Jednotný hvězdný mnohostěn - Uniform star polyhedron - Wikipedia
v geometrie, a jednotný hvězdný mnohostěn se protíná jednotný mnohostěn. Někdy se jim také říká nekonvexní mnohostěn znamenat sebeprotínající se. Každý mnohostěn může obsahovat buď hvězdný polygon tváře, hvězdný polygon vrcholové postavy nebo oboje.
Kompletní sada 57 neprismatických uniformních hvězdných mnohostěnů zahrnuje 4 běžné, zvané Kepler – Poinsotův mnohostěn, 5 quasiregular ty a 48 semiregulárních.
Existují také dvě nekonečné sady jednotné hvězdné hranoly a jednotné hvězdné antiprismy.
Stejně jako (nedgenerativní) hvězdné polygony (které mají Hustota polygonu větší než 1) odpovídají kruhovým mnohoúhelníkům s překrývajícími se dlaždicemi, hvězdné mnohostěny, které neprocházejí středem, mají hustota mnohostěnů větší než 1 a odpovídají sférický mnohostěn s překrývajícími se dlaždicemi; existuje 47 neprismatických takových uniformních hvězdných mnohostěnů. Zbývajících 10 neprismatických uniformních hvězdných mnohostěnů, těch, které procházejí středem, jsou hemipolyhedra stejně jako Millerovo monstrum a nemají přesně definované hustoty.
Konvexní formy jsou konstruovány z Schwarzovy trojúhelníky.
Všechny jednotné mnohostěny jsou uvedeny níže podle jejich skupiny symetrie a podskupiny podle jejich vrcholných uspořádání.
Pravidelné mnohostěny jsou označeny jejich Schläfliho symbol. Ostatní nepravidelné jednotné mnohostěny jsou uvedeny s jejich konfigurace vrcholů.
Další postava, pseudo velký kosočtverec, obvykle není zahrnut jako skutečně uniformní hvězdný polytop, přestože se skládá z pravidelných ploch a má stejné vrcholy.
Poznámka: U nekonvexních formulářů pod dalším deskriptorem Nejednotný se používá, když konvexní obal uspořádání vrcholů má stejnou topologii jako jeden z nich, ale má nepravidelné plochy. Například nejednotný cantellated forma může mít obdélníky místo okrajů vytvořené místo čtverce.
Dihedrální symetrie
Vidět Prizmatický uniformní mnohostěn.
Čtyřboká symetrie
Existuje jedna nekonvexní forma, tetrahemihexahedron který má čtyřboká symetrie (se základní doménou Möbiova trojúhelník (3 3 2)).
Existují dva Schwarzovy trojúhelníky které generují jedinečné nekonvexní uniformní mnohostěny: jeden pravý trojúhelník (3⁄2 3 2) a jeden obecný trojúhelník (3⁄2 3 3). Obecný trojúhelník (3⁄2 3 3) generuje octahemioctahedron který je uveden dále v plném rozsahu oktaedrická symetrie.
| Uspořádání vrcholů (Konvexní obal ) | Nekonvexní formy | |
|---|---|---|
 Čtyřstěn | ||
 Rektifikovaný čtyřstěn Octahedron |  4.3⁄2.4.3 3⁄2 3 | 2 | |
 Zkrácený čtyřstěn | ||
 Kanálovaný čtyřstěn (Cuboctahedron ) | ||
 Všesměrový čtyřstěn (Zkrácený osmistěn ) | ||
 Tlumit čtyřstěn (Dvacetistěnu ) | ||
Oktaedrická symetrie
Existuje 8 konvexních forem a 10 nekonvexních forem s oktaedrická symetrie (se základní doménou Möbiova trojúhelník (4 3 2)).
