Wythoffův symbol q | p 2
- Kvazi pravidelné (obdélníkové nebo ditrigonální vrcholové obrazce): p.q.p.q 2 | p q, nebo p.q.p.q.p.q, Wythoffův symbol 3 | p q
- Versi-regular (ortodiagonální vrcholové obrazce), p.q * .- p.q *, Wythoffův symbol q q | p
- Zkrácená regulární (rovnoramenné trojúhelníkové číslice vrcholů): p.p.q, Wythoffův symbol q 2 | p
- Versi-kvazi-pravidelný (dipteroidní vrcholové údaje), p.q.p.r Wythoffův symbol q r | p
- Kvazi-kvazi-pravidelný (lichoběžníkový vrchol): p * .q.p * .- r q.r | p nebo p.q * .- p.q * p q r |
- Zkrácený kvazi-pravidelný (scalene trojúhelníkové vrcholové postavy), p.q.r Wythoffův symbol p q r |
- Útlum kvazi pravidelný (pětiúhelníkové, šestihranné nebo osmiboké vrcholové postavy), Wythoffův symbol p q r |
- Hranoly (zkrácená hosohedra),
- Antiprismy a zkřížené antiprismy (urážka dihedra)
Formát každého obrázku se řídí stejným základním vzorem
- obrázek mnohostěnu
- název mnohostěnu
- alternativní jména (v závorkách)
- Wythoffův symbol
- Systémy číslování: W - číslo používané Wenningerem v mnohostěnné modely, U - jednotné indexování, K - indexování kaleido, C - číslování používané v Coxeteru et al. „Jednotná mnohostěna“.
- Počet vrcholů V, hran E, ploch F a počet ploch podle typu.
- Eulerova charakteristika χ = V - E + F
Čísla vrcholů jsou vlevo, následovaná znakem Skupiny bodů ve třech dimenzích # Sedm zbývajících skupin bodů, buď čtyřboká Td, osmistěnný Oh nebo ikosahedrální Ih.
Zkrácené formy
Pravidelné mnohostěny a jejich zkrácené formy
Sloupec A uvádí všechny běžné mnohostěny, sloupec B uvádí jejich zkrácené formy. Pravidelné mnohostěny mají vrcholové postavy pr: p.p.p atd. a Wythoffův symbol p | q r. Zkrácené tvary mají vrchol číslo q.q.r (kde q = 2p a r) a Wythoff p q | r.
| vrchol obrázek | skupina | A: regular: p.p.p | B: zkrácený regulární: p.p.r |
| Td |
|
|
 3.3.3.3
| Óh |
|
|
 4.4.4
| Óh |
|
|
| Jáh |
|
|
 5.5.5
| Jáh |
|
|
| Jáh |
|
|
 3.3.3.3.3
| Jáh |
|
|
| Jáh |
| |
| Jáh |
|
Kromě toho existují tři kvazi zkrácené formy. Tito také klasifikují jako zkrácený pravidelný mnohostěn.
| vrcholové postavy | Skupina Oh | Skupina Ih | Skupina Ih |
|
|
|
|
Zkrácené formy kvazi-pravidelné mnohostěny
Sloupec A uvádí některé kvazi-pravidelné mnohostěny, sloupec B uvádí normální zkrácené formy, sloupec C zobrazuje kvazi-zkrácené formy, sloupec D ukazuje jinou metodu zkrácení. Všechny tyto zkrácené formy mají vrcholný tvar p.q.r a Wythoffsymbol p q r |
| vrchol obrázek | skupina | A: quasi-regular: p.q.p.q | B: zkrácený kvazi-pravidelný: p.q.r | C: zkrácený kvazi-pravidelný: p.q.r | D: zkrácený kvazi-pravidelný: p.q.r |
 3.4.3.4
| Óh |
|
|
|
|
 3.5.3.5
| Jáh |
|
|
|
|
| Jáh |
|
| ||
 3.5/2.3.5/2 | Jáh |
|
Mnohostěn sdílení hran a vrcholů
Pravidelný
To vše je zmíněno jinde, ale tato tabulka ukazuje určité vztahy. Všechny jsou pravidelné, kromě tetrahemihexahedronu, který je velmi pravidelný.