Jsou čtyři Schwarzovy trojúhelníky které generují nekonvexní formy, dva pravé trojúhelníky (3⁄2 4 2) a (4⁄3 3 2) a dva obecné trojúhelníky: (4⁄3 4 3), (3⁄2 4 4).
| Uspořádání vrcholů (Konvexní obal ) | Nekonvexní formy | ||
|---|---|---|---|
 Krychle | |||
 Octahedron | |||
 Cuboctahedron |  6.4⁄3.6.4 4⁄3 4 | 3 |  6.3⁄2.6.3 3⁄2 3 | 3 | |
 Zkrácená kostka |  4.8⁄3.4⁄3.8⁄5 2 4⁄3 (3⁄2 4⁄2) | |  8⁄3.3.8⁄3.4 3 4 | 4⁄3 |  4.3⁄2.4.4 3⁄2 4 | 2 |
 Zkrácený osmistěn | |||
 Rhombicuboctahedron |  4.8.4⁄3.8 2 4 (3⁄2 4⁄2) | |  8.3⁄2.8.4 3⁄2 4 | 4 |  8⁄3.8⁄3.3 2 3 | 4⁄3 |
 Nejednotný zkrácený cuboctahedron |  4.6.8⁄3 2 3 4⁄3 | | ||
 Nejednotný zkrácený cuboctahedron |  8⁄3.6.8 3 4 4⁄3 | | ||
 Snub kostka | |||
Ikosahedrální symetrie
Existuje 8 konvexních forem a 46 nekonvexních forem s ikosahedrální symetrie (se základní doménou Möbiova trojúhelník (5 3 2)). (nebo 47 nekonvexních forem, pokud je zahrnuta postava Skillingu). Některé z nekonvexních tupých forem mají reflexní symetrii vrcholů.
Degenerované případy
Coxeter identifikoval řadu degenerovaných hvězdných mnohostěn metodou Wythoffovy konstrukce, které obsahují překrývající se hrany nebo vrcholy. Tyto degenerované formy zahrnují:
- Malý komplexní icosidodecahedron
- Velký složitý icosidodecahedron
- Malý složitý kosočtverec
- Velký složitý kosočtverec
- Složitý kosočtverec
Schopnost postavy
Jedním dalším nekonvexním degenerovaným mnohostěnem je velký disnub dirhombidodecahedron, také známý jako Schopnost postavy, který je vrcholně uniformní, ale má dvojice hran, které se shodují v prostoru tak, že se na některých hranách setkávají čtyři tváře. To je počítáno jako degenerovaný uniformní mnohostěn spíše než jednotný mnohostěn kvůli jeho dvojitým okrajům. To mám jáh symetrie.
Viz také
- Hvězda mnohoúhelník
- Seznam jednotných mnohostěnů
- Seznam uniformních mnohostěnů Schwarzovým trojúhelníkem
Reference
- Coxeter, H. S. M. (13. května 1954). „Uniform Polyhedra“. Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně. Řada A, Matematické a fyzikální vědy. 246 (916): 401–450. doi:10.1098 / rsta.1954.0003.
- Wenninger, Magnus (1974). Mnohostěnné modely. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9. OCLC 1738087.
- Brückner, M. Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte.. Lipsko, Německo: Teubner, 1900. [1]
- Sopov, S. P. (1970), „Důkaz úplnosti na seznamu elementárních homogenních mnohostěnů“, Ukrainskiui Geometricheskiui Sbornik (8): 139–156, PAN 0326550
- Skilling, J. (1975), „Kompletní sada uniformních mnohostěnů“, Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně. Řada A. Matematické a fyzikální vědy, 278: 111–135, doi:10.1098 / rsta.1975.0022, ISSN 0080-4614, JSTOR 74475, PAN 0365333
- Har'El, Z. Jednotné řešení pro jednotné mnohostěny., Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. Zvi Har’El, Software Kaleido, snímky, duální obrázky
- Mäder, R. E. Jednotná mnohostěna. Mathematica J. 3, 48-57, 1993. [2]
- Messer, Peter W. Uzavřené výrazy pro jednotné mnohostěny a jejich duální., Discrete & Computational Geometry 27: 353-375 (2002).
- Klitzing, Richarde. „3D uniformed polyhedra“.