| vrchol obrázek | PROTI | E | skupina | pravidelný | pravidelné / versi-pravidelné |
3.3.3.3 3.4*.-3.4* | 6 | 12 | Óh |
|
|
| 12 | 30 | Jáh |
|
|
| 12 | 30 | Jáh |
|
|
Kvazi pravidelný a naopak pravidelný
Obdélníkové vrcholové postavy nebo zkřížené obdélníky první sloupec jsou kvazi pravidelný druhý a třetí sloupec jsou hemihedra s plochami procházejícími počátkem, tzv versi-pravidelný některými autory.
| vrchol obrázek | PROTI | E | skupina | kvazi pravidelné: p.q.p.q | versi-normální: p.s * .- p.s * | versi-normální: q.s * .- q.s * |
3.4.3.4 | 12 | 24 | Óh |
|
|
|
3.5.3.5 | 30 | 60 | Jáh |
|
|
|
3.5/2.3.5/2 | 30 | 60 | No |
|
|
|
 5.5/2.5.5/2 | 30 | 60 | No |
|
|
|
Ditrigonal pravidelný a versi pravidelný
Ditrigonální (tj. Di (2) -tri (3) -ogonální) vrcholové obrazce jsou trojnásobným analogem obdélníku. To jsou všichni kvazi pravidelný protože všechny hrany jsou izomorfní. Sloučenina 5 kostek sdílí stejnou sadu hran a vrcholů. Křížové tvary majíorientovatelný vrchol obrázek, takže notace "-" nebyla použita a tváře "*" procházejí spíše než počátkem.
| vrchol obrázek | PROTI | E | skupina | ditrigonal | zkřížený ditrigonal | zkřížený ditrigonal |
 5/2.3.5/2.3.5/2.3 | 20 | 60 | No |
|
|
|
versi-kvazi-pravidelný a kvazi-kvazi-pravidelný
Skupina III: lichoběžníkové nebo zkřížené lichoběžníkové vrcholné postavy. První sloupec obsahuje konvexní kosočtverečný mnohostěn, vytvořený vložením dvou čtverců do vrcholných obrazců Cuboctahedron a Icosidodecahedron.
| vrchol obrázek | PROTI | E | skupina | lichoběžník: p.q.r.q | zkřížený lichoběžník: p.s * .- r.s * | zkřížený lichoběžník: q.s * .- q.s * |
 3.4.4.4 | 24 | 48 | Óh |
|
|
|
 3.8/3.4.8/3 | 24 | 48 | Ach |
|
|
|
 3.4.5.4 | 60 | 120 | Jáh |
|
|
|
 5/2.4.5.4 | 60 | 120 | No |
|
|
|
 3.10/3.5/2.10/3 | 60 | 120 | No |
|
|
|
 3.6.5/2.6 | 60 | 120 | No |
|
|
|
 3.10/3.5.10/3 | 60 | 120 | No |
|
|
|
Reference
- ^ Coxeter, H. S. M.; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. (1954), „Uniform polyhedra“, Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně, 246: 401–450 (6 talířů), doi:10.1098 / rsta.1954.0003, PAN 0062446.
- ^ Sopov, S. P. (1970), „Důkaz úplnosti na seznamu elementárních homogenních mnohostěnů“, Ukrajinskýĭ Geometricheskiĭ Sbornik (8): 139–156, PAN 0326550.
- ^ Skilling, J. (1975), „Kompletní sada uniformních mnohostěnů“, Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně, 278: 111–135, doi:10.1098 / rsta.1975.0022, PAN 0365333